薄板结构中声场的计算研究

吴 冲，王子成

(1.中国科学院 武汉物理与数学研究所，武汉 430071；2.中国科学院大学，北京 100049； 3.武汉中科创新技术股份有限公司，武汉 430206)

板型构件尤其是厚度在6 mm以下的薄板件，无论是在航空航天工业、汽车工业、船舶工业还是在压力锅炉、大型化工容器方面均有广泛应用[1]。平板结构的健康监测问题一直是工业上研究的热点，然而通常对于其是否健康的判定都需要借助相关无损检测仪器与专用的检测技术。如果基于实际试验进行开发，通常成本较高且对于材料及研究经费都会造成一定的浪费。采用计算机仿真技术模拟检测过程，一方面可以对于上述问题进行较深入的分析研究，从而找到最佳检测方法，另一方面还能与已有检测设备的结果进行对比，提高改善设备的检测性能。目前，国内外对于超声检测模拟仿真软件的开发都已进行一定的研究[2]，国内主要基于声线方法的超声检测仿真软件进行开发研究[3]。对于声场模型的建立与软件开发研究还相对较少。

理解其相关理论算法基础对于相应软件的开发工作尤为重要。数值模拟法可应用于复杂结构中超声波传播特性的研究，并在某种程度上验证理论计算和实验研究的结果，是超声无损检测技术重要的验证手段[4]。

本文选取应用较广泛的平板结构即薄板进行实验，通过有限差分法并利用MATLAB数值分析软件模拟薄板中声场的传播情况。这有助于深入理解二维波动方程以及有限差分法在声波传播中的应用。

1 薄板二维空间质点的运动方程

1.1 应变

图1各向同性弹性固体介质中的两点A和B，坐标分别为xi和xi+dxi。它们的位移分别为ui和ui+dui，B相对于A的位移是dui，在A、B十分接近时为[5-6]

图1 相对位移图

任何刚性的移动不改变介质中任意线段的长度，而形变时总有一些线段的长度会改变，因此可以把位移产生前后线段长度的平方差作为形变的度量，因此由式(1)得到

式中：ηjk为有限应变分量，且ηjk为

通常声波引起的质点位移及其导数比较小，忽略式(3)的高阶量得到无限小应变分量

1.2 波动方程

假设薄板结构A、A′之间为质点位移，如图2所示，由式(4)得到薄板的应变量分量

图2 薄板结构图

式中：εij为应变，ui为质点位移。由于研究对象为薄板即板厚趋于零，因此得到εyz=0；εzx=0。

由各向同性介质的广义胡克定理，得到薄板各方向的应力张量[5]

式中：σij为应力，λ、μ为拉密系数。

平面应变情况下，薄板的边界条件为

由式(6)中第3行

由式(7)得到板厚应变和板内应变的关系

由x方向运动方程，应力梯度和外力使质点产生加速度

式中：fx为单位面积元的激励即外力分量，T为薄壁板厚度。

联立式(5)至式(9)得x方向的运动方程为

同理，可得到y方向的运动方程为

2 有限差分法

有限差分法用于求解由偏微分方程或积分方程描述的物理科学各学科的复杂问题。有限元法的一个特点是将被分析区域离散为一定数量的较小的子区域，称为有限元，在其中寻求由均匀间距节点上的多项式近似描述的解[7]。

差分方程可以看做是原始方程按泰勒级数展开的有限项近似[8]。根据泰勒级数不停近似的截取方式，差分格式可以分为3种格式

Lax-Friedriches格式。

Leap-Forg格式。

Crank-Nicholoson格式。

式中：Δt、Δh分别为时间步长、空间步长。

方程等号两边的差分在空间和时间上都应该取在相同的离散点上，才能确定计算中不发散[9]。分析上述3种格式，只有式(13)符合条件。

3 数值仿真

3.1 仿真对象相关参数

激励信号的函数为[10-11]

式中：A为激励信号幅值，H(t)为阶跃函数，fc为中心频率，N为波峰数，w=2πfc。

加载信号以加载力的方式进行，幅值大小为200 N，以中心频率70 kHz为例，得到如图3所示的激励信号在时域中的波形图。

图3 激励信号波形图

本次仿真选用材料为钢材，其密度ρ=7.8×103kg∕m3，纵波速度为cL=5.4 × 103m∕s，横波速度为cT=3.2×103m∕s。板材结构如图2所示，为周长等于200 mm的正方形薄板。

3.2 波动方程有限差分

将式(10)按差分格式(13)进行有限差分，其模型见图3。从图中可看出，该波动方程有限差分化简后在时间上取5层，在二维空间上对各座标轴也分别取5个离散点。得到x方向驱动时波动方程的差分格式

图4 ux波动方程模型

采用同样方法可得到y方向分量振动时波动方程的差分格式。

为保证计算结果的精确度，有限元模型的空间步长、时间步长应分别满足[12]

式中：λmin为介质传播的所有波种最小波长，Δs为最小单元边长，c为介质中的波速。本次实验中网格尺寸为2 mm，时间步长0.3μs。

3.3 结果分析

基于以上理论基础，运用matlab数值模拟仿真软件编程，得到混合驱动时声场传播情况、x方向振动分量声场传播情况以及y方向振动分量声场传播情况，声波声场图为振动声场，图5至图7分别为20 μs时对应的声场快照图。

通过声场快照图，首先可较清晰地看到薄板结构中纵波(CL)传播方向与偏振方向平行、横波(CT)传播方向与偏振方向垂直的现象，如图6、图7所示；其次，可明显观察到激励信号在薄板中同时产生不同方向的传播分量，并且在时间为20μs时可明显看出纵波已经出现了反射叠加声场的变化情况，如图5所示。仿真结果基本符合实际固体中的声场传播情况，声场的分布情况也与文献[13] 中用光弹法所测得的声场分布情况基本一致。

图5 声波声场模拟图

图6 x方向振动分量声场模拟图

图7 y方向振动分量声场模拟图

4 结语

直接利用相关波动方程分析对声场欠缺实质性的理解，不同于已有的研究[3,12,14-15]，本文通过薄板的应变、应力得到各方向波动方程，然后借助有限差分法对x、y方向的波动方程进行有限差分，最后对声场分别进行数值仿真模拟，并通过对比分析可知，实验结果与实际基本相符。又根据文献可知，当薄壁管半径与管厚满足时，管材可近似按同厚度薄板进行导波分析[16]。因此该算法研究对薄壁管导波模拟仿真软件的开发具有重要的理论参考价值。