薄壁结构件铣削变动态特性分析

何恩元，任 松，龙新华

(1.上海拓璞数控科技股份有限公司，上海 201111；2.上海交通大学 机械系统与振动国家重点实验室，上海 200240)

薄壁整体结构件在航空航天领域、飞机工业领域得到了广泛的应用。然而，这些薄壁件的制造过程面临着巨大的挑战。在较低的刚度下，切削力会导致工件产生较大的变形，也可能发生颤振。此外，铣削加工分析的另一个难点是其变刚度特性，这涉及到两个方面：一个是刀具切削点的进给运动，另一个是加工过程中的材料去除现象。因此，对变形或者稳定性分析需要对铣削加工过程中切削位置的模态参数或者传递函数进行有效计算。

如果在加工过程的每一个切削点位置都进行几何模型的建立和网格的重新划分，其工作量必然较大。为了提高计算效率，学者们从各个角度进行了改进研究。Altintas等[4]、Yang等[5]提出了基于结构修改法的材料去除特性预测模型。万敏等[6]根据加工切屑量，对初始有限元网格进行修正，从而得到其材料去除之后的工件特性。也有利用梁、板理论建立的模型，其半解析的表达式具有较高的计算效率[7]。

在之前的研究中[8-9]，薄壁结构件的铣削加工振动问题被视作是板壳结构件在切削力作用下的振动问题，研究取得了一定的结果。其材料去除特性被视作是具有阶梯厚度的Kirchhoff薄板的组合体结构。为了进一步使薄壁铣削加工振动模型精细化，本文提出了基于三维弹性理论的薄板铣削加工的材料去除特性模型。由于考虑了工件在厚度方向的动力学特性，模型可以同时应用于粗铣、半精铣和精铣的加工状态。

未加工件被视作由一系列子结构堆叠而成，子结构界面边界条件满足位移连续性条件，这由修正变分原理保证。材料去除被离散成各个子结构逐渐移去的过程。通过有限元方法验证了模型有效性。同时，虽然是基于板结构件建立的模型，根据文献[9] 的结果，可以自然推广到整体框结构的铣削加工动态分析中。

1 基于区域分解的板结构建模

板结构是薄壁整体工件的一个基本构件，在航空航天领域较为常见。在其铣削加工过程中，材料随着加工过程的进行而持续去除，这会导致质量和刚度矩阵的实时更新。为了研究这种材料去除的动态特性，仿照文献[8-9] 的思路，去除的材料被视作一个原始工件的子结构，并忽略其相对振动，如图1所示，接下来给出建模分析的过程。

图1 材料去除过程

1.1 板振动模型

对于铣削加工的板件，笛卡尔坐标系统标注在图1中。

坐标系原点处于板件的左下角点，假设工件是线弹性、各项同性的材料，并且加工变形相对于其几何尺寸来讲是一微小量。在坐标为（x,y,z）处，t时刻沿着坐标轴X，Y，Z方向的振动分别标记为u(x,y,z,t)、v(x,y,z,t)和w(x,y,z,t)。

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在板铣削加工过程中，一矩形块的材料从未加工工件移除，如图2右上角所示。材料去除之后，加工板件在几何上变得相对复杂，从而使得建模变得困难。为了简化建模过程，加工板件被划分成一系列的子结构，如图2所示。

在图2的子结构分解模型中，每一个子结构看成是独立的，且有其独立的位移场变量。在各个子结构分界面上，连续性条件是各子结构位移场一致。因此，沿着坐标轴X、Y和Z方向可得

图2 加工件子结构分解模型

式中：i、j、k分别代表各子域沿着X、Y和Z坐标轴的方向编号。

根据文献[9] 的结果，结构的振动对应着一能量泛函取极值，根据修正变分原理，放松子结构分界面连续性条件的无约束能量泛函可以表示成

式中：Ti、Ui、Wi分别表示板结构动能，势能和外力做功。

薄板的动能表示为

薄板的势能表示为

修正变分原理的核心是将约束条件引入到泛函中，也就是式(2)右边的第二项积分。其表达式为

将式(5)代入到式(2)中，对未知场变量u、v、w求变分运算，可以求得拉格朗日乘子，就是对应分区界面上的应力分量。

由于子结构之间的连续性条件已经得到满足，式(2)就变成了一无约束泛函。不失一般性，将每一个子结构内的位移场变量用车比雪夫多项式展开。对于一坐标点为( )xˉ,yˉ,zˉ，t时刻沿着X、Y和Z方向的振动位移可以写成

将式(6)代入无约束能量泛函式(2)中，类似于文献[9] 中的思路，对时间坐标求变分运算，最后令其系数等于0，就可以得到离散化方程为

得到离散化控制方程之后，令式(7)右边的广义力等于 0，并且假设工件做单频谐波振动就可以得到求解固有频率的特征方程

对式(8)求解可以得到固有频率。再将特征向量代入式(6)中，就可以得到振型。需要强调的是，各子结构的位移场变量是使用正交多项式展开的，这也就意味着各坐标点的振型、传递函数均有半解析的表达式。

1.2 材料去除建模

而引入的附加刚度矩阵。

如果两个子结构在几何上是全等的，那么其对应的质量矩阵和刚度矩阵就是相等的。同时，如果分区界面在几何上也全等，那么其对应的附加刚度矩阵也相等。所以，为了降低计算量，在进行子结构模型划分时，应该尽量保证子结构的几何全等关系。

图3 结构与矩阵对应关系

子结构分解模型和系统矩阵的对应关系如图3所示。根据图3和式(2)所示，每个子结构分别对应着一个质量和刚度矩阵块。分区界面存在于X、Y和Z3个方向。每个方向的界面存在由于连续性条件

材料去除过程被离散化为各个子结构逐渐去除的过程。在子结构的内部，材料去除忽略不计。这意味着控制方程的阶数随着材料的减少而降低的。质量矩阵和刚度矩阵的更新示意如图4所示。

可以看到，系统矩阵的更新对应着两个步骤。第一步，删除质量矩阵和刚度矩阵对应的块矩阵；第二步，减去相邻子结构的附加刚度矩阵。删除矩阵的操作，可以简化为对矩阵进行乘法和加法运算。如图4所示，其对应的乘法变换矩阵为

图4 矩阵更新过程

在图4中，对应的加法变换矩阵为

因此，结构每更新一次，只需要对系统矩阵进行上述的乘法和加法运算即可。而工件未切削子结构对应的矩阵则保持不变。

2 结果分析

针对如图1所示的薄板结构，取一组参数作为模型验证。不失一般性，假设其尺寸分别为：长L=100 mm，高H=60 mm，厚t=5 mm。首先，针对加工之前的板工件，采用有限元方法分析了其固有频率。并针对有限元结果随着自由度数的收敛性问题进行了分析。

不失一般性，板工件的前5阶固有频率随着总自由度数的变化趋势如图5所示。横坐标表示有限元模型自由度，纵坐标为固有频率（Hz）

图5 固有频率收敛关系

可以看到，当自由度数是11592时，前5阶固有频率分别为 1016.3 Hz、1712.5 Hz、3587.6 Hz、6200.2 Hz、6820.2 Hz。其具体数值随着自由度的增加，其固有频率逐渐收敛。特别地，当自由度数为3625236的时候，有限元结果和子结构分解得到的结果对比如表1所示。在子结构分解模型中，沿着坐标轴X、Y、Z3个方向等距划分了4、3、1个区域。车比雪夫多项式展开的最高阶数分别为5、5、3。总体自由度数为4×3×6×6×4×3=5184。可以看到，相对于有限元的自由度，子区域划分的自由度较少。

表1 固有频率对比(DOF=3625236)/Hz

在表1中，ff表示有限元得到的频率结果，fp表示所提出的子结构分解模型的结果。可以看到，两者给出的频率结果有较高的契合度。

为了研究子结构分解模型对于考虑材料去除的工件动态特性的预测能力，考虑两种在切削过程中具有代表性的状态，如图6所示。

图6 两种材料去除状态

图6展示了工件加工过程的两种典型状态，即铣削加工之中和加工之后。对于这两种材料去除状态，用子区域分解方法得到了低阶固有频率的结果，并采用有限元方法来验证结果的准确性。

对于图6第一种的状态，子区域分解模型和有限元模型得到的固有频率对比如表2所示

表2 加工过程中频率对比/Hz

表中：ff表示根据有限元得到的固有频率（Hz），fp表示根据区域分解方法得到的结果，相对误差定义为二者差值占有限元结果的百分比重。

对于图6所示的在一个工步加工之后的状态，子结构分解模型和有限元模型固有频率结果的对比见表3。

表3 加工之后频率对比/Hz

可以看到，子结构分解模型在材料去除之前、之中和之后都可以得到较为精确的结果，从而验证了模型的正确性。

由于结构的振动模态随着材料的去除而改变，为了直观的查看这种变化趋势，其前3阶固有频率的变化趋势如图7所示。

结果表明，第1阶固有频率随着材料的去除有逐渐升高的趋势。第2阶和第3阶频率随着加工进行则有一定的起伏。

图7 固有频率变化趋势

3 结语

本文以薄板结构的铣削加工材料去除的动态特性预测为研究对象，基于三维弹性理论建立了其加工动力学方程。由于考虑了板工件在厚度方向的动力学特性，所提出的模型可以用于粗铣、半精铣和精铣的加工过程。

工件被划分成一系列子结构的的组合体，在每个子结构之内，其位移场用车比雪夫多项式展开，对无约束泛函求极值，得到了其离散控制方程。材料的去除被离散成子结构依次移去的过程，质量矩阵和刚度矩阵的更新被转换为矩阵的乘法和加法。经有限元方法验证了模型的准确性，可以模拟加工之前、加工时以及加工之后工件特性的动态变化。

研究结果表明，材料去除会使得第1阶固有频率逐渐升高，而高阶频率则会存在一定的起伏。