浅谈三根火柴杆悬挂重物的平衡原理1)

时间：2024-08-31

余为梁希

(燕山大学工程力学系，河北秦皇岛066004)

在央视《是真的吗》电视节目中曾经演示了这样一个实验：用三根火柴杆和棉线，组成如图1所示的构架形式，可以挂数瓶矿泉水而不垮塌。火柴OB水平放置在桌面边缘，一部分在桌面外，与桌面边缘接触处为O点；火柴DE水平地将两棉线撑开；火柴BC一端撑住火柴OB的端点，另一端垂直作用在火柴DE的中点C处。节目最后定性地简单解释了一下原理，并举例说明了一些杆件结构的相关应用。田雁等[1]解释了与之类似的一道全国物理竞赛题，但并未得出具体的计算公式。本文基于理论力学和材料力学的基本知识，从定量计算的角度解释其原理。

图1 三根火柴挂矿泉水

现场实验发现，当第一瓶矿泉水挂上后，火柴OB尾部即发生了如图2(a)所示的翘起，然后继续增加悬挂矿泉水的瓶数，虽然系统仍然保持平衡，但桌面那根火柴的翘起角度逐渐增加，见图2(b)。当悬挂到第9瓶矿泉水时，系统整体不再平衡而发生了垮塌现象(火柴并未断裂)。三根火柴系统能悬挂数瓶矿泉水的原理是什么呢？火柴OB尾部为何出现不同程度的翘起现象呢？

图2 三根火柴悬挂矿泉水图(栏目中截图)

1 理论分析

初始时，为了能将三根火柴安装成图1所示的结构，需要用重物将火柴OB末端压住，如图3所示，待挂上一瓶水，并安装好三根火柴后，再将重物移走。显然此结构不能保持平衡，而是整体绕火柴与桌面边缘的接触点O转动一个角度，使得矿泉水重力的作用点位于桌面边缘O点的正下方，如图4所示。这就是挂上一瓶矿泉水后OB尾部立即翘起的原因。

图3 整体图(侧视图)

设转动角度为α0，由图4整体受力图可得O点处的摩擦力与支撑力的合力最终与系统重力G平衡，此时忽略棉线和火柴杆的重量，则有

图4 初始整体受力图(侧视图)

可见，只要火柴倾角α0小于火柴与桌面的摩擦角，该系统即属于自锁状态，即可保持平衡。其中A点为棉线的作用点，与O点位置很接近，设OA=d，AB=l，AC=h，此时∠CAB≈90°。则有

随着矿泉水瓶数增加，火柴OB尾部翘起角度逐渐增加，但只要该角度小于摩擦角，系统均可保持平衡。本文认为增加重物重量，火柴尾部翘起角度增加的原因是火柴OB和DE发生了弯曲变形。设某时刻火柴OB尾部翘起角度为α，受力图及其他各处角度如图5所示。F A为两根棉线的合力，火柴BC可视为二力杆。本文中不考虑桌面的厚度，因此桌面下边缘对棉线无接触作用力。

火柴OB发生弯曲变形使得尾部进一步翘起，但不会引起C处的角度变化。所以由图5(b)可得

图5 火柴系统整体及部分受力图

分析图5(c)求火柴OB的弯曲变形。为简化计算，此时可将其看成如图6所示的外伸梁，此时火柴已因发生了初始的刚体转动而倾斜，为方便观测将其画成水平放置形式。

图6 火柴OB外伸梁

忽略轴向力对梁变形的影响，设火柴的抗弯刚度为EI，则可得到O界面受弯曲的转角绝对值，即火柴OB尾端因弯曲引起的翘起转角为[2]

将式(5)代入可得

由于d远小于l，则式(7)可简化为

另外，由图1可见，火柴DE中点的挠度f C可以由简支梁中点受集中力作用计算，设火柴的长度为L，则有

由于DE弯曲使得C向斜下方有位移，导致了火柴系统整体绕O点再次发生刚体转动，但D和E两点由于整体受力可知不发生位移。设该转角为φ，忽略BC杆的压缩变形，则

火柴OB尾部总的翘起角度α为

由式(11)可知，随着悬挂重物增加，火柴OB的弯曲转角θO和转角φ均会逐渐增大，则火柴的整体翘起角度α随之增加，当α达到摩擦角时，所悬挂重量达到极限值，再增加重量，则系统就会发生垮塌，与实验过程完全符合。将式(11)改写成计算重物重量的形式，则有

由式(12)可知，系统所能悬挂的总重量与火柴的抗弯刚度成正比。当火柴与桌面摩擦系数确定后，摩擦角α为已知量，再根据初始条件计算出初始刚体转角α0，即可算出所能悬挂的总重量。

2 算例分析

从资料查得木质火柴杆一般采用白杨、松木等制作，其抗弯弹性模量一般在7～13 GPa之间，本文取 10 GPa，普通火柴杆尺寸约为38 mm×1.5 mm×1.5 mm，若取d=2 mm，l=19 mm，木材与硬塑料、钢之间的静摩擦系数f一般在0.2～0.25之间，此处取火柴与桌面摩擦系数为0.2，即摩擦角为11.3°，则可算得这样的三根火柴系统可悬挂重物的重量为

即，该系统可悬挂的重量约为3 kg，约5瓶550 mL的矿泉水。由图2可见，节目现场试验火柴OB外伸长度未达到火柴一半，因此悬挂重物可比上述理论值更大一些。所以，可认为本文理论分析结果与实验结果较为符合。下面进行一下强度校核。由整体受力图可见，此刻桌面的支撑力为

根据以上结果可算出A截面的弯矩，再由弯曲正应力公式，可得A截面下边缘最大拉应力为

式中，b=1.5 mm，为火柴杆边长。由于选择的棉线具有一定粗度才能将火柴撑住，如图2所示，此时棉线的直径与OA间距离d值已经较为接近，因此可以将棉线对火柴杆的作用力考虑为均布载荷，如图7所示。

图7 火柴OB计算图

根据试验情况，可设棉线直径为1 mm，A截面位于其中点上，则有

可算得A截面最大正应力为

式中，棉线半径a=0.5 mm。显然，按均布载荷计算所得最大应力值更小一些。实际选用哪种计算方式需要根据棉线的粗细来决定。查阅文献可知，杨木、松木的拉伸屈服极限一般为88～118 MPa，可见按本文的理论计算结果，火柴杆的强度也在范围之内，所以可认为理论分析合理。但由于火柴杆选材、棉线与桌面的距离、火柴外伸长度等参数均人为选择，其结果会有一些差异。下面将几种选择的计算结果列于表1中。

由表1可见，摩擦系数f、棉线与桌面的距离d均对悬挂重量具有较大影响。如果棉线紧贴桌面，使得距离d很小，则可显著提高悬挂的重量，当摩擦系数f=0.2时，文中的火柴系统最多可悬挂13瓶矿泉水，且火柴的最大应力还不至于太大。火柴杆与桌面摩擦系数f增大可提高悬挂的重量，但当f=0.25时，悬挂重物达到一定重量后，火柴会先发生断裂破坏，而不会是整体垮塌。

表1 几个例子的计算结果