直线一级倒立摆的新型控制方法研究

时间：2024-08-31

王杰，孔庆忠，徐禄均

（内蒙古工业大学机械学院，内蒙古呼和浩特 010051）

0 引言

倒立摆的稳定控制在生活和生产中的应用非常广泛。传统的PID控制虽然能够完成响应，如果效果不是特别明显，如果将小车控制器设计成模糊PID控制器，并与摆杆闭环控制进行封装，形成一个双闭环PID控制器，就能够更好地实现倒立摆系统的控制。

1 直线一级倒立摆的稳定性

直线一级倒立摆系统由小车、摆杆等组成，它们之间自由连接。在进行系统稳定性分析时，一般可以应用LaSalle’s Theorem或者是李亚普诺夫稳定性理论。本文根据系统未进行矫正时的阶跃响应曲线来讨论系统的稳定性，利用MATLAB进行阶跃响应分析，结果如图1、图2所示。

图1 系统未矫正时小车位置的阶跃响应曲线

图2 系统未矫正时摆杆摆角的阶跃响应曲线

从图1和图2中可以看出，在阶跃响应信号的作用下，摆杆的角度以及小车的位置曲线都是发散的，即在没有使用控制器进行矫正之前，本系统在期望的平衡位置是一个非稳定系统。因此，系统需要矫正，使其变得稳定。由于直线一级倒立摆在平衡位置是能控的、可观的，因此可以进行PID控制器设计，使系统稳定。

2 倒立摆摆杆与小车的传统PID控制

2.1 倒立摆摆杆的传统PID控制

把小车置于导轨中间位置，打开实验设备，并且将摆杆手动提起置于倒立位置保持不动，然后单纯对摆杆进行PID控制。根据多次实验仿真可知：当PID控制器中比例系数Kp=30，积分系数Ki=20，微分系数Kd=2.5时，得到的仿真效果最佳。所以，将3个参数按照此值进行调节，得到的仿真曲线如图3、图4所示。

图3 传统PID控制下摆杆仿真曲线

图4 传统PID控制下小车位置仿真曲线

在0.3s～0.5s时刻，为手动提起过程，从图3、图4可知，此过程中摆杆的角度不断增加，当时间达到0.5s之后，摆杆在PID控制器的控制下能够自动保持倒立不倒，维持平衡不倒，小车也能维持短暂平衡状态；时间达到1.3s时，小车曲线出现突然下降，此时摆杆的角度突然增大，之后小车位置不再变化，摆杆的角度在此后出现大幅度震荡，摆杆在重力作用下向初始位置运动，此时小车在导轨上运动到极限位置，出现阻碍后就不再运动，也就不能给摆杆倒立不倒的力；在2s之后，小车的位置保持不变，也就是处于静止状态，摆杆在重力作用下，由于惯性作用继续左右摆动，能够维持短暂的自由摆动，直至能量消耗完就静止。所以，单独对摆杆进行PID控制器控制，能够达到最终目的，但是稳定效果不是特别明显。

2.2 倒立摆小车的模糊PID控制

为保证摆杆直立运动，小车必须拥有合适的位移以及速度。但是对于由伺服电机带动的小车来说，不能精确地给出数学模型以及传递函数。因此，在对摆杆进行角度检测之后，对小车的控制采用模糊PID控制。当摆杆在直立的平衡位置范围内摆动时，控制小车的速度及位移，使摆杆直立不倒。对于摆杆来说，起摆的速度和加速度比较大，当达到平衡位置时，加速度在较小范围内变化。用模糊PID控制倒立摆小车得到的仿真曲线如图5所示，此时倒立摆摆杆的仿真曲线如图6所示。

图5 模糊PID控制下小车位置仿真曲线

图6 模糊PID控制下摆杆仿真曲线

在这种单一对小车进行模糊控制的情况下，小车运动稳定，倒立摆摆杆的运动在单位时间内是稳定的，但是在整个控制过程中是不稳定的。这种控制效果虽然也能够达到让倒立摆摆杆倒立稳定的目的，但是，控制效果并不理想。为了能使摆杆得到更加优良的控制，实现理想的控制效果，还可以寻找更好的控制方法。

3 倒立摆摆杆与小车的新型PID控制

根据上述两种控制进行综合分析，单纯对摆杆进行PID控制可以使系统维持短暂时间的稳定，当小车遇到极限位置时系统停止运动；单纯对小车进行PID控制时，系统更加不稳定，鲁棒性能效果不理想，稳定时间变得更小。因此，在上述理论的基础上，分别将两个控制器进行组合，形成双PID控制组合，得到的倒立摆系统闭环PID控制器如图7所示。利用这种双闭环控制器，得到倒立摆的实时控制仿真曲线，如图8、图9所示。

从图8、图9可以很清晰地看到，摆杆在两个控制器的控制下维持倒立稳定，虽然小车仿真曲线出现震荡，但是小车可以在导轨上的某个范围内一直运动，保证摆杆倒立不倒。本实验仿真结果显示：双闭环控制器对此倒立摆系统具有很好的控制作用。

图7 倒立摆系统闭环PID控制器

图8 闭环PID控制下小车位置仿真曲线

图9 闭环PID控制下摆杆仿真曲线