弹性力学的三段式教学方法1)

张伟伟田锦邦

(太原科技大学力学系,太原030024)

弹性力学的三段式教学方法1)

张伟伟2)张伟伟，副教授，主要研究方向为结构损伤检测方法、力学史与方法论.E-mail:zwwps@tyust.edu.cn田锦邦3)田锦邦，副教授，主要研究方向为冲击动力学、结构抗震分析.E-mail:jinbang 518@126.com

(太原科技大学力学系,太原030024)

提出了弹性力学三段式教学方法，即围绕每一知识点,按照工程背景、数理基础、力学原理进行划分，在教学实施中遵循先工程，后数理，再力学的讲解顺序.工程背景可与材料力学知识点进行衔接；数理基础与高等数学、解析几何等数理课程衔接，实现知识点的迁移教学；最后利用力学原理构建弹性力学的基本理论.以弹性力学中平衡方程的讲解为例，阐述了三段式教学方法的实施过程.该方法对降低学生学习弹性力学中的畏难情绪，提高学习信心有一定的积极作用.

弹性力学,教学方法,教学研究,迁移教学

弹性力学课程是工程力学专业的核心课程之一，在课程顺序上一般安排在理论力学和材料力学之后.在知识体系上，材料力学主要涉及细长结构，如承受轴力的杆、柱，承受扭转的轴和承受弯曲的梁三类受力构件及其组合形式.由于材料力学工程背景强，理论相对简单，学生在学习过程中容易形成直观认识，成为变形体力学的入门课程.但实际上，材料力学的某些结果仅是弹性力学解在一定条件下的简化，例如对于梁结构，材料力学采用平截面假设得出梁承弯时正应力呈线性分布的结论，但在弹性力学中数理推导表明平截面假设并不完全正确，只是在长高比较大时(例如大于10:1)应力分布非常接近于线性分布而采取的一种近似结果.由于弹性力学的研究对象不局限于细长结构，材料力学理论可以借助于弹性力学加以完善.这说明，一方面材料力学是弹性力学的先导课程；另一方面，弹性力学又是材料力学课程的有效补充.

此外，弹性力学课程的重要性还体现在它是几乎所有变形体力学的基础，如塑性力学、断裂力学、流体力学、计算力学等课程.对于工程力学专业学生而言，学好弹性力学对于理解和掌握其他变形体力学具有重要意义.因此，弹性力学教学方法受到了教师和学者的广泛关注.一部分学者为了应对课时减少、学生学习兴趣不高的问题展开了教学改革探讨[12]；另一些学者围绕课堂教学，分析和探讨如何学好弹性力学.例如，朱克强等[3]总结了弹性力学中平面问题和数值方法的难点及对策；王骥等[4]讨论了数学基础造成学生学习弹性力学的困难；潘东辉等[5]将MATLAB/PDE工具箱引入弹性力学教学，实现弹性力学的可视化教学.本文将首先对弹性力学课程特点进行分析、整理，指出学习弹性力学要求学生同时在工程、数理、力学三个方面具有较高的素养，为此，本文围绕弹性力学知识点，将每一知识单元均划分为工程、数理和力学三个模块，在教学上依次展开，称之为三段式教学法.该方法对降低学生在学习弹性力学中的畏难情绪，提高学习信心有一定的积极作用.

1 弹性力学课程特点与难点分析

工程力学专业规范中对弹性力学课程内容的指导意见包括12个知识单元，分别为基本假设、应力状态、应变状态、应力与应变关系、弹性问题的建立、直接坐标系解答、极坐标系解答、柱坐标系解答、弹性力学方程的通解及其应用、热应力、弹性波的传播、弹性力学变分解法[6]，除弹性波的传播作为选修内容外，其他均为弹性力学核心知识点.这些知识点在弹性理论体系上可分为两大块：一是建立弹性力学基本理论，包括基本假设、概念，以及弹性理论基本方程的建立；二是弹性力学典型问题的求解理论，包括力法、位移法和若干专题.图1所示为弹性力学知识体系基本框架结构图(参考教材徐芝纶《弹性力学》(第4版)[7]).

图1 弹性力学的知识体系结构图

显然，弹性力学与工程和数学密切相关，因此弹性力学要求学生同时在工程、数理、力学三个方面具有良好的素养.然而，在实践中三者训练的思维方式各有不同.工程学主要训练学生直观的工程想象能力，研究对象主要是看得见、摸得着的实体模型；而数理推导则恰好是要求养成抽象能力，培养严密的逻辑推理能力.我们见过工程技能很强的学生，也见过数学推理很强的学生，但同时具备较强工程技能和数理推理能力的学生并不多见，这主要在于这两者培养的思维方式不同，养成一种思维习惯的同时，有可能丢掉另外一些思维习惯.在教学中也容易出现数理推导能力强的学生不擅长构建工程模型，这类学生容易形成严密的逻辑推理但缺乏直观的空间想象能力；相反擅长构建工程模型的学生在数理推导上又有欠缺，这类学生易形成直观的空间想象能力但缺乏严密的逻辑推理能力.对于力学学习者则不仅需要把这两种思维进行调和，还需要能够利用力学原理能对其互相表述，互相翻译.不同思维方式的培养，容易在学习过程中顾此失彼，这就是弹性力学在思维培养上的难点所在，也是弹性力学的教学难点所在.

为了克服这一难点，在弹性力学的讲解中，有必要先对弹性力学的知识点进行划分，围绕知识点再分割出工程背景、数理推导和力学原理3个部分，逐步分次培养学生的两种思维能力，并培养学生在工程和数理之间互相翻译、解读的能力.按照该思路，图2粗略对弹性力学的知识三段式教学进行知识点划分.工程背景不外乎解决工程中的强度、刚度、稳定性问题，或者为其逆问题研究.而弹性力学中所用到主要数理基础包括函数、解析几何和微分方程、数理方程的相关内容.在教学实践中，可与图1结合，进行更为详细的分解.

图2 弹性力学知识点划分与材料力学与数理课程的衔接关系

弹性力学的三段式教学法可形象地比作桥梁的施工工序，先帮助学生建立工程意识，然后准备数理基础，这两项工作相当于桥梁的桥墩，最后利用力学原理建立工程与数理之间的沟通.力学一方面建立在工程与数理基础之上，另一方面又是沟通工程与数理之间的桥梁.三段式教学法旨在有针对性地培养学生工程、数理和力学三方面的思维能力，将弹性力学知识点先化解为前期课程相关知识，利用迁移教学降低学习难度，然后，以前期课程为基础建立弹性力学的知识体系，同时促成知识教学和思维教学.以下将以建立平衡微分方程为例说明三段式教学法的实施过程.

2 三段式教学法案例：平衡微分方程的建立

平衡微分方程是弹性理论的重要内容，是弹性力学的理论基础.本节以平衡微分方程(徐芝纶《弹性力学》[7])为例说明三段式教学法的实施过程，其分析和数理推导代表了典型的力学思维方式.学生对该部分内容的掌握和理解程度很大程度上会对后续内容产生影响.如果在这一部分教学中帮助学生养成一定的力学思维方式，学生将在后续内容的学习中达到事半功倍的效果.

知识点三段式划分：弹性力学具有和材料力学相同的研究目标，即解决工程问题的强度、刚度、稳定性问题.平衡方程建立物体内各点之间应力分量需要满足的关系，对其求解可确定出物体在变形过程中各点所承受的应力.由于强度问题大多与应力相关，可将平衡方程的工程背景视为解决强度问题.其次，应力分量作为未知数，利用函数和几何知识对应力分量进行合理描述.最后，利用力学平衡原理列出应力分量需要满足的平衡方程.因此，将平衡微分方程知识点按照三段式划分，可分为：(1)工程背景，求解应力可解决工程中的强度问题；(2)数理基础，利用函数和几何知识描述微元体上的应力分量；(3)力学原理，依据平衡原理建立应力分量需要满足的微分方程.

教学实施过程：平衡微分方程的讲解可依据图3所示步骤依次进行，同时注意与已学过的材料力学、高等数学、理论力学的知识衔接.

第一阶段包括图3中的①.介绍平衡方程的应用背景在于解决工程中的强度问题，做好弹性力学与材料力学的衔接.材料力学(包括结构力学)主要任务在于解决构件的强度、刚度、稳定性问题.从力学参量来看，强度问题依赖于应力分量，材料力学中4种强度理论以及莫尔强度理论均由应力分量表示，这就是说只要能求出构件内各点处的应力分量，就可以解决构件中的强度问题.弹性力学平衡方程，相当于先设出构件中的应力分量作为未知量，然后利用力学原理建立未知量应满足的关系，最后希望通过求解方程获得构件应力分量，再返回到强度理论，对构件进行强度校核或强度设计.当然，只有平衡方程并不能形成封闭解答，仍需要补充几何方程和物理方程.但如果独立地看平衡方程，它表示应力分量需要满足的微分方程，如果可以求得应力分量即可解决工程中强度问题.由于学生在学习弹性力学前学习了材料力学，因此工程中需要解决强度问题的概念相对容易建立，在讲解中可通过回顾材料力学中强度理论的工程背景，使学生建立弹性力学的工程意识.

第二阶段包括图3中的②③④.利用函数和几何知识描述微元体上的应力分量，是本知识点的难点所在，需要深入讲解.继续细分，该难点的理解包含两个关键点：(1)微元体的概念与作用(图3中③)；(2)微元体上的应力分量如何确定(图3中④).

图3 平衡微分方程知识点划分及学习过程

图4 微元体的应力分量图

第三阶段，完成了第一、第二部分就相当于桥梁的两个桥墩施工完成，第三部分则要依据平衡原理建立平衡方程，即完成连通数理推导与工程应用的桥梁.在讲解中，强调此处的平衡方程与理论力学中平衡方程具有相同的本质，做好知识迁移准备.并且强调建立的是力的平衡方程，而不是应力的平衡方程.因此，在图4所示的应力分量下，利用应力乘以面积、体力乘以体积在x和y两个方向合力为0列平衡方程，并进行化简得到弹性力学平衡微分方程；对微元体某点取矩，合力矩为0可导出剪应力互等.

至此，平衡微分方程主要内容基本完成，有一点需要引起注意.学生在听讲完课堂知识后，容易封闭在课程知识内，认为平衡方程就是这样.为了避免学生形成封闭思维，本知识点结束后应引导学生进行开放思考.如提出问题：假如存在电场、磁场力等耦合作用,应该如何建立平衡方程？按照力学思路，电场、磁场的作用效果将以体力的形式作用于微元体，在体力基础上叠加电场、磁场产生的体力即可建立耦合条件下的平衡方程.这样可避免学生的知识结构闭合在课堂学习中，容易养成开放式学习心态.

3 总结

三段式学习法在于先将知识点分解为工程、数理、力学三个模块，依照先工程,后数理，再力学的讲解步骤进行教学.要点在于将弹性力学知识分解后，可与先前课程如高等数学、解析几何、微分方程、理论力学、材料力学等课程相关联，让学生在学习中感觉都是在学之前学过的知识点，利用好迁移教学，这样可在一定程度上降低学生学习弹性力学的畏难情绪.同时，三段式教学法分析了三部分内容在教学中对学生不同思维能力的养成，即要有直观的工程建模思维，也要培养良好的数理逻辑思维，而力学思维就是要在工程与数理之间建立畅通的沟通，相互解释和翻译.

1赵春香,南景富.《弹性力学》教学改革的探索与实践.高教学刊, 2016,(2):113-114

2楼文娟，梁洪超，杨骊先.《弹性力学》课程教学改革探析.高教论坛,2015,(7):40-44

3朱克强,王志东,姚震球等.弹性力学教学中的重点与难点评析.华东船舶工业学院学报,1999,13(4):89-91

4王骥,杜建科,马廷锋等.研究生《弹性力学》课程中的难点根源及其对策思考.中国力学大会,西安，2015

5潘东辉,马崇武.MATLAB/PDE在弹性力学可视化教学中的应用.力学与实践,2014,36(4):500-504

6教育部高等学校力学教学指导委员会力学类专业教学指导分委员会.高等学校理工科工程力学专业规范.北京：高等教育出版社,2012

7徐芝纶.弹性力学(上)(第4版).北京：高等教育出版社,2011

(责任编辑:胡漫)

G642.1

A

10.6052/1000-0879-16-287

2016–09–01收到第1稿，2016–11–24收到修改稿.

1)太原科技大学研究生教研资助项目(20133002).

张伟伟,田锦邦.弹性力学的三段式教学方法.力学与实践,2017,39(2):191-195 Zhang Weiwei,Tian Jinbang.A three stages teaching method of elastic mechanics course.Mechanics in Engineering, 2017,39(2):191-195