涡是搓出来的吗？

赵军方

(海军大连舰艇学院军事海洋系，辽宁大连116018)

涡是搓出来的吗？

赵军方1)

(海军大连舰艇学院军事海洋系，辽宁大连116018)

涡旋运动是流体运动的基本运动形式，黏性流体的运动几乎是处处有旋的.这就容易造成误解：黏性是产生涡量的条件，也是产生涡量的机制.实际上，黏性流体中的剪切力不能在流体内部产生涡量.而是在剪切变形的不连续处产生涡量，再由黏性扩散到流体的其他区域.准确地讲，黏性流动的涡量不是由剪切应力 “搓”出来的，而是在剪切变形的不连续处“裂”出来的.

涡旋，黏性，剪切应力，扩散

著名流体力学家柯奇曼曾经说过，“旋涡是流体运动的肌腱”[1].这句话是流体力学中的至理名言，深刻概括了涡旋在流体运动中的作用[2].北京航空航天大学陆士嘉教授也曾经指出，“流体的本质就是涡，···流体经不住搓，一搓就搓出了涡.”[3]这句话既道出了流体与固体的本质区别，又点明了流体运动中出现涡旋的原因[2].

涡旋产生的原因很多，也十分复杂.近代流体力学已经证明，只要在流体中有“涡量源”，就会产生涡量[2].说涡是搓出来的，这是说出了流体运动中涡量的一个来源.这个来源即为黏性流体的剪切力[2].

另外，黏性流体的运动特点之一就是有旋性[4].如果流体有黏性，其流动几乎都是有旋的.所以，黏性流动就和旋转、涡量紧密联系在一起了.但如此一来，会让学生感觉到流体的黏性能产生涡旋运动，从而产生了黏性力直接生出涡量的认识.并且流体内部的速度分布、应力分布也会让学生感觉到，流体内部的涡量就是由剪切力形成的，说得形象一些，就是由剪切力搓出来的.但这样的认识是错误的，需要及时修正.本文通过分析黏性在流体内部的作用，提炼黏性流动中产生涡旋的条件，帮助学生对涡量与黏性的关系建立起科学的、正确的认识，更准确地理解黏性流体中涡旋运动的动力机制.

1 剪切应力本身不能产生涡量

首先来说明“搓出涡来”的意思.剪切力看上去有相互搓捻的意味.搓，就是剪切力的形象说法.黏性是剪切表面力的表现.所以，黏性流体的运动中，存在着“搓”这样的动作.“搓出涡来”，应该是指，本来没有涡量，通过搓这种方式，使其有了涡量.如果本来就有，只是由它分散，就不能称作“搓出涡来”.所以，所谓“搓出涡来”，就是指，通过剪切力使原来没有涡量的流体内部具有了涡量.

单单看“涡是搓出来的”这句话，可能会让学生这样认为：黏性流体内部的涡也是搓出来的.并且可以有很好的理由支持 —— 黏性流体内部的确有搓捻流体的剪切力.一般会这样解释：比如在平行剪切流中，如图1所示，两个无穷大平板间充满动力黏性系数µ为常数的均质不可压缩流体，上板以常速度U在平板平面内沿x方向滑动，下板静止不动.两板间的距离为h.流动达到定常时，速度剖面呈线性分布，可以求出流体内部的应力分布.根据速度的分布知道流场是有旋的，涡量等于 U/h，表示每个流体质点都在旋转.在流体内部任取一个流体层A，则流体层的上表面受到向右的剪切力，下表面受到向左的剪切力.从运动情况来看，流体内部的流体质点是旋转的，从受力情况来看，流体层受到如图所示的力矩的作用，并且二者的方向一致(对于本流动，都是顺时针方向的).所以，流体的旋转就是由流体内部的流体层上下表面受到的剪切力产生的力矩造成的.再联系“搓出涡来”这句话，就会认为流体内部的涡旋是黏性造成的剪切力搓出来的.

图1 平行剪切流动示意图

这样理解当然是错误的.实际上，在黏性系数为常量的流体内部，黏性力是搓不出涡来的.下述涡量输运方程可以告诉我们理由.

其中，ω为涡量场，v为速度场，ρ为密度场，p为压强场，F为单位质量的流体受到的体积力合力，ν为运动学黏性系数为随体导数.由涡量输运方程可知，引起涡量变化的因素有涡线的伸缩与扭曲，流体的可压缩性，斜压性，黏滞性，体积力的无势性，分别对应式(1)右端的各项.其中，与黏性有关的是ν∇2ω.表明黏性对涡量变化的贡献是 ν∇2ω.该项的物理意义是涡量的扩散.如果流动没有涡量，即：ω=0，根据方程，黏性是不能生出涡量来的.如果有涡量，ω/=0，黏性就会按照ν∇2ω的方式把它扩散开来.这就是说，在黏性系数为常量的流体内部，黏性的作用是扩散涡量，而不是生成涡量.即：黏性并没有由无到有的“生出”涡量的作用.而斜压项和体积力的旋度∇×F就可以“生出”涡量(本来没有涡量，生出涡量.为了更清晰地说明黏性与涡量的关系，把这两项效应略去，假设取的是体积力有势的均质黏性流体).所以，流体内部的涡量并不是由剪切力“搓”出来的，而是由黏性扩散过来的.

流体内部具有剪切应力，有搓捻的动作，怎么就不能搓出涡量来呢？这是因为，应力是对称张量，剪切应力就是互相对称的那些分量.剪切应力在上下两个面上搓捻的效果，与左右两个面上搓捻的效果完全抵消(对称就是这个意思)，剪切应力的总搓捻效果为零.所以搓不出涡量来.

2 黏性产生涡量的根源是流体微元变形的不对称

对于普通的流动(指流体各要素是光滑分布的)来说，通过对速度场求梯度，可得到流体微元的速度梯度张量.利用n阶矩阵的性质，把速度梯度张量分解为对称张量和反对称张量，对称部分就是流体微元的变形率张量，反对称部分就是流体微元的旋转张量[3].根据广义胡克定律，变形率与应力之间建立起联系.所以，应力对流体微元的作用就是对速度梯度的对称部分(即应变率张量)产生影响，而不能对反对称部分(即旋转张量)产生作用.所以，作为应力张量的一部分的剪切应力也就不能对旋转产生作用，也就是说，剪切应力不能产生涡量.

这样看来，黏性对应的剪切力是搓不出涡来的.难道黏性流动可以是无旋的？实际上，除了极特殊的流动之外，黏性流动几乎都是有旋的.那么，黏性流动中的涡究竟是怎样产生的呢？在哪儿产生的呢？

从上面的叙述可知，剪切应力是对称的，流体微元的剪切变形是对称的，黏性力在流体微元的面上的整体力矩效果为零，所以搓不出涡来.只有在打破这种对称分布的地方，黏性才可能对流体产生净的力矩作用，在流动中搓出涡来.也就是说，流体内部的某个区域，如果能使得流体微元的变形不具有对称性，这个区域可能就是涡源的所在了.从另一个角度讲，破坏了变形速度的不对称，就相当于“引入”了速度梯度张量的反对称部分，也就相当于生出了旋转张量部分，也就是产生了旋转，生出了涡量.所以，黏性产生涡量必定出现在流体微元变形不对称的区域.

3 固体边界处流体微元的变形不对称

对于黏性流体来说，固体边界是涡量的最常见的源[5].在固体边界处流体运动须满足无滑移速度边界条件，物面处的无滑移速度与流体内部的运动，导致物面处产生极大的剪切力，必然会在物面上“搓”出足够大的涡量，这些涡量又被黏性扩散到流体内部[1].也就是说，流体的黏性本身并不能产生涡量，而是黏性通过固体物面产生涡量，就是所谓的“搓”出涡来.再由黏性扩散到流体内部.

在固体边界处，流体微元的变形是受到限制的.如图2所示，在流体内部，流体微元受到剪切应力作用，它对应的变形是剪切变形，由图2中A的样式变成B的样式.而固体边界处的流体微元，由于固体的不可穿透性，该微元的下表面是不能离开固体边界的，因此也就产生不了剪切变形.因此，固体边界实际上是打破了流体微元变形的对称性.相当于对流体微元施加了一个力矩，阻止它发生剪切变形.该流体微元的变形就只能是平行剪切变形，变成图中C的样式.正是微元变形的这个不对称，成了黏性流动的涡量的源.

图2 固体边界处流体微元的变形示意图

所以，黏性通过固体边界产生涡量，并不是剪切应力“搓”出来的，而是固体边界对流体变形的限制产生的.从受力角度看，在固体边界处，固体边界会对流体施加额外的力，对流体微元产生净的力矩作用，使得流体微元发生旋转，具有了涡量.

4 黏性系数不连续的界面处流体微元的变形不对称

在流体内部，如果流体的黏性系数不连续，流体微元的变形也会打破对称性.如图3所示，处于两平行平板之间的两层黏性流体，黏性系数均为常量，但不相等.下板静止，上板匀速移动.上下两层流体中的速度分布如图3所示.在界面处，应满足这样的条件：速度连续，剪切应力连续.两层流体的黏性系数不同，所以，上下两层流体微元的剪切变形的速率不一样(参见图3).上层流体中，流体微元受到剪切应力作用，发生剪切变形，由图3中D的样式变成E的样式.而在下层流体中，同样的时段内，则变成图中F的样式.这样，变形率在界面处就不连续了.黏性系数的不连续也就打破了流体微元变形的对称性.所以，界面处就可能是黏性产生涡量的区域.

图3 两层黏性系数不同的流体界面处流体微元的变形示意图

这样看来，黏性在流体内部也可以产生涡量.但也不是由剪切应力“搓”出来的，而是微元变形的不对称导致了流体内部产生额外的应力，这个应力驱动了流体微元的自转，为流体提供了涡量的源.

5 自由表面处流体微元的变形不对称

液体通常具有自由表面.在自由表面处，应满足这样的边界条件：应力的法向分量为常量(一般是大气压强)，切向分量为零[5].如果有不为零的切向应力，则意味着自由表面受到了外力的作用.在自由表面处，速度分布始终保持切向速度沿法向的梯度为零，如图4所示.除非是定常平面的自由表面，保持这样的速度分布是需要内力的“付出”的.流体内部的流体微元按照胡克定律变形着，如果内部的流动有变化，通过黏性传递到自由表面时，也会在自由表面上产生相应的切应力，而此切应力会使得流体表面(的流体)产生无穷大的流体加速度.这个由黏性力导致的流体加速度就在边界上产生涡量[5].黏性流体始终维持着自由表面附近边界层内的切向速度相等，一定是黏性流体用“力”维持的.也就是说，所谓“自由”的表面，正是靠恰好的约束来保证的.

图4 自由表面处的速度分布示意图

自由表面上的切应力时时为零，如果自由表面是弯曲的，随时间变化的，流体内部的变形在自由表面处必须为零的条件就使得变形在该边界处不连续了，从而破坏了流体微元变形的对称性，使得自由表面处成了黏性流动的涡量源.

6 结语

从现象上看，黏性产生涡源的区域大概有三个：固体边界处、流体内部黏性系数不连续的界面处和自由表面处.它们又可以统一在一起看，即：这三个区域都是打破了剪切变形的对称性的区域.所以，黏性产生涡量的根源，从运动学角度讲，是剪切变形的不连续.从动力学角度讲，流体会在剪切变形的不连续处产生额外应力，这个应力会对流体微元产生净的力矩作用，从而使流体微元产生旋转.这个额外力，来自于流体黏性系数的不连续(固体可看作是黏性系数为无穷大的情况，自由表面之上的空间可看作是黏性系数为零的情况)，是流体微观性质的分布不均匀在宏观层次上的呈现.

黏性流动基本上都是有旋的.黏性对应的作用力是剪切应力.但是，黏性导致的有旋运动，其涡量并不是由剪切应力搓出来的.实际上，黏性流动的涡量是剪切变形的“断裂”(即：不连续)生出来的.形象点儿说，黏性流动的涡量是在剪切变形的不连续处“裂”出来的.

1庄礼贤，尹协远，马晖扬．流体力学．合肥：中国科学技术大学出版社,2009

2王振东．流体涡旋漫谈．现代物理知识,2012,24(2):9-16

3周光坰，严宗毅，许世雄等．流体力学(上)．北京：高等教育出版社,2000

4周光坰，严宗毅，许世雄等．流体力学(下)．北京：高等教育出版社,2000

5 Batchelor GK．流体动力学引论.沈青，贾复译.北京：科学出版社，1997

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10.6052/1000-0879-16-335

本文于 2016–10–17收到.

1)赵军方，讲师，主要从事流体力学和海洋动力学教学与研究.E-mail:dongpinghu@sina.com

赵军方.涡是搓出来的吗?力学与实践,2017,39(6):635-638

Zhao Junfang.Are vortices twisted by shear stress?Mechanics in Engineering,2017,39(6):635-638

(责任编辑:胡 漫)