对结构力学中“剪切变形对位移的影响”的进一步探讨

鲁彩凤

(中国矿业大学力学与建筑工程学院，江苏徐州221008)

对结构力学中“剪切变形对位移的影响”的进一步探讨

鲁彩凤1)鲁彩凤，博士，副教授，一直从事结构工程专业方向的教学及科究工作.E-mail:lucaifeng@cumt.edu.cn

(中国矿业大学力学与建筑工程学院，江苏徐州221008)

剪切变形对位移的影响程度，不仅取决于高跨比，截面形式对其影响也较大.通过实例讨论了工程中广泛采用的三种形式截面：一般截面、薄壁型截面、复合材料截面.分析表明：(1)相较于一般截面形式，薄壁型截面梁中剪切变形对位移的影响较大，尤其是短而高的薄壁梁，剪切变形引起的位移更不能忽略.(2)复合材料截面梁，剪切变形引起的位移受截面材料弹性模量比、不同材料截面高度比影响较大：截面材料弹性模量比越大，加强材料越厚，剪切变形对位移的影响越大.这会导致复合材料截面，即使是细长的梁，剪切变形引起的位移有时也不能忽略.

结构力学，剪切变形，结构位移

在结构力学中，根据单位载荷法，载荷作用下结构弹性位移计算公式可表示为[1-2]

式中，MP,FsP,FNP分别表示原载荷作用产生的弯矩、剪力、轴力分别表示单位载荷作用产生的弯矩、剪力、轴力；EI,GA,EA分别表示杆件截面的抗弯、抗剪、抗拉刚度；k为剪力不均匀系数，是一个与截面形状有关的系数.

式(1)右边的三项分别表示弯曲变形、剪切变形、拉伸(压缩)变形对位移的影响.在梁、刚架等一般梁式结构中，位移主要是由弯矩引起的，轴力和剪力影响较小，因此按照保留主要影响忽略次要影响的原则，可以忽略剪切变形对位移的影响，这即是目前大多数结构力学教材上提到的有关剪切变形对位移影响的结论[1-4].

其实，对一般截面形式的梁，剪切变形对位移的影响程度，只取决于高跨比(截面高度与跨度的比值)；而对于工程中广泛采用的薄壁型截面、复合材料截面等，剪切变形对位移的影响程度，一方面取决于高跨比，同时受截面形式的影响也较大.本文通过具体实例分别加以分析说明.

1 一般截面梁

如图1(a)所示等截面简支梁在满跨均布载荷q作用下，求跨中截面C的竖向位移.根据单位载荷法求位移的思路，先在C点沿所求位移方向施加单位竖向载荷(图1(b)).取A点作坐标原点，实际载荷和单位载荷作用下，任意截面x(0≤x≤0.5l)处的内力可分别表示为：

图1

实际载荷作用

单位载荷作用

用ΔM,ΔS分别表示由弯曲变形、剪切变形引起的位移，则有

比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响，二者的比值为

对一般形式的截面，如矩形截面bh，取横向变形系数µ=1/3，E/G=2(1+µ)=8/3[5]，剪力不均匀系数取k=1.2[1]，由式(2)得

由式(3)可知，对矩形截面梁，剪切变形与弯曲变形的比值大小只与高跨比有关，具体如表1所示.由表1可知：对一般细长梁(h/l＜1/5)，可以忽略剪切变形对位移的影响；而对于深受弯构件(h/l≥1/5)尤其是深梁(h/l＞1/2)，剪切变形对位移的影响不能忽略.据此，大多结构力学教材上给出了有关剪切变形对位移影响的结论[14].

表1 剪切变形与弯曲变形引起位移的比值ΔS/ΔM

随着圆形截面梁的直径与跨度比D/l的取值不同，剪切变形与弯曲变形引起位移的比值如表1中所示，可知：与矩形截面梁一样，对一般截面形式的细长梁(D/l＜1/5)，可以忽略剪切变形对位移的影响.

2 薄壁截面梁

在工程结构中，广泛采用薄壁截面梁.在承受弯曲载荷的梁式构件中，薄壁梁可减轻结构自重，能充分发挥材料的作用，是比较合理的结构截面形式.薄壁截面梁的截面形状或为闭口(如薄壁钢管)，或为开口(如薄壁工字形).

如对圆钢管截面(内、外环直径分别记为d和D，记α=d/D)，剪力不均匀系数取k=2[1]，由式(2)得

由式(5)可知，对钢管截面，剪切变形与弯曲变形引起位移的比值ΔS/ΔM不仅取决于径跨比，还取决于内外半径的比值.如焊接薄壁圆钢管Φ180mm×3mm，剪切变形与弯曲变形引起位移的比值如表1所示，可知：当径跨比为1/5时，剪切变形引起位移占弯曲变形的1/4多；当径跨比为1/2时，剪切变形引起位移为弯曲变形引起位移的1.6倍，远远超过同等情况下矩形或圆形截面梁.

又如对工字形截面(图2)，由式(2)得

图2

可知工形截面中，剪切变形与弯曲变形引起位移的比值受高跨比、腹板高度与截面高度比值h/H、截面宽度与腹板厚度比的影响.腹板越薄，翼缘越厚，剪切变形对位移的影响越大.表1中给出了对I40a截面，剪切变形与弯曲变形引起位移的比值情况，可知：当高跨比为1/5时，剪切变形引起位移占弯曲变形的36%；当高跨比为1/2时，剪切变形引起位移为弯曲变形引起位移的2.25倍，也远超过同等情况下一般截面形式的梁.

因此可见，对薄壁梁，尤其是短而高的薄壁梁，剪切变形与弯曲变形引起位移的比值，远超过同等情况下一般截面形式的梁，剪切变形引起的位移不能忽略.

3 复合截面梁

由两种或两种以上材料所组成的整体梁称为复合梁.复合梁在土木工程的混合结构、结构加固及维修等方面，得到广泛的应用，如钢管混凝土结构、碳纤维或钢板(型钢)加固混凝土构件等.

对复合截面梁，目前多采用简化计算的方法，以求得问题的近似解，即转换截面法(宽度折算法)[5]：将多种材料构成的截面，转换为单一材料的等效截面，然后采用分析均质材料梁的方法进行求解.

如图3是典型的钢板加固钢筋混凝土梁截面示意，记混凝土、钢板的弹性模量分别为Ec和Es，截面材料弹性模量比n=Es/Ec.若将混凝土材料所构成的截面保持不变，而将钢板材料截面沿z轴方向的尺寸乘以n，即将实际复合材料截面(图3(a))变换成仅由混凝土材料所构成的均质材料截面(图3(b)).显然，该截面的水平形心轴与实际截面的中性轴重合，对中性轴z的惯性矩为eIz=I1+nI2(I1和I2分别代表混凝土截面和钢板截面对中性轴z的惯性矩)，抗弯刚度为EceIz.可见，在中性轴位置与弯曲刚度方面，图3(b)所示截面与实际截面完全等效，因而称为实际截面的转换截面.

图3 复合材料截面

图1所示梁，若为图3所示的复合截面，由式(2)可得剪切变形、弯曲变形引起的位移的比值为

由式(7)可知在复合截面梁中，剪切变形与弯曲变形对位移的影响，不仅受高跨比的影响，还受截面材料弹性模量比n、不同材料截面高度比h′/h有关.截面材料弹性模量比n越大，加强材料越厚，剪切变形对位移的影响越大.

如截面中部采用C30混凝土，弹性模量Ec= 30GPa;上、下部位的钢板，弹性模量Es= 200GPa，钢板与混凝土牢固地连接在一起，n=6.7.表2给出了两种材料截面高度比分别为1/10和1/5时，剪切变形与弯曲变形引起位移的比值情况.如两种材料截面高度比h′/h=1/5、高跨比1/8的梁，剪切变形引起的位移占弯曲变形引起位移达到40%.

若截面中间改为木头，弹性模量Ew= 10GPa，n=20.表2给出了两种材料截面高度比为1/10时，剪切变形与弯曲变形引起位移的比值情况.如高跨比为1/8的梁，剪切变形引起的位移占弯曲变形引起位移达到近50%.由此可见，对复合材料截面梁，即使是细长梁，剪切变形引起的位移有时也不能忽略.

表2 剪切变形与弯曲变形引起位移的比值ΔS/ΔM(复合材料截面)

4 结论

剪切变形对位移的影响程度，不仅取决于高跨比，截面形式对其影响也较大，本文通过实例讨论了工程中广泛采用的三种形式截面：一般截面、薄壁截面、复合材料截面.对一般截面形式的细长梁(高跨比小于1/5)，剪切变形对位移的影响通常可以忽略不计.相较于一般截面形式，薄壁型截面梁中剪切变形对位移的影响较大，尤其是短而高的薄壁梁，剪切变形引起的位移更不能忽略.对复合材料截面梁，剪切变形引起的位移受截面材料弹性模量比及不同材料截面高度比影响较大，截面材料弹性模量比越大，加强材料越厚，剪切变形对位移的影响越大.这会导致复合材料截面梁，即使是细长的，剪切变形引起的位移有时也不能忽略，因此复合梁中剪切变形对位移的影响是一个十分重要的问题.

1龙驭球，包世华，袁驷.结构力学I——基本教程(第3版).北京：高等教育出版社，2012

2李廉锟.结构力学.北京：高等教育出版社，2010

3包世华，辛克贵.结构力学(第4版).武汉：武汉理工大学出版社，2012

4朱慈勉.结构力学.北京：高等教育出版社，2004

5单辉祖.材料力学.北京：高等教育出版社，2010

(责任编辑:胡漫)

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A

10.6052/1000-0879-16-138

2016–04–22收到第1稿，2016–06–29收到修改稿.

鲁彩凤.对结构力学中“剪切变形对位移的影响”的进一步探讨.力学与实践,2017,39(2):199-202 Lu Caifeng.Further discussion on the e ff ect of shear deformation on structure displacement in structural mechanics.Mechanics in Engineering,2017,39(2):199-202