分析力学中Santilli方法和Engels第一方法的意义和局限性1)

丁光涛

(安徽师范大学物理与电子信息学院，安徽芜湖241000)

分析力学中Santilli方法和Engels第一方法的意义和局限性1)

丁光涛2)E-mail:dgt695@sina.com

(安徽师范大学物理与电子信息学院，安徽芜湖241000)

讨论变分法逆问题理论中的两种构造拉格朗日函数的基本方法：Santilli方法和Engels第一方法. (1)指出Santilli方法的理论意义在于直接用构造法证明自伴随微分方程能够从变分原理导出，即表示为欧勒--拉格朗日方程形式.(2)提出利用Santilli方法构造的结果,不是唯一的拉格朗日函数，而是一规范等效的拉格朗日函数族，为此修正了该方法.(3)指出在实际应用中Santilli方法的局限性，特别是对某些力学系统，可能因对参变量的定积分发散，而不能有效构造拉格朗日函数.(4)分析Engels第一方法的意义和优越性，同时指出这种方法存在与Santilli方法相似的局限性.(5)以两个力学系统为例，说明上述讨论的结论.

逆问题,拉格朗日函数,Santilli方法,Engels第一方法

变分法逆问题，或称为拉格朗日力学逆问题，是研究给定的二阶常微分方程(组)，能否通过变分原理导出，即能否表示成拉格朗日方程形式的问题.显然，解决逆问题的关键在于研究存在拉格朗日函数的条件和如何构造该函数的方法.逆问题的研究源自19世纪，在20世纪中期以后，重新得到重视和发展，成为数学力学和物理学领域中热门研究课题之一，其成果也广泛应用于其他学科领域[15].理论上已经证明，由变分原理导出的方程，即拉格朗日方程满足自伴随条件，也证明了自伴随方程存在对应的拉格朗日函数，从而可以写成拉格朗日方程形式.不同时期的许多研究者提出了多种不同的构造拉格朗日函数的方法，这些方法适用范围不同，有些仅仅用于若干特殊的方程，有些是比较基本而普遍的方法，后者中有文献[1-2]中介绍的Santilli方法和Engels第一方法.本文对这两种方法进行比较深入的讨论，指出其理论意义，探讨其导出的结果，同时分析其应用上的局限性，最后以典型的力学系统实例予以说明.

1 Santilli方法及其理论意义

力学系统基本形式的运动微分方程为

本文采用求和约定，即对同一项中重复出现的上下指标自动求和.如果方程组(1)满足一定的连续、可微条件，以及规则性条件

并且满足下列全部自伴随条件

则称方程组(1)是自伴随的.

力学系统的拉格朗日方程是自伴随的.设系统的拉格朗日函数为

则其拉格朗日方程为

则利用直接计算即可证明拉格朗日方程(5)满足自伴随条件(3)，即方程(5)是自伴随方程.由此可以提出逆问题：如果方程(1)是自伴随的，能否表示成拉格朗日方程(5)形式？若能，如何构造对应的拉格朗日函数？

Santilli给出了从自伴随方程直接构造拉格朗日函数的基本方法，在理论上用构造法证明了自伴随方程能表示成拉格朗日方程形式.Santilli方法如下：设(1)的拉格朗日函数为

其中函数K,Dk和C满足下列偏微分方程

按序解方程(8)～方程(10)，依次得到

代入式(7)，即导出待求的拉格朗日函数.这种直接从自伴随方程(1)构造拉格朗日函数，将方程表示成拉格朗日方程形式，称为直接的拉格朗日表示.

如果方程(1)不是自伴随的，但是，能够通过变换

得到新的方程是自伴随的，那么，从新方程构造得到拉格朗日函数，导出拉格朗日方程，则称为原方程(1)的间接拉格朗日表示.

2 Santilli方法的修正和拉格朗日函数族的导出

如果力学系统存在拉格朗日函数，则必然存在规范等效的拉格朗日函数

式中G(t,q)称为规范变换函数，取一族不同的G(t,q)，就得到规范等效的拉格朗日函数族.可以证明，利用Santilli方法不仅可以构造一个拉格朗日函数，而且可以直接构造规范等效的函数族，为此需要对式(9)～式(13)进行修正.根据方程(8)，式(11)可以修正为

因而，式(9)、式(12)、式(10)和式(13)依次修正为根据式(7)，得到

由于式(16)中的ai(t,q)和a0(t,q)可以任意选取，故式(22)给出的是一族拉格朗日函数，它们代入拉格朗日方程(5)，都得到相同的方程(1).可以证明，L和L′是规范等效的拉格朗日函数.

首先，考虑式(16)中附加项是一个函数对时间微商的特殊情况

则由式(17)～式(21)得到

显然，从式(22)直接给出的是规范等效的拉格朗日函数.其次，如果式(16)中附加项不是一个函数对时间的微商，即不满足式(23)，则通过直接计算式(16)和式(7)中两个函数之差L′-L，即能证明这是一个函数对时间的微商.考虑到式(16)中附加项的任意性，则表明利用修正的Santilli方法，从自伴随方程构造的结果是一个规范等效的拉格朗日函数族.

3 Santilli方法在应用中的局限性

Santilli方法具有重要的理论意义，但是应当指出，该方法在实际应用上有较大的局限性，表现在如下三方面：一是只能直接应用于自伴随方程，但是，很多问题给出的方程并不是自伴随的，将非自伴随方程变换为自伴随方程常常是困难的，且Santilli方法中没有包括如何将方程变换为自伴随形式的相关内容；二是Santilli方法的计算程序严格而过程繁琐，其中包含大量积分计算，在某些情况下，积分可能不能给出有限形式的结果；三是Santilli方法中反复进行参变量定积分，有可能出现积分发散情况，而在多次积分中只要一次出现这种情况，就无法构造得到拉格朗日函数，这是Santilli方法值得注意的局限性.下面将举例说明，即使某些典型的简单的力学系统，都由于这个问题而不能利用Santilli方法构造拉格朗日函数.

4 Engels第一方法的理论意义和应用局限性

设基本形式的二阶常微分方程组

满足自伴随条件，则其拉格朗日函数可以利用下式计算

这就是计算自伴随方程的Engels第一方法，它与Santilli方法相似，形式上是适用范围较广的普遍方法，它的优越性在于计算过程简单明确.

Engels第一方法的意义值得研究，式(26)右端前一项实际上是从自伴随运动微分方程直接计算导出的与广义加速度相关的拉格朗日函数[1,67],即

但是这个拉格朗日函数与广义坐标对时间二次微商是线性相关的，可以利用规范变换消去，式(26)右端后一项实际上就是规范变换项，消去了全部与加速度相关项后，得到的是仅与广义坐标对时间一次微商相关的拉格朗日函数.

根据变分原理，将欧勒--拉格朗日算子作用到拉格朗日函数上，就导出系统的运动微分方程，即

已经指出上述运动方程是自伴随的.Engels第一方法表明，对自伴随的运动微分方程，由式(26)给出的积分--微分复合运算能够从运动方程得到对应的拉格朗日函数.式(26)可以写成算子形式

式(28)和式(29)中两个算子形式上构成一对互逆运算.在20世纪90年代国内有学者提出“变分”的逆运算——“变积”运算概念[8]，近来文献[9]指出Engels第一方法就是“变积”运算，从而以新的角度揭示这个方法的重要意义.

然而，在实际应用上Engels第一方法与Santilli方法类似，也存在对非自伴随方程变换为自伴随方程的困难，也存在积分的困难，特别是存在对参变量定积分发散的可能，从而有不能构造拉格朗日函数的局限性.在下面的举例中，同样可以发现这个方法对某些简单的力学系统不能使用.

5 算例及其分析

算例1一维阻尼运动

方程是非自伴随的，但是，容易变换为自伴随的方程

利用Santilli方法，得到

为了说明修正的Santilli方法，取

显然，附加项不是某个函数的全微商，利用式(17)～式(22)，得到

即L′是L的规范等效拉格朗日函数.

方程(30)还可以变换成为另一种自伴随方程

显然，无论是利用Santilli方法，还是利用Engels第一方法，对方程(31)都可以得到拉格朗日函数，但是，对方程(35)都由于参变量定积分的发散问题，不能给出拉格朗日函数.事实上，利用其他方法，可以得到方程(35)的拉格朗日函数为

算例2一维平方反比力场中粒子运动

这是简单的保守力场中粒子运动问题，方程(37)是自伴随的，拉格朗日函数为但是，无论是利用Santilli方法，还是利用Engels第一方法，都会由于对参变量定积分的发散，而不能导出拉格朗日函数.这就是说，两种方法应用上的的局限性不容忽视.

6 结论

本文讨论了构造拉格朗日函数的Santilli方法和Engels第一方法的理论意义，以及它们在实际应用中的困难和局限性，特别是两种方法中都存在对参变量的定积分可能出现发散问题，因此对很多力学系统，这两种方法不能构造对应的拉格朗日函数.另外，本文对传统的Santilli方法进行了修正，利用这种修正的方法构造的结果不是唯一的拉格朗日函数，而是规范等效的拉格朗日函数族.应当指出，其他的构造拉格朗日函数的方法，也和这两种基本方法类似，都有各自的特点和局限性，因此继续发展和完善已有的方法，研究并提出新的实用范围更为广泛的方法，仍然是变分法逆问题研究的重要课题.

1 Santilli RM.Foundations of Theoretical Mechanics I.New York:Springer-Verlag,1978

2梅凤翔.分析力学专题.北京：北京工业学院出版社，1988

3 Saunders DJ.Thirty years of the inverse problem in the calculus of variations.Reports on Mathematical Physics, 2010，66:43-53

4 Lopuszanski J.The Inverse Variational Problem in Classical Mechanics.Singapore:World Scienti fi c,1999

5丁光涛.理论力学.合肥：中国科学技术大学出版社,2014

6丁光涛.经典力学中加速度相关的Lagrange函数.物理学报，2009,58(6)：3620-3624

7丁光涛.计算加速度相关Lagrange函数的方法.物理学报，2009,58(10)：6725-6728

8 Liang LF,Shi ZF.On the inverse problem in calculus of variations.Applied Mathematics and Mechanics,1994, 15(9):815-830

9陈海波，丁光涛，许雪艳.关于变积的研究.动力学与控制学报，2016，14(6):492-495

(责任编辑:胡漫)

SIGNIFICANCE AND LIMITATIONS OF SANTILLI’METHOD AND FIRST ENGELS’METHOD IN ANALYTICAL MECHANICS1)

DING Guangtao2)
(College of Physics and Electronic Information,Anhui Normal University,Wuhu 241000,Anhui,China)

Two methods for the construction of a Lagrangian in the theory of inverse problem,the Santilli’method and the fi rst Engels’method,are discussed.(1)It is pointed out that the theoretical signi fi cance of the Santilli’method is in the fact that by a direct construction of Lagrangian one may prove that the self-adjoint di ff erential equations can be derived by the variational principle,that is,represented in terms of the Lagrange’s equations.(2)It is manifested that what constructed by the Santilli’method is not a unique Lagrangian,but a family of gauge equivalent Lagrangians,and the Santilli’method is modi fi ed.(3)The defects of the Santilli’method in practical applications are pointed out,especially for some mechanical systems,because the de fi nite integral depending on a parameter is divergent,so the Lagrangian can not be constructed.(4)The signi fi cance and advantages of the fi rst Engels’method are discussed,and the defects of this method are also pointed out. (5)Two examples are given to illustrate the application of the result.

inverse problem,Lagrangian,Santilli’method,the fi rst Engels’method

O316

A

10.6052/1000-0879-16-157

本文于2016–05–04收到.

1)国家自然科学基金资助项目(11472063).

丁光涛.分析力学中Santilli方法和Engels第一方法的意义和局限性.力学与实践,2017,39(2):180-184 Ding Guangtao.Signi fi cance and limitations of Santilli’method and fi rst Engels’method in analytical mechanics.Mechanics in Engineering,2017,39(2):180-184