滚动轴承-裂纹转子系统动力学特性分析

宋传冲，南国防，楼剑阳

（上海理工大学 能源与动力工程学院，上海 200093）

转子系统是大型旋转机械的重要组成部分，其长期在高温、高压、重载、高速等恶劣环境下工作，受材料属性及使用的长期性影响，转轴上会产生疲劳裂纹，裂纹的扩展会导致转子的横向振动加剧，严重时会发生碰摩现象[1]。

目前国内外学者在故障转子方面进行了大量研究，Patel等[2]基于试验和数值仿真，采用呼吸裂纹模型，将转子系统采用集中质量模型进行简化，研究了带有裂纹Jeffcott 转子系统出现碰摩时的动力学特性，分析了系统的稳态振动响应。向玲等[3－5]在考虑非线性油膜力的基础上建立了裂纹-碰摩转子模型，分析了无量纲裂纹深度和转速对系统响应、稳定性及碰摩力的影响，并做了相关的实验研究。王海飞等[6]建立了以气浮轴承为支承的裂纹-碰摩耦合故障转子模型，发现发生此故障的转子系统存在周期、拟周期以及混沌运动现象，为转子系统安全工作提供理论依据。申倩等[7]以滚动轴承支承的双跨裂纹转子为研究对象，在考虑碰摩故障的基础上，分析了裂纹扩展、裂纹角等对系统响应的影响。何振鹏等[8]对产生裂纹-碰摩-松动耦合故障发动机转子系统通过数值分析了转子不平衡量、碰摩刚度、松动端轴承座质量对系统的影响，杨丹等[9]考虑初始弯曲建立裂纹-碰摩耦合故障转子模型，结合分叉图和庞加莱截面分析了初始弯曲和裂纹深度对系统振动响应特性的影响。翁雷等[10-11]在考虑非线性气流激振力的情况下，分别对裂纹、碰摩故障转子系统进行分析，陶海亮等[12]运用多种时频分析相结合的方法较为全面地研究了转子的故障特征，发现裂纹转子在1/5、1/3临界转速时会发生较明显的5X、3X 谐波。胡爱军等[13]开展了裂纹-碰摩转子的实验研究，采用了全谱分析方法对其故障特征进行了分析，发现了相对于传统傅里叶频谱分析，全谱分析方法能准确识别3类故障。Zhaohui 等[14]研究了多自由度双盘转子轴承系统在不同碰摩间隙和不同裂纹深度条件下的动力学特性。Huang 等[15]提出了一种改进的呼吸裂纹模型，并研究了裂纹深度和裂纹角度对裂纹转子动力学特性的影响。

虽然对转子耦合故障开展了一定的研究，但大部分工作主要针对汽轮机滑动轴承支承下的转子系统，对发动机滚动轴承支承下发生耦合故障的转子系统的研究较少，因此有必要对滚动轴承支承下的裂纹-碰摩耦合故障转子系统的振动特性进行深入分析。本文考虑呼吸裂纹、滚动轴承非线性赫兹接触和碰摩力，建立了滚动轴承支承下含横向裂纹的转子系统，采用Runge-Kutta 方法对裂纹-碰摩耦合故障导致的系统非线性动力学行为进行研究。

1 裂纹-碰摩耦合故障转子系统

本文以两端为滚动轴承支承的含有裂纹-碰摩耦合故障转子系统为研究对象，忽略扭转振动和陀螺力矩，只考虑转子的横向振动，如图1所示。转子两端采用滚动轴承支承，其中m1、c1分别为转子在轴承处的集中质量和结构阻尼，m2、c2分别为转轴中央圆盘的等效质量和结构阻尼，O1、O2分别为轴承几何中心和圆盘几何中心，O3为圆盘质心，转子与轴承之间为无质量弹性轴，在靠近圆盘处有一横向弓形裂纹。

图1 裂纹-碰摩故障转子系统示意图

1.1 裂纹轴刚度模型

图2为转轴裂纹处横截面示意图，其中xoy为绝对坐标系，ξo′η则为固定在转轴上的坐标系，o′ξ方向为裂纹扩展方向，o′η方向与裂纹扩展方向垂直，ψ为转子的涡动角，ω为转速，θ=ωt为自转角，φ=θ+β-ψ为转涡差角，β为不平衡量与裂纹扩展方向的夹角，考虑呼吸裂纹，裂纹轴的刚度矩阵可表示为

图2 裂纹轴横截面示意图

式（1）中，Δkn(n=ξ,η)为转子裂纹轴刚度在ξ、η方向变化量[16]；k为无裂纹时转轴的刚度；f(φ)为描述裂纹开闭的函数，本文使用高建民等[17]提出的综合模型，开闭函数如下：

式中：α为裂纹夹角的一半，cosα=,其中R为转轴半径，h为裂纹深度。

1.2 碰摩力模型

为了研究方便，不考虑转子在运行过程中由于摩擦而产生的热效应，且认为转子与定子之间的碰撞为弹性碰撞。转子碰摩模型如图3所示。假设转子系统在静止时转子与定子之间的间隙为δ，当发生碰摩时，其法向碰撞力与切向摩擦力可表示为：

图3 碰摩力模型示意图

其中：O1O2=为转子的相对径向位移；kr为定子的径向刚度，f为转子与定子之间的摩擦系数。在xoy坐标系中，碰摩力可以表示为：

1.3 滚动轴承支承模型

图4是滚动轴承模型示意图，其包括内圈轨道、外圈轨道、滚珠和保持架，滚珠在轨道内既有绕转轴中心的公转也有绕自身中心的自转。假设轴承内滚珠在内外轨道之间等距排列，滚珠在轨道间的运动为纯滚动，滚动轴承将受到来自转子不平衡激励所产生的强迫振动，其振动频率为转子的旋转频率，同时滚动轴承也将产生由于轴承总刚度连续周期变化而形成的VC(Varying compliance)振动。设一滚珠与外圈接触点的线速度为vo，与内圈接触点的线速度为vi，轴承外圈的旋转角速度为ωo，轴承内圈的旋转角速度为ωi，外圈轨道半径为Ro，内圈轨道半径为Ri，则：

图4 滚动轴承模型示意图

保持架的线速度为vc=(vo+vi)/2，由于外圈固定，则vo=0，所以vc=vi/2=(ωiRi)/2，进而得到保持架的角速度为：

由于内圈固定在转轴上，内圈与转轴转速相等，即ωi=ω，Nb为轴承的滚珠个数，设第j个滚珠的接触角度为：

设内圈中心在x和y方向产生的振动位移分别为x和y，轴承间隙为r，则第j个滚珠与轨道的法向接触变形量为：

由非线性赫兹接触理论，只有δj＞0 时才有作用力，利用亥维赛函数H(•)，当函数自变量大于0时，函数值为1，否则函数值为0。所以滚动轴承在x和y方向上的轴承力可以表示为：

1.4 系统的运动微分方程

假设转子系统左侧轴承处的径向位移为(x1,y1)，转子圆盘处的径向位移为(x2,y2)，根据拉格朗日方程建立含裂纹-碰摩耦合故障转子系统的运动微分方程：

2 仿真结果与分析

由于系统运动微分方程式(10)存在极强的非线性，所以这里使用4阶Runge-Kutta法对其进行数值积分求解，并且舍去前300 个周期的结果来消除瞬态响应，进而得到系统的分岔图等。系统的主要参数如下：m1=4 kg，m2=32.1 kg，k=2.5×107N/m，c1=1 050 N·m·s-1，c2=2 100N·m·s-1，f=0.1，kr=3.5×107N/m，δ=2×10-5m，Ro=63.9 mm，Ri=40.1 mm，Nb=8，Cb=13.34×109N/m1.5，r=4 μm，e=1×10-5m。

2.1 转速对系统振动响应的影响

图5为转子系统振动响应随转速ω变化的分岔特性。从图5可以看出，随着转速ω的增大，系统逐渐表现出不同的非线性特征，系统先后经历了拟周期运动、周期1 运动、周期3 运动、短暂的拟周期运动、周期3 运动、周期5 运动、拟周期运动、周期1 运动、周期2 运动、拟周期运动、混沌运动、周期3 运动等运动形式。

图5 系统振动响应随转速变化的分岔图

区间（100 rad/s～500 rad/s）为拟周期运动，在转速ω=300 rad/s 时的频谱图如图6(b)所示，存在离散且不可公约的谱线，且图6(c)所示Poincare截面图是一条闭合的曲线，同时图6(a)所示时域图中出现拍振现象，这是因为系统同时存在旋转频率和VC 频率，所以其表现为拟周期运动；区间（100 rad/s～500 rad/s）为周期一运动，在转速ω=1 000 rad/s 时，其Poincare 截面图呈现为一孤立相点，如图7(c)所示，这是由于随着转速的增加，其旋转频率增大，系统的VC振动频率相对微弱，所以系统表现为稳定的周期1运动形态；区间（1 840 rad/s～2 290 rad/s）为周期二运动，当转速ω=2 000 rad/s时，在其频谱图中出现基频和1/2基频，如图8(b)所示，且图8(c)所示Poincare截面图中存在两个孤立的相点；所以其表现为周期二运动，区间（2 695 rad/s～2 865 rad/s）为混沌运动，当转速ω=2 695 rad/s 时，在其频谱图中存在宽噪声背景连续谱特征，如图9(b)所示，从图9(a)可见，其时域图貌似随机，但永不重复。

图6 ω=300 rad/s时的时域图、频谱图和Poincare截面图

图7 ω=1 000 rad/s时的时域图、频谱图和Poincare截面图

图8 ω=2 000 rad/s时的时域图、频谱图和Poincare截面图

图9 ω=2 695 rad/s时的时域图、频谱图和Poincare截面图

2.2 裂纹角对系统振动响应的影响

图5、图10、图11 和图12 分别为裂纹角β=π/2、0、π、3π/2时系统随转速变化的分岔图，对比各裂纹角的分岔图可得，当裂纹角β=0、π（裂纹扩展方向与不平衡量方向共线）时，系统到达临界转速ω=1 325 rad/s时的横向位移分别为4.797×10-5m、-4.783×10-5m，横向位移方向相反且绝对值基本相同，远小于当裂纹角β=π/2、3π/2（裂纹扩展方向与不平衡量方向垂直）时的系统的横向位移，当裂纹角β=0、π/2 时，其到达临界转速时横向位移皆为正数，而β=π、3π/2时相反，且由图10与图11可知，其到达临界转速后，横向位移逐渐减小，并未立即发生跳跃，系统相较而言更为稳定，而图12与图5中不同的是，系统到达临界转速后，则立即发生跳跃，在超临界转速区间，图10与图11的周期二运动极为不同，当不平衡量方向与裂纹扩展方向一致时，其周期二运动的横向位移间距呈现逐渐缩小的趋势，而当不平衡量方向与裂纹扩展方向相反时，其横向位移间距逐渐增大。

图10 裂纹角β=0时系统随转速变化的分岔图

图11 裂纹角β=π时系统随转速变化的分岔图

图12 裂纹角β=3π/2时系统随转速变化的分岔图

图13为转速等于1 400 rad/s时系统随裂纹角变化的分岔特性，从图中可以发现，裂纹角β在0～2π区间内，随着β的增大，系统分岔曲线整体大致呈现正弦曲线趋势，从而证明了系统在不同的裂纹角下的亚临界转速的运动特性存在明显的差异性，据此可以作为判断裂纹位置的辅助依据。

图13 定转速时系统随裂纹角β变化的分岔图

2.3 裂纹深度对系统振动响应的影响

由于裂纹深度的不同，会对系统的非线性振动产生不同的影响。图14、图15和图16分别为无量纲裂纹深度h/R为0.4、0.6、0.8时转子系统随着转速变化的分岔图，对比图5与图14可得，当无量纲裂纹深度较小时，裂纹深度的改变对系统振动响应的影响不大。

图14 h/R=0.4时系统响应随转速变化的分岔图

图15 h/R=0.6时系统响应随转速变化的分岔图

图16 h/R=0.8时系统响应随转速变化的分岔图

当无量纲裂纹深度加深至0.6、0.8时，在低转速区间，系统的横向振幅随着裂纹深度的加深而逐渐增大，在临近到达临界转速时，无量纲裂纹深度为0.6、0.8的系统出现短暂的拟周期运动。随着裂纹深度的增大，系统在高速区的拟周期运动发展为拟周期和多周期交替运动，且拟周期运动窗口逐渐减小，多周期运动窗口逐渐增大。这些现象均说明了裂纹的发展会导致系统的非线性和不稳定性增强。

2.4 定子刚度对系统振动响应的影响

图17 为定子刚度为3.5×106N/m 的系统振动响应随转速变化的分岔图，图18(a)、图18(b)分别为定子刚度为3.5×107N/m、3.5×106N/m 的系统响应瀑布图。

图17 kr=3.5×106 N/m时系统随转速变化的分岔图

对比图5与图17可知，在低转速区间内，定子刚度对系统振动响应影响不大，在其瀑布图中的低转速区间，两系统都相应存在VC频率和基频；定子刚度较小的系统临界转速为1 155 rad/s，比定子刚度大的系统提前300 rad/s，这是因为定子刚度是额外增加的转轴弯曲刚度，发生碰摩时定子刚度越小，系统临界转速也就越小，且由图17 可见，临界转速处的横向位移要比图5 中临界转速处的位移大3.91×10-5m，在亚临界转速区间1/2 临界转速附近，两系统都存在2倍频，且在超临界转速区间，两系统都存在分频，图18(a)在分频附近存在较多伴随成分。

图18 不同定子刚度的系统振动响应瀑布图

3 结语

本文建立了以滚动轴承为支承的含裂纹-碰摩耦合故障转子系统模型，运用数值积分方法，研究了转速、裂纹深度、裂纹角和定子刚度对系统非线性动力学特性的影响规律。主要结论如下：

（1）在低转速区间，系统存在滚动轴承支承条件下特有的拟周期运动，这是由于系统同时存在旋转频率和VC频率，在亚临界转速区间，随着转速的增加，系统旋转频率逐渐增大，VC频率相对微弱，呈现周期一运动，且存在2 倍频，在超临界转速区间，系统存在较多分频。系统出现了多周期、拟周期和混沌等丰富的动力学运动。

（2）当裂纹扩展方向与不平衡量方向共线时，其临界转速为1 325 rad/s，相比垂直时约提前120 rad/s，横向位移仅约为垂直时的一半，且系统到达临界转速后并没有立即发生跳跃，而是横向位移逐渐减小，反观不平衡量与裂纹扩展方向垂直时的系统，其到达临界转速后立即发生跳跃，没有缓冲区，但跳跃点的转速基本一致，在定转速时随着β的增大，系统分岔曲线整体大致呈现正弦曲线趋势，从而证明了系统在不同的裂纹角条件下的亚临界转速区间运动特性存在明显的差异性，据此可以作为判断裂纹位置的辅助依据。

（3）在无量纲裂纹深度较浅时，裂纹深度的增加对系统振动响应几乎没有影响，当无量纲裂纹深度加大，导致低转速区间横向位移增大，随着裂纹的扩展，系统在高速区的拟周期运动发展成为拟周期运动和多周期交替运动，且拟周期运动窗口逐渐减小，多周期运动窗口逐渐增大，这些现象均说明了裂纹的扩展会导致系统的不稳定性增强。

（4）当发生碰摩时，其碰摩刚度是附加的转轴弯曲刚度，会导致系统的临界转速后移，施加碰摩力会导致其达到临界转速时的横向位移减小，且碰摩刚度的增大会导致在超临界转速区间分频附近存在伴随成分。