子结构法在齿轮-箱体-基座耦合系统辐射噪声仿真中的应用研究

时间：2024-08-31

王晋鹏，宋敏，王鹏，刘岚，王莹

(1.西安航空学院机械工程学院，西安710077；2.西北工业大学陕西省机电传动与控制工程实验室，西安710072)

齿轮传动由于具有传动比精确、效率高、工作可靠、寿命长等优点已成为工业领域中最常用的传动形式之一。齿轮传动装置在工作过程中由于啮合刚度波动、制造和安装误差等内部激励的影响会产生振动并辐射噪声，不仅影响工作环境的舒适性，甚至会对工作人员的身体造成危害。如何快速准确低预估齿轮传动装置的辐射噪声是实现对其有效控制的基础，有着重要意义。

齿轮传动装置的辐射噪声主要由以下3 部分组成：

（1）齿轮、轴等的噪声穿透箱体产生的空气噪声；

（2）轴端部振动产生的辐射噪声；

（3）箱体振动产生的辐射噪声[1]。

由于箱体的隔声作用，第三部分是齿轮传动装置辐射噪声的主要来源，目前对于齿轮传动装置的辐射噪声分析就是对该部分进行分析。通过建立并求解齿轮系统的动力学方程获得轴承动载荷，以轴承动载荷为激励采用有限元/边界元法对箱体的辐射噪声进行分析是目前齿轮传动装置辐射噪声分析中常用的方法之一，其准确性已经得到了广泛验证[2-3]。

齿轮传动装置通常安装在基座上，在齿轮箱传动装置的辐射噪声分析中必须计入基座的影响。通过建立基座的有限元/边界元模型可计入其影响，但该方法同时也会增加计算规模，降低计算效率。如何提升齿轮-箱体-基座耦合系统辐射噪声的分析效率是目前需要解决的问题之一。

子结构法是提升计算效率的常用方法之一，其在机械结构的振动分析中已经得到了广泛应用。柴国栋[4]、王雪仁[5]、陈冬冬[6]和张忠[7]等分别应用该方法对电子设备、圆柱壳体、铝合金车体和运载火箭的固有特性进行了分析。但该方法在辐射噪声分析中的应用还较少。

本文以一个安装在基座上的齿轮传动装置为对象，采用静态子结构法对基座进行了等效，在此基础上建立了辐射噪声分析模型，通过求解获得了齿轮-箱体-基座耦合系统在不同场点上的声压级频谱，并与全有限元/边界元模型的分析结果进行了对比，证明了文中方法的准确性和有效性。

1 模型建立

在已知齿轮系统参数（包括齿轮参数、轴的尺寸、轴承型号等）、箱体和基座结构的条件下，可根据以下流程建立齿轮-箱体-基座耦合系统辐射噪声分析模型。

首先根据齿轮参数建立齿轮系统的动力学方程，求解该方程可获得各轴承在不同方向上的动载荷。接着将箱体离散成有限个单元，在每个轴承孔的中心处建立中心节点，并在各中心节点与对应轴承孔内壁所有节点之间建立刚性耦合，将轴承动载荷施加在对应轴承孔的中心节点处，可建立齿轮-箱体耦合系统的运动学方程，如式(1)所示。

式中：Mgb，Cgb和Kgb分别表示箱体的质量、阻尼和刚度矩阵；qgb表示位移向量；Fgb表示载荷向量；fbix，fbiy和fbiz表示第i个轴承处x，y和z方向上的载荷；Nb表示轴承个数；fgbjx，fgbjy和fgbjz表示第j个连接点处x，y和z方向上基座对箱体的载荷；Nc表示连接点数。

然后，将基座离散成有限个单元，并将基座与箱体的各连接点设置为主节点（外部节点），将其它节点设置为内部节点。此时基座刚度矩阵以及相应的节点位移和载荷向量可以写成如式(3)所示的分块形式。

式中，下标I代表内部节点自由度，下标B代表外部节点自由度。

式(3)的展开形式如式(4)和式(5)所示。

根据式(4)可以得到内部节点的位移，如式(6)所示。

将式(6)带入式(5)可以得到凝聚后的基座的运动方程，如(7)所示。

式(7)的简化形式如式(8)所示。

式中：K*BB和F*B就是经凝聚后基座的刚度矩阵和载荷向量。同理可得到经凝聚后基座的质量矩阵M*BB。可以看出K*BB(M*BB)综合了原始刚度（质量）矩阵中各分块矩阵的影响。

矩阵M*BB中非对角线元素（耦合项）对振动噪声的影响要明显小于对角线元素（非耦合项）。因此可以忽略该矩阵中的非对角线元素，得到基座的等效质量矩阵，如式(9)所示

式中：mjx、mjy、mjz(j=1,2,…,Nc)表示凝聚后基座在各连接点处不同方向上的等效质量。

同理可得到基座的等效刚度矩阵，如式(10)所示

式中：kjx、kjy、kjz(j=1,2,…,Nc)表示基座在各连接点处不同方向上的等效刚度。

在获得了基座的等效质量矩阵和等效刚度矩阵后，可建立其运动学方程，如式(11)所示。

式中：qb表示基座的位移向量；fbjx，fbjy和fbjz表示第j个连接点处x，y和z方向上箱体对基座的载荷。

每个连接点处，箱体与基座的位移相等；载荷大小相等，方向相反。根据该边界条件对箱体和基座的质量矩阵、阻尼矩阵以及刚度矩阵进行组装可建立齿轮-箱体-基座耦合系统的运动学方程，如式(13)所示。（注：文中未考虑基座的阻尼特性，即基座等效阻尼矩阵中的各元素均为0）。

式中：M、C、K分别为耦合系统的整体质量、阻尼和刚度矩阵分别为耦合系统的加速度，速度和位移向量；f为载荷向量。

采用模态叠加法对方程(13)进行求解可以得到箱体表面各节点的法向振动速度，如式(14)所示。

式中：vn表示箱体表面的法向速度；ω表示角频率；j表示模态阶数；N表示模态总阶数；Qj(ω)为结构模态参与因子，代表了各阶模态在结构振动响应中的重要程度；φnj表示箱体的第j阶主振型在各表面上的法向分量。

高阶模态对结果振动的贡献非常小，因此为了在计算精度和计算规模之间更好地达到平衡，一般只取系统的前l阶模态进行求解。

箱体一般具有较大的结构刚度，声压变化对结构振动的影响非常小，可忽略不计，其在空气中的稳态声学响应可用Helmholtz 方程表示[8]，如式(15)所示。

式中：∇为拉格朗日算子；p(r)表示声场中任意位置r处的声压；k为波数。

采用间接边界元法对式(15)求解可以得到声场中任意场点在不同频率下的声压如式(16)所示。

式中：ATV(r，ω)为声学传递向量，代表了声场中任意场点处的声压与箱体表面法向振动速度间的关系。

2 结果与讨论

2.1 分析对象

采用上述模型，对一个刚性安装在基座上的齿轮传动装置的辐射噪声进行了仿真分析。齿轮传动系统的简图如图1所示。

图1 齿轮系统简图

可以看出传动系统中的齿轮副为斜齿轮副，其参数如表1所示。箱体的实体模型如图2(a)所示，为了方便计算，在建模时忽略了箱体上一些细小的结构特征，如小的倒角，小的螺栓孔等。基座的实体模型如图2(b)所示。箱体与基座通过6个螺栓相连，对应的连接点编号如图2(b)所示。

表1 斜齿轮副的基本参数

图2 箱体和基座的实体模型

2.2 轴承动载荷

将图1所示的齿轮系统离散成一系列节点并组成不同类型单元，建立了其有限单元模型[9]，如图3所示。从图3中可以看出，齿轮系统的有限单元模型中共包含4 类节点和3 类单元。其中轴节点通常选取在轴的端点、轴截面尺寸有突变处、轴承宽度端点处以及齿轮齿宽端点处。功率节点通常选取在功率输入端（输出端）平键、花键或联轴器的中点处。轴承节点通常选取在轴承中点处。齿轮节点通常选取在齿宽中点处。轴单元建立在同一根轴上的相邻节点之间，文中用Timoshenko 梁单元来模拟轴单元。啮合单元建立在两啮合齿轮节点之间，文中在建立啮合单元时忽略了两啮合齿轮间的相互摩擦。轴承单元建立在轴承节点和固定点之间，文中通过滚动轴承在各方向上的刚度和阻尼来等效轴承单元。

图3 齿轮系统的有限单元模型

通过求解齿轮系统的有限单元模型，获得了各轴承节点在不同方向上的位移和速度，将该位移和速度与对应的轴承刚度和阻尼相乘并求和获得了各轴承在不同方向上的动载荷。输入转速为3 000 r/min，输出扭矩为2 000 N·m 时各轴承在不同方向上的动载荷如图4所示。从图4中可以看出，各轴承上动载荷的峰值主要出现在啮合频率（1 450 Hz）及其二倍频（2 900 Hz）处。输入轴各轴承（轴承1和轴承2）上的动载荷明显大于输出轴各轴承（轴承3 和轴承4），主要因为输入轴的刚度小于输出轴，在相同工作条件下，输入轴的振动比输入轴明显。

2.3 基座的等效质量和刚度

由箱体振动产生的辐射噪声是齿轮传动装置辐射噪声的主要来源，因此为了提升计算效率对基座进行了等效。建立基座的有限元模型并在各连接点处设置主节点，通过子结构法获得了基座在各连接点处不同方向上的等效质量，结果如表2所示。由于基础结构的对称性，连接点1、3、4和6处的等效质量基本相同，连接点2和5处的等效质量基本相同。

表2 基座在各连接点处的等效质量

建立基座的有限元模型，分别在各连接处的不同方向上施加单位载荷，通过静力学分析获得了各连接点处不同方向上的位移，用载荷除以对应的位移获得了基座在各连接点处不同方向上的等效刚度，结果如表3所示。

表3 基座在各连接点处的等效刚度

可以看出连接点1、3、4 和6 处的等效刚度基本相同，连接点2 和5 处的等效刚度基本相同，产生该现象的主要原因是基座结构的对称性。

图4 各轴承上的动载荷频谱

2.4 辐射噪声

将箱体离散成有限个单元，并在各连接点处以质量单元和弹簧单元等效基座，以各轴承上的动载荷作为激励采用有限元/边界元法分析获得了各场点上的辐射噪声。输入转速为3 000 r/min，输出扭矩为2 000 N·m 时各场点（场点位置如图5所示）上的声压级频谱如图6所示。从图6中可以看出各场点上声压级的峰值均出现在啮合频率（1 450 Hz）及其2 倍频（2 900 Hz）处，与轴承动载荷的分布规律一致。

图5 各主要场点的位置