小问题

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2017-1自由刚体的一般运动在哪些条件下可以当作刚体平面运动？提示：综合考虑运动学条件、受力条件、质量与惯量的条件等.

(2017年1月清华大学钱学森力学班“动力学与控制”课期末考试的简答题，李俊峰、马曙光供稿)

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*《小问题》2016-2解答*

问题：竖直平面内一个质量为M、半径为R的匀质圆盘可绕过其圆心且垂直于圆盘的水平轴自由转动.一个质量为m的小虫在圆盘边缘的最底端.初始时系统静止.现小虫突然启动，沿着圆盘边缘以相对速度u(t)爬行.(1)求系统运动的微分方程.(2)分析小虫与圆盘的相互作用力.(3)假设小虫的相对加速度a=˙u(t)是常数，求小虫能够爬到的最大高度，并讨论小虫能够爬到圆盘顶端的条件.

解答：如图1，小虫起动前后，系统对圆盘中心O点的角动量守恒.假设小虫起动后瞬间相对圆盘参考系的速度为u0=u(0),方向向左为正；而圆盘相对于固定参考系的角速度为ω0,以逆时针为正.则有

图1

若求小虫爬到圆盘顶端所需最小相对加速度a∗,则可令θ=π,=0,而得到

注意到a∗可正可负.当a∗≤0,即当

时，小虫相对圆盘匀速爬行就能爬到圆盘顶端.对小虫做透力分析，圆盘对小虫作用力由下式

给出，其中Fn指向圆心O,Fθ沿着圆盘切向并指向θ增大方向.