轨道车辆用L型压电悬臂梁振动频率响应设计

赵屹昀，印桢民，周 炯，彭乐乐，罗文成，郑树彬

（1.上海工程技术大学 城市轨道交通学院，上海 201620；2.上海地铁维护保障有限公司车辆分公司，上海 200031；3.常州路航轨道交通科技有限公司，江苏 常州 213100）

无线传感器[1]可以为城市轨道车辆运行状态提供数据来源，有效保障列车的运营安全。近年来，通过采集环境能量实现无线传感器自发电的方法已成为一种趋势[2-3]。其中基于压电效应的振动俘能结构因能量密度高、结构简单等优点而受到广泛关注[4-5]。实现压电俘能结构的参数设计以达到能量转换最大化的关键在于将其固有频率与工作频率相匹配，提高压电俘能结构能量输出效率。

匹配压电俘能结构频率，一方面通可过优化俘能器的结构参数设计实现，如徐宏凤等[6]在振动能量收集器的固定端安装永磁体，通过磁力改变系统刚度，拓宽了装置的工作频率，实现能量转换最大化。张敏等[7]设计了一种阵列式压电悬臂梁俘能结构，通过安装多根参数不同的压电悬臂梁，实现了装置在多个工作频率段产生响应。刘少刚等[8]设计了分段式压电悬臂梁，通过引入碰撞使悬臂梁由线性振动改变为分段线性振动，拓宽了装置的俘能频带宽度。张伟等[9]设计了L型压电悬臂梁结构，该结构前两阶模态频率相近，可在低频处获得较宽的响应频段，从而提高能量转换效率。通过引入磁力或碰撞等方法增加了系统安装难度，使这种方法较难应用于轨道车辆处于冲击较大环境中的情况。而L型压电悬臂梁结构简单，可靠性高，经过优化设计后可适用于轨道车辆振动能量采集。另一方面，为了计算与匹配俘能结构的固有频率，有些学者建立了机电耦合数学模型，如Mann等[10]设计一种基于磁力的双稳态压电俘能单元，建立机电耦合数学模型，通过仿真与计算实现了俘能结构与环境频率相匹配；数学模型通常基于欧拉伯努利梁方程、哈密顿原理等物理基础建立，存在影响参数多、适用条件苛刻等限制。为了解决该问题，有些学者通过有限元法计算仿真结构的模态频率：缪建等[11]利用ANSYS 有限元软件，通过对压电悬臂梁进行仿真分析，得到悬臂梁的振型、固有频率等输出结果，并分析几何尺寸对固有频率的影响，可针对实际工作频率进行优化设计。李东明等[12]在ANSYS中对压电换能器进行谐响应分析，基于仿真结果，对压电换能器的参数与结构进行优化，使之满足设计需求。

综上所述，以上方法通常应用于汽车、轮船等领域，而对于与城市轨道车辆工作频率相匹配的压电俘能结构少有研究。本文针对城市轨道车辆环境的特殊性，提出了一种轨道车辆用L 型压电悬臂梁振动频率响应俘能结构。利用ANSYS 软件建立有限元模型，分析结构参数对模态频率的影响，同时采集车辆振动特征，实现对L 型压电悬臂梁的参数优化设计。

1 轨道车辆用L型压电悬臂梁结构及设计方案

图1为轨道车辆用L型压电悬臂梁结构图，该结构可以分为两部分，第一部分为由固定端伸出的悬臂梁1及质量块1；第二部分为由质量块1伸出的悬臂梁2以及质量块2。其中，悬臂梁1的首端为固定端，悬臂梁2 的末端为自由端。压电陶瓷居中对称胶合于悬臂梁上下两侧，组成压电双晶片梁。质量块1和2的质量分别为M1与M2，悬臂梁1和2的长度分别为L1与L2宽度分别为b1与b2厚度分别为h1与h2，压电陶瓷1和2的长度分别为LP1与LP2。

图1 L型压电悬臂梁结构图

L 型压电悬臂梁安装于轨道车辆上，在列车运行过程中，质量块1和2受外界惯性力的作用而产生垂向机械运动，从而引起压电陶瓷发生形变产生电荷。当L型压电悬臂梁固有频率处于车辆振动主频附近时，压电悬臂梁发电量最大。

为了获取更多能量，图2给出了L型压电悬臂梁振动频率响应设计方案。采用ANSYS 仿真软件及线形拟合，分析得到了结构参数与模态频率关系，同时采集某线路列车轴箱振动信号，提取车辆轴箱振动特征。将结构参数与模态频率关系和振动特征相结合，求解轨道车辆运动状态下L 型压电悬臂梁频率响应结构参数，实现L 型压电悬臂梁固有频率与车辆振动频率相匹配。通过ANSYS 谐响应仿真分析得到L 型压电悬臂梁频率响应特征曲线，验证了设计方法的可行性。

图2 L型压电悬臂梁振动频率响应设计方案

2 轨道车辆轴箱振动特征分析

为了获取轨道车辆轴箱振动特征，在某线路列车轴箱处安装加速度传感器，并对其进行振动信号的采集及频域分析，如图3 所示。采用的主要参数如表1所示。

图3 某线路车辆振动信号采集装置

表1 轨道车辆振动采集主要参数

因压电陶瓷采用d31工作模式，对采集到的垂向加速度信号进行傅里叶变换，其结果如图4所示。

图4 表明在小于450 Hz 低频振动工况下，列车振动主频主要集中分布在19.87 Hz、40.25 Hz 与204.3 Hz处。为了得到适用于轨道车辆振动的压电频率响应结构，关键在于设计L 型压电悬臂梁结构参数使其前3阶模态频率与列车振动主频相匹配。

图4 某线路车辆轴箱振动信号频率谱密度图

3 基于ANSYS 的L 型压电悬臂梁结构参数与模态频率关系

3.1 有限元模型

L型压电悬臂梁的模态频率ω除了与悬臂梁的杨氏模量E有关外，还与悬臂梁1 和2 的长度L1与L2、宽度b1与b2、厚度h1与h2与质量块质量M1与M28个结构参数有关。在实际工程应用中，为了降低制作成本往往将L型压电悬臂梁的两个部分的结构参数设计成相同的，从而将原有的8 个结构参数减小为4个参数，即悬臂梁1和2的长度L、宽度b、厚度h及质量块质量M。为了得到L型压电悬臂梁结构参数与模态频率之间的关系，利用ANSYS仿真软件建立L型压电悬臂梁有限元模型如图5 所示。采用六面体网络划分单元，并设定质量块网格密度为0.05，悬臂梁1 和2 与压电陶瓷1 和2 网格密度为0.000 5。选用铜作为悬臂梁材质，PZT-5H 为压电陶瓷材料，其主要参数如表2和表3所示。

表2 压电陶瓷的电学材料参数

表3 轨道车辆用L型压电悬臂梁的材料参数

图5 L型压电悬臂梁有限元模型

3.2 模态分析

利用L 型压电悬臂梁有限元模型，在ANSYS Workbench 软件中进行仿真得到L 型压电悬臂梁前6阶振型如图6所示。

由图6可以看出，1、2阶模态的主要形变量发生于垂向方向，并集中于悬臂梁。3、4阶模态在悬臂梁处出现扭转形变，而5、6 阶模态主要形变量发生在质量块上，多为无效形变。由此可得，L型压电悬臂梁的有效形变主要是由前4阶模态振型引起的。进一步由轨道车辆振动特征分析结果可得，选取前3阶模态频率作为轨道车辆用L型压电悬臂梁振动频率响应的工作频率，通过分析其结构参数，使其前3阶模态频率与列车振动主频相匹配。

图6 轨道车辆用L型压电悬臂梁前6阶振型

3.3 单结构参数分析

为了研究L型压电悬臂梁结构参数与模态频率的关系，利用ANSYS 仿真软件，分别以悬臂梁的长度、宽度、厚度及质量块质量为变量，构建有限元模型进行仿真，得到反映单结构参数对模态频率影响的数据，并绘制结构参数-频率散点图，利用最小二乘法线形拟合得到单结构参数与模态频率关系方程。

为分析质量块质量对模态频率的影响，取悬臂梁长度为25 mm，宽度为10 mm，厚度为0.25 mm，仅改变质量块质量，变化范围为0～9 g，其他影响参数保持不变，绘制质量相对于模态频率的散点图，如图7所示。从图7可得，质量块质量的增加使L型压电悬臂梁前3阶模态频率整体呈现下降趋势，其中第3阶模态下降明显；但当质量低于2 g 时，L 型压电悬臂梁第2阶模态频率线性度稍差，而第1阶与第3阶模态频率在0～9 g 范围内均呈现明显的负线性相关。对数据进行最小二乘拟合，可得质量块质量对于L型压电悬臂梁前3 阶模态频率的回归方程见式(1)至式(3)。

图7 质量对L型压电悬臂梁模态频率的影响

为分析悬臂梁厚度对模态频率的影响，取悬臂梁长度为25 mm，宽度为10 mm，质量块质量为7 g，仅改变悬臂梁厚度，其变化范围为0.2 mm～0.3 mm，其他影响参数保持不变，绘制厚度相对于模态频率的散点图如图8所示。

图8 厚度对L型压电悬臂梁模态频率的影响

从图8 可知，随着厚度增加，L 型压电悬臂梁的模态频率呈现明显的线性上升趋势。通过拟合，可得到拟合优度R2大于0.99 的回归方程，说明L 型压电悬臂梁厚度与L型压电悬臂梁模态频率存在较为理想的线性关系。对数据进行最小二乘拟合，可得L 型压电悬臂梁厚度对于前3 阶模态频率的回归方程见式(4)至式(6)。

为分析悬臂梁长度对模态频率的影响，取质量块质量为7 g，宽度为10 mm，厚度为0.25 mm，仅改变悬臂梁长度，其变化范围为22 mm～40 mm，其他影响参数保持不变，绘制长度相对于模态频率的散点图如图9所示。

图9 长度对L型压电悬臂梁模态频率的影响

通过观察关系曲线可知，当长度低于25 mm时，L 型压电悬臂梁长度与第3 阶模态频率的线性度稍差；当长度处于25 mm～40 mm范围内，模态频率与悬臂梁长度趋于线性负相关，下降趋势与图7类似。对数据进行最小二乘拟合，可得悬臂梁长度对于L型压电悬臂梁前3阶模态频率的回归方程见式(7)至式(9)。

为分析悬臂梁宽度对模态频率的影响，取质量块质量为7 g，悬臂梁长度为25 mm，厚度为0.25 mm，仅改变悬臂梁宽度，其变化范围为10 mm～15 mm，其他影响参数保持不变，绘制宽度相对于模态频率的散点图如图10所示。

图10 宽度对L型压电悬臂梁模态频率的影响

从该图可知宽度对L 型压电悬臂梁的前3 阶模态频率影响较小，在设计时仅要求其满足强度需求即可。对数据进行最小二乘拟合，可得悬臂梁宽度对于L型压电悬臂梁前3 阶模态频率的回归方程见式(10)至式(12)。从该回归方程也可看出，回归系数较小，故在后续建模与优化过程中，剔除宽度对于模态频率的影响。

3.4 多结构参数与模态频率关系

由单结构参数分析结果可知，L 型压电悬臂梁的模态频率ω与单个结构参数线性相关性明显，且结构参数之间显然不存在共线性。因此拟采用多元线性回归的方法建立L型压电悬臂梁模态频率多结构参数模型。设第i阶模态频率与结构参数L、M、h之间的线性回归模型为：

式中：Ai、Bi、Ci和Di为该模型的标准回归参数。

在SPSS软件中对数据进行多元线性回归，统计结果见表4。

表4 多元线性回归统计量

由统计结果可看出，在显著性水平0.05 的条件下，1阶模态频率多元线性回归中，A1、C1和常数项D1通过了显著性检验，而B1的显著性水平为0.198，未通过显著性检验，因此可认为质量M与L 型压电悬臂梁的1阶模态频率没有关联，需要剔除该变量重新进行多元线性回归，如表5 所示。此外，2 阶模态频率与3阶模态频率的参数回归统计量均在0.05显著性水平下通过检验，可认为3个自变量均与2阶、3阶模态频率有较强相关性。

表5 1阶模态频率多元线性回归统计量（剔除M）

剔除质量M后，A1、C1包括常数项D1在内，均在0.05 显著性水平下通过显著性检验。由表4 与表5可得L 型压电悬臂梁前3 阶模态频率多结构参数模型：

4 仿真验证

为了实现轨道车辆用L型压电悬臂梁的优化设计，结合某线路列车轴箱振动特征，将ω1、ω2与ω3代入式(14)至式(16)，可得一组非齐次线性方程组。经过计算，该方程组的系数矩阵满秩，且与增广矩阵秩相同，即该方程组存在唯一解，使该参数条件下的L型压电悬臂梁符合轨道车辆振动特征，最终确定轨道车辆用L型压电悬臂梁参数如表6所示。

为验证上述设计方案的有效性，将表6 中参数代入有限元模型，在ANSYS中通过完全法对结构进行谐响应分析，设定垂向加速度载荷为2 m/s2，可在0 至250 Hz 频率范围内，得到L 型压电悬臂梁频率响应曲线，并与某线路车辆轴箱振动信号频率谱密度图对应，如图11所示。

表6 轨道车辆用L型压电悬臂梁结构参数

图11 轨道车辆用L型压电悬臂梁频率响应图

图11表明L型压电悬臂梁频率响应趋势与轨道车辆轴箱振动特征一致，在0至250 Hz范围内产生3处响应频段；经过参数设计，L 型压电悬臂梁在19.901 Hz、41.599 Hz与203.71 Hz处产生响应，实现了固有频率与城市轨道车辆轴箱环境的工作频率相匹配。

计算前3 阶模态频率的仿真值，并与真实值对比，结果如表7 所示。从结果可知，前3 阶模态频率的误差值均处于2 Hz以内，说明采用本文设计方法所得L型压电悬臂梁的模态频率符合轨道车辆轴箱振动特征。

表7 轨道车辆用L型压电悬臂梁模态频率表/Hz

5 结语

基于L 型压电悬臂梁结构，针对轨道车辆轴箱振动特征提出了一种利用有限元分析软件与多元线性回归相结合的结构参数求解方法，解决了悬臂梁结构设计频段与环境振动频率难以匹配的问题。通过现场采样、分析、仿真与数据处理可得如下结论：

（1）通过有限元分析与多元线性回归，设计了轨道车辆用L型压电悬臂梁的参数。悬臂梁长度为29.6 mm，厚度为0.249 mm，宽度为10 mm，配合质量为8.23 g 的质量块，可使L 型压电悬臂梁在19.901 Hz、41.599 Hz、203.71 Hz处产生响应，使结构的前3阶模态频率与某线路车辆轴箱振动特征相匹配，且误差均小于5%。

（2）经测试可知，在某线路站点区间列车轴箱振动信号在19.87 Hz、40.25 Hz、204.3 Hz 处出现峰值。

（3）L 型压电悬臂梁的前3 阶模态频率ωi与悬臂梁长度、宽度、厚度、质量块质量线性相关性明显。其中，与质量块质量M、悬臂梁长度L负线性相关，与悬臂梁厚度h正线性相关，而悬臂梁宽度b对其影响较小。

（4）基于拟合结果，在单结构参数分析中忽略悬臂梁宽度b对后续多元回归的影响。在建立L型压电悬臂梁模态频率多结构参数模型的过程中，由于显著性检验不通过，剔除质量块质量M对第1 阶模态频率的影响。