缩小的赛格威车——谈自平衡滑板

时间：2024-08-31

刘延柱

(上海交通大学工程力学系，上海200240)

缩小的赛格威车
——谈自平衡滑板

刘延柱

(上海交通大学工程力学系，上海200240)

谈赛格威车向双轮自平衡滑板的演变，分析二者的异同.解释自平衡滑板利用两侧分离底板的转动控制加速减速和左右转弯的力学原理.

赛格威车，自平衡滑板，活力板

能自动平衡的滑板是曾被美国Time周刊评为年度最佳发明的一种新产品.这个由底板和一对车轮组成的简单玩意有着惊人的平衡能力.站立在底板上的玩家能自动保持直立状态，脚底稍做动作就能自由自在地前进后退、左转右转而无跌倒之虞(图1).这个美国发明中国制造的产品很快成为一种新时尚，成为青年族群的新宠.

图1 滑板玩家的新宠

实际上，这个被称为“双轮自平衡滑板”的发明乃是问世没几年的赛格威车的缩小版[1].我国公众最早接触的赛格威车是在2008年北京奥运会场上.当一种新奇两轮车快速来回穿梭，而看似不稳定的驾车人却直立不倒时，这一景象曾吸引了不少人的眼球.此后这种赛格威车在各大机场和火车站频频出现而逐渐为大众所习惯.将赛格威车的车轮缩小，去掉控制行进方向的操纵手柄，底板分解为左右两块，就演变成两轮自平衡滑板的新产品.因此自平衡滑板的另一个名称就是“无手柄的赛格威车”.

自平衡滑板与赛格威车的最大不同，就是底板分解为能相对转动的两个部分，外形上很像曾风行一时被称为“活力板”的人力驱动滑板[2].但车轮不是一前一后，而是一左一右安装在底板上.车轮的行进方向与底板的转轴正交，与活力板恰好相差90◦(图2).这种特殊的底板结构正是代替手柄控制方向的关键.

图2 双轮自平衡滑板

赛格威车利用加速度计检测加速度信息ax和ay，转换为底板的倾斜角信息控制车轮的驱动电机.底板向前倾斜时让车轮加速，向后倾斜时让车轮减速.人体产生的惯性力就能使直立状态保持稳定[1].电机的驱动或制动力矩属于内力，不能改变系统的运动状态.实际产生驱动或制动效果的外力是地面对车轴的摩擦力，和驾驶人倾斜时重力与法向支承力组成的力偶.

自平衡滑板采用的控制方案与赛格威车基本相同.区别仅在于，自平衡滑板对行进方向的控制不是借助手柄，而是靠驾车人脚底对两侧底板的控制动作.在左右两部分底板上各独立安装一套加速度计.如上所述，当两侧底板同时向前或同时向后倾斜时，可导致车体的加速或减速.但如控制两侧底板朝相反方向倾斜，一侧向前另一侧向后，则左右车轮一侧加速另一侧减速，车体就能绕垂直轴旋转改变行进方向.

无论在国内或国外，赛格威车主要用作一种方便的交通工具.而自平衡滑板却将这种交通工具演变成一种时尚玩具，或时尚的体育器械.作为滑板的升级产品，这个“两轮自平衡滑板”还有一个更响亮的名称––“悬浮滑板”(hoverboard).虽然这个名称并不准确，因为它有受地面约束的轮子，不能让人真的离地悬浮.但它能使驾驶人感受到自由自在飞翔般的飘浮感觉.因此尽管价格不菲，但刚一亮相就成为年青族群趋之若鹜的时尚也就不以为怪了.

附：自平衡滑板的动力学分析

设包括底板、车轮和驾驶人在内的自平衡滑板系统的质心为Oc，左右车轮的质心为Oi(i=1,2).以底板转轴O1O2的中点O为原点建立(O--x0y0z0)坐标系，x0轴沿行进方向，y0轴为垂直轴，z0轴垂直运动平面.设O至Oc的距离为l，OOc偏离垂直轴的倾斜角为ϑ.以底板Wi(i=1,2)转轴上的Oi为原点，建立底板的连体坐标系(Oi--xiyizi)(i=1,2)，xi轴沿底板平面指向行进方向，yi轴沿底板平面的法线，zi轴沿底板转轴，与z0轴平行.设底板相对平衡位置的偏角，即yi轴相对OOc轴的偏角为ψi(i=1,2).加速度计量测到的信息为底板相对水平面的倾斜角ϑ+ψi(i=1,2).此信息通过控制系统传至车轮的驱动电机，产生对车轮的驱动力矩Mmi(i=1,2)，分别与ϑ+ψi信息成正比(图3)

设左右车轮有相同的半径R，质量m和中心主惯量矩J，质心速度和角速度为vi和ωi(i=1,2).设地面在接触点P对车轮作用的法向支承力和摩擦力为Fni和Fti(i=1,2)，受力图见图4.其中省略了不影响对质心力矩的重力和轴承约束力.忽略车轮的阻力矩，列写车轮对质心Oi的动量矩定理，得到

图3 自平衡滑板受力图

设滑板系统的总质量为m0，绕过Oc点平行z0轴的惯量矩为J0，仅保留ϑ的一次项，列写系统对质心Oc的动量矩定理(图4).

图4 车轮受力图

忽略质心垂直运动加速度的高阶小量，法向支承力Fn1=Fn2=m0g/2与重力平衡，切向摩擦力Fti(i=1,2)可从式(2)解出.将上述条件和驱动力矩式(1)代入式(3)后化作

其中k0=k(l+R)/R.分析驾驶人直立平衡的稳定性时，设滑板作匀速稳态运动，底板无控制动作，令=ψi=0(i=1,2)，方程(4)简化为

只要控制系统满足k0＞m0gl/2，就能使ϑ=0的直立平衡状态保持稳定.

在驾驶人控制底板执行变速或转向的过程中，设车体保持稳定的直立状态.令式(1)中ϑ=0，控制规律简化为Mmi=kψi(i=1,2).列写系统沿行进方向的动量定理

其中v0=(v1+v2)/2为系统的质心速度.设车轮作纯滚动，令式(2)中ωi=vi/R，解出

将上式和控制规律代入式(6)，导出

如两侧底板的控制动作相同，令ψ1=ψ2=ψ，式(8)化作

则滑板加速或减速取决于ψ的符号如两侧底板的控制动作相反，令ψ1=-ψ2=ψ，则式(8)化作˙v0=0.设O1与O2的距离为b，滑板绕y0轴的惯量矩为J0y，则方向相反的摩擦力构成绕垂直轴转动的力偶，驱使滑板绕垂直轴y0产生角加速度˙ωy=(˙v1-˙v2)/b.列出滑板绕y0轴转动的动力学方程