吊杆式起重机二维摆动的防摆控制研究

贾鹏霄，周 越，李鑫伟

（北京林业大学 理学院，北京100083）

高速大吨位的吊杆式起重机目前已经广泛地应用于建筑业和港口运输业[1]。吊杆式起重机通过在臂架末端悬挂负载可以实现起重和吊装等功能。吊杆式起重机的运动主要包括臂架的俯仰运动和转台的回转运动[2]。但是当转台进行回转运动时，由于向心力的作用，一维的回转运动往往会产生二维的负载摆动，这种摆动不仅降低起重机的作业效率，而且有可能与周围的货物或者操作人员发生碰撞，造成严重的安全事故。为了防止事故的发生，对起重机操作人员的操作水平提出了很高的要求，并且也增加了操作人员的工作负担[3]。为了降低操作人员的工作负担，目前已经有很多学者针对负载的防摆控制展开研究，提出了很多控制方案，包括最优控制[4]，滑模控制[5]，自适应控制[6]，输入整形控制[7]，以及基于Lyapunov稳定性的非线性控制[8]等。

在已往的研究中，为了对负载的二维摆动进行抑制，需要同时控制臂架的俯仰运动和转台的回转运动才能够实现防摆的目的。这样一方面增加了控制器的复杂程度，另一方面由于臂架俯仰运动需要克服负载重力，所以起重机要消耗更多的能量，增加了成本。考虑到这种摆动是由于一维的回转运动引起的，所以研究只通过控制转台的回转运动就能实现转台的定位和防摆的控制器就显得非常重要。

目前国外已经有一些学者针对通过转台回转运动来抑制负载摆动这种方案展开了研究。文献[9]提出了一种开环控制方法，通过对转台回转运动的轨迹进行规划来实现负载的摆动抑制。但是当外界有其他干扰时，这种开环控制系统的控制效果就会变差。为此，本文设计了一种仅需控制回转运动就能实现定位和防摆的非线性控制器，并且通过Lyapunov 稳定性理论对控制器的稳定性进行了证明。仿真实验验证了所设计控制器的有效性。

1 吊杆式起重机系统建模

吊杆式起重机的结构如图1所示。负载通过绳索悬挂在臂架的顶端，臂架在液压缸的作用下可以实现在竖直平面的俯仰运动，转台在液压马达的作用下可以实现在水平面的回转运动。

图1 吊杆式起重机

负载在空间的摆动可以用臂架平面内摆角θ1和平面外摆角θ2来描述。对于实际的起重机吊摆系统，其结构非常复杂，除了自身非线性的元件外，还会受到外界的各种干扰，包括各种摩擦、空气阻力等的影响。为了方便对系统的动力学特性进行分析，进而对防摆控制进行研究，对实际的起重机系统进行如下的抽象简化处理。

(1)把绳索悬挂的负载简化为质点，假设吊绳刚度足够大，且忽略其质量；

(2)假设负载摆动角度θ1和θ2都是可测的，并且其角速度有界；

(3)忽略系统内各机构间的摩擦和外部干扰。

根据上述简化假设，可以将起重机抽象为如图2所示的简化模型。

假设负载的质量为mload，臂架长为LB，绳长为l。为了方便分析，假设臂架平面与沿起重机转台轴线水平X轴的夹角为回转角α，臂架与竖直Z轴的夹角用β来表示。

只考虑臂架的回转运动时，利用拉格朗日法可得到吊杆式起重机的动力学模型如下式所示

图2 吊杆式起重机模型

其中：uα是回转运动的控制输入，K是增益，J是回转运动的转动惯量，假定J是恒定的，并且忽略回转运动过程中的摩擦力等外部干扰。为了进行防摆控制器的设计，假定负载摆角θi和摆角速度都很小，(i=1,2)，于是在式(1)中，有因此，式(1)可进一步简化为

2 控制器的设计和稳定性分析

在对控制器进行设计时，考虑两个问题[10]，一个是控制器必须使转台能够尽快到达参考轨迹r指定的期望位置，即定位问题；另一个是转台转动过程中和结束后应使负载的摆动尽可能的小，即防摆问题。假设转台运动的参考轨迹r的1阶导数和2阶导数存在且连续。为了对控制器进行设计，考虑如下的Lyapunov函数

结合式(2)和式(3)，提出如下的控制律

其中：p=Kese+Kθ2bs2，和K2是正常数，ε是一个很小的常数。

当 |p| ≥ε时，式(6)代入式(5)中，经过整理后可得

假定≠0，如果K2＞1，则是负定的。

如果 |p| ＜ε，式(6)代入(5)中，经过简单整理后可以得到

并且可以得到

其中：η1=2K1·min(Ke,Kθ2b2)

根据进行防摆控制研究的假设条件，θi和，i=1,2 有界，并且 |p| ＜ε，所以η2是有界的。通过调整控制律的参数，就可以实现理想的控制效果。

3 仿真分析

为了验证所提控制方法的有效性，进行如下的仿真实验。控制器的参数和模型参数如表1所示。

为了验证所提控制器防摆控制的性能，采用普

表1 仿真参数

通的PD控制器进行对比研究。

PD控制器的结构如下

其中：e=r-α。Kp=50，Kv=10；

考虑参考轨迹为五次多项式

采用PD 控制器的控制结果如图3所示，在图a中实线为参考轨迹，虚线为转台回转角α，可以看到α可以很好地跟踪上参考轨迹。图b 为负载在臂架平面内的摆角θ1，由图可以看到当转台转角α转到45°后，摆角θ1存在等幅振荡；图c为负载在臂架平面外的摆角θ2，由图可见θ2也存在等幅振荡。因此采用传统的PD 控制器，转台回转角α作为反馈，只能实现参考轨迹的跟踪，并不能实现有效的摆动抑制。

采用本文设计控制器的控制结果如图4所示。

在图4(a)中实线为参考轨迹，虚线为转台回转角α，可以看到α也可以很好地跟踪上参考轨迹。图4(b)为负载在臂架平面内的摆角θ1，由图可见，转台转角α到达45°后，θ1角基本为0；图4(c)为负载在臂架平面外的摆角θ2，由图可见，转台转角α到达45°后θ2也基本为0；由此可见，采用本文所设计的控制器都作为反馈，既可以实现跟踪参考轨迹的目的，也可以实现负载防摆的目的。

图3 采用PD控制器

图4 采用设计的控制器(α=45°)

4 结语

吊杆式起重机在进行回转运动时会使悬挂的负载产生二维摆动；为了对二维摆动继续抑制，本文提出了一种仅需考虑回转运动就能实现定位和防摆的控制方法。首先采用拉格朗日法对吊杆式起重机进行建模得到了其动力学模型；然后基于这个模型，采用Lyapunov稳定性理论设计了一种非线性控制器；最后通过仿真研究验证了本文所提方法的有效性。