多节拍器耦合系统的动力学建模与分析——动量(矩)定理的应用

王晓军 吕 敬 王 琪

∗(常州工学院机械与车辆工程学院，江苏常州213032)

†(北京航空航天大学航空科学与工程学院，北京100083)

多节拍器耦合系统的动力学建模与分析
——动量(矩)定理的应用

王晓军∗,1)吕 敬†,2)王 琪†

∗(常州工学院机械与车辆工程学院，江苏常州213032)

†(北京航空航天大学航空科学与工程学院，北京100083)

应用质点系的动量定理和相对动点的动量矩定理，建立了多个节拍器耦合系统的动力学方程.通过数值仿真，分析了其同步现象，并通过实验给予了验证.该问题可用于理论力学课堂教学，丰富教学内容，增强学生理论联系实际的能力.

节拍器，动量矩定理，耦合，同步

质点系的动量定理和动量矩定理是理论力学教学基本内容，可用于分析求解质点系动力学问题，在运动特性分析方面有独特的作用[1].在理论力学的教学中，很多教材都介绍了在惯性参考系下对固定点的动量矩定理和相对动点的动量矩定理[25]；一些教改论文还对相对动点的动量矩定理及其应用做了深入地探讨[58]，相对动点的动量矩定理易用于研究某些实际问题[2,5,910].目前，在理论力学教材中，或在课堂教学中，均有关于质点系动量 (矩)定理应用的实例.若进一步补充既有动力学建模，又有数值仿真和实物实验的应用实例，则更有助于提高学生综合应用所学知识以及分析问题和解决问题的能力.

本文以多节拍器耦合系统(如图1所示)作为质点系动量(矩)定理的应用实例.首先，根据单个节拍器的实验现象和机械结构，建立单个节拍器简化的力学模型；然后，应用质点系的动量定理和相对动点的动量矩定理建立多节拍器耦合系统的动力学方程；最后，通过数值仿真和实物实验再现并分析该系统运动的同步现象.

图1 三个节拍器耦合系统

1 系统的力学模型及其动力学方程

1.1 单个节拍器的力学模型及其动力学方程

设节拍器的摆杆为相对其支座转轴O作定轴转动的刚体(图2所示)，其中：支座质量为mt，摆杆质量为mR，摆杆质心为点C，偏心距为L，绕O轴的回转半径为ρ，摆杆与铅垂线的夹角为θ.

根据节拍器的结构特性和节拍器的实物实验可知，当摆杆在某些范围内运动时，节拍器的擒纵机构会对摆杆施加一个驱动力矩MD，其数学模型可简化为

图2 节拍器模型

式中β2＞β1＞0,MOD为常量.

若 β1=0,式 (1)所示模型与文献[11-12]给出的模型相同.但我们在实验中发现，当节拍器摆杆的摆角较小时，驱动力矩MD为零.

摆杆还受到阻力矩作用，将其视为线性阻尼力矩[11-12]

式中ci为阻尼系数.

若节拍器支座固定不动，则应用对固定点的动量矩定理，可得到摆杆的动力学方程

1.2 多个节拍器运动耦合的力学模型及其动力学方程

设多节拍器耦合系统由n个节拍器与一个质量为mT的平移滑板固连而成，如图3所示.滑板放置在两个小轮(忽略其质量)上，滑板质心CO的水平坐标为x，其上受到水平阻尼力[1112]FR=−cR˙x的作用(cR为滑板的阻尼系数).

图3 多节拍器耦合系统模型

应用质点系的动量定理，可得该耦合系统的动力学方程(动量形式)

根据相对动点的动量矩定理，摆杆i绕轴Oi转动的动力学方程为

式中PMOi为作用在摆杆i上所有外力对Oi轴之矩的代数和；MIOi是牵连惯性力−mRiaOi对Oi轴之矩 (aOi为滑板的加速度)，该力矩体现了节拍器间的惯性耦合.由上式可得第i个节拍器摆杆的动力学方程

式(4)和式(6)为该多节拍器耦合系统的动力学方程.

2 数值仿真算例

系统参数:mR=0.1kg,mt=mT=0.2kg,ρi=0.02m,Li=6.5mm,β2=0.2rad,β1=0.1rad,ci=2.0 × 10−5N·m·s/rad,cR=1.0 × 10−5N·s/m,MODi=1.5N·mm.

算例1 单个节拍器的动力学仿真

设单个节拍器固定放置在水平地面上，摆杆的初始条件为θ0=0.6rad,˙θ0=0.0rad/s.情况1：节拍器无扰动力矩作用；情况2：节拍器在t∈[0.7,1.7]时受到扰动力矩 Md=0.002N·m 的作用.图 4给出了上述两种情况下摆杆摆角的时间历程.图中虚线为无扰动力矩作用时摆杆摆角的运动情况，实线为有扰动力矩作用时摆杆摆角的运动情况.由图可见，扰动力矩的作用改变了摆杆振动的振幅和相位.在这两种情况下，由于阻尼的作用，摆杆的振幅逐步趋于相同，但引起了相位差.数值仿真单摆的振幅和周期与实物实验吻合.

图4 单个节拍器摆角的时间历程

算例2 多个节拍器耦合系统的动力学仿真

设n个节拍器固定放置在可沿水平方向平移的滑板上，滑板和节拍器的参数同上.

当n=2时，设初始条件分别为θ01=0.6rad，˙θ01=0.0rad/s，θ02=−0.3rad,˙θ02=0.0rad/s.图 5(a)为 θ1(实线)和 θ2(虚线)的时间历程，图5(b)为两个摆杆的摆角相位差 Δθ=θ1−θ2的时间历程.可见两个节拍器的运动最终实现了同步.初始时段，摆杆运动不同步，作用在其杆上的力矩和也不同，如图5(c)所示(实线为M1的时间历程，虚线为M2的时间历程)；在该力矩的作用下，使得摆杆的摆角不断调整，经过一段时间后，两个摆杆的运动达到了同步，此时作用在其上的M1和M2也相同，如图5(d)所示，进而保持了系统的同步运动.

图5 2个节拍器耦合系统

当n=3时，初始角度分别为：θ01=0.6rad，θ02=−0.4rad，θ03=−0.5rad，初始角速度均为零.图6给出了数值仿真的时间历程，由该图可知，3个节拍器最终达到同步运动，图1为3个节拍器达到同步时的实验照片.上述仿真结果均与实物实验的运动特性吻合.

图6 3个节拍器耦合系统Φ的时间历程图

值得指出的是，多个节拍器耦合系统有丰富的动力学行为.两个节拍器的耦合系统，不仅有同向同步 (如本文给出的运动)，还会有反向同步；三个节拍器的耦合系统还会出现混沌运动；具体是哪种运动形式，与系统的参数有关，也与系统的初始条件有关；详细仿真与分析可参阅文献[11-12].

本文将多节拍器耦合系统作为质点系动量(矩)定理的应用实例，在课堂教学的实施过程中有以下特点：(1)该系统易于在课堂上演示，其力学现象易激发学生的兴趣；(2)通过讲解该系统动力学建模过程，有助于进一步提高学生分析和解决问题的能力；(3)通过数值仿真与实物实验在课堂上的演示与对比，可说明模型建立的合理性.综上所述，在课堂教学中讲解该系统的动力学建模与仿真分析过程，在某种程度上能让学生体会解决实际问题的全过程，有助于培养学生理论联系实际的能力和综合应用所学知识解决实际问题的能力.

1贾书惠,质系动量矩定理应用二例.力学与实践，2003,25(5):64-66

2刘延柱,杨海兴,朱本华.理论力学，第 2版.北京：高等教育出版社，2001

3谢传锋,王琪.理论力学.北京：高等教育出版社，2014

4朱照宣,周起钊,殷金生.理论力学 (下).北京:北京大学出版社，1994

5杜茂林,方秦,陈国良.建议不引入对动点的绝对动量矩定理.力学与实践,2008,25(4):189-191

6朱仁贵.对动点的动量矩定理在刚体平动中的应用.力学与实践，2013,35(1):80-82

7周又和.关于“动矩心”的几种动量矩定理的一致性.力学与实践，1990,12(1):59-61

8梅凤翔，关于对动点的动量矩定理——理论力学札记之八.力学与实践,2011,33(3):67-69

9吴海龙,滚仰式稳定平台质量不平衡分析.西安交通大学学报.2015,49(5):108-115

10刘延柱,趣谈半爿自行车.力学与实践,2016,38(4):467-468

11 Kapitaniak M,Czolczynski1 K,Perlikowski P,et al.Synchronization of clocks.Physics Report,2012,517(1-2):1-69 12 Czolczynski K,Perlikowski P,Stefanski A,et al.Clustering of Huygens’clocks.Progress of Theoretical Physics,2009,122(4):1027-1033

O313

A

10.6052/1000-0879-17-337

2017–09–28收到第1稿，2017–11–08 收到修改稿.

1)王晓军，副教授，主要研究方向为动力学与控制.E-mail:wangxiaojunpz@163.com

2)吕敬,通讯作者，副教授，主要研究方向为动力学与控制.E-mail:lvjing@buaa.edu.cn

王晓军,吕敬,王琪.多节拍器耦合系统的动力学建模与分析——动量(矩)定理的应用.力学与实践,2017,39(6):606-609

Wang Xiaojun,Lu¨ Jing,Wang Qi.Dynamic modeling and analysis of multi-metronome coupling systems—application of momentum(angular momentum)theorem.Mechanics in Engineering,2017,39(6):606-609

(责任编辑:胡 漫)