碳纤维布加固具多裂纹RC梁振动分析

陈业丰，陈得良

(长沙理工大学 土木工程学院，湖南 长沙 410114)

钢筋砼梁结构作为重要的承重结构，在现代土木工程中应用广泛，但它在制造和服役过程中极易产生裂纹。裂纹的存在将对结构刚度、强度、稳定性及使用寿命产生很大影响。就含裂纹砼结构的静、动力学问题，Hamed E.等在考虑砼和预应力筋材料非线性的基础上，运用虚功变分原理推导了含裂纹预应力梁的控制方程，通过数值算例研究了裂纹对预应力梁固有频率的影响；王丹生等在结构振动波传播理论的基础上，把裂纹看作弯曲弹簧，利用断裂力学理论分析了单裂纹砼梁裂纹深度和位置对梁动力特性的影响；余志刚等采用勒让德正交多项式作为形函数，利用能量原理建立梁的高阶有限元动力模型，提出了识别斜梁裂纹的计算方法；易伟建等利用Hilbert-Huang变换对含裂纹梁的脉冲锤击试验的跨中加速度进行分析，识别梁的非线性动力特征；陈得良等考虑裂纹应力强度因子和柔度系数的关系及钢筋约束，基于Timoshenko梁理论建立含裂纹梁动力学方程，用三角级数展开分析方程，分析了裂纹深度、密集度、钢筋约束对梁固有频率的影响；刘峰引入裂纹强度因子，建立FRP加固具单裂纹梁的控制方程，研究了单裂纹对FRP加固梁动力响应的影响；Roberto Capozucca对具裂纹PRC/RC梁的振动问题进行试验研究，结果表明具裂纹钢筋砼梁非线性对梁的动力响应有很大影响。该文同时考虑钢筋、碳纤维布的约束效应和含裂纹区域应力集中效应，利用Hamilton原理建立控制方程，采用Galerkin方法进行数值分析，研究裂纹数量、深度对跨中最大位移的影响和裂纹间距、深度及纵向钢筋和碳纤维布对加固梁位移响应的影响。

1 加固梁受迫振动控制方程的建立

图1为具多裂纹碳纤维布加固梁模型，加固梁的尺寸为L×2d×2b，As1、As2为受拉、受压钢筋的横截面面积，za1、za2分别为受拉、受压钢筋的形心距离中性轴的距离，梁底两端粘贴一层厚度为t的碳纤维布。设有i条裂纹分布于梁底，第i条裂纹的深度为ai，其与z轴的距离为xci，Psin(wt)为加固梁受到的正弦外力荷载。为方便研究，作如下假定：1)碳纤维布、砼、钢筋都视为均质弹性材料；2)应变沿梁截面高度线性变化；3)裂纹微小且不闭合；4)不考虑碳纤维布、砼、钢筋之间的剪切效应。

图1 碳纤维布加固具多裂纹RC梁简支模型

对于碳纤维布加固具多裂纹RC梁，其位移模式假设为：

(1)

式中：n为梁底裂纹数量；j=f、s、c，分别表示碳纤维布、钢筋、砼；u和w分别为微小单元体在x、z方向的位移；Tsφi(x,z)表示裂纹区应力集中效应；Ts=1、0分别表示梁上是否存在裂纹，由于裂纹对应力、应变的影响主要作用于砼上，j=c时Ts=1，j=f、s时Ts=0；φi(x,z)为第i条裂纹对砼的影响因子函数，在x=xci和裂纹尖端处得到最大值，沿x轴向裂纹两端呈指数衰减[见式(2)]。

e-α/d|x-xci|

(2)

式中：m、α为常数，分别表示裂纹周围砼应力竖向线性变化的斜率和裂纹尖端周围砼应力衰减情况，m按式(3)计算，α的取值为1.276；阶跃函数u(d-ai-z)表示忽略微小裂纹对中性轴以上砼应力、应变的影响，表达式见式(4)；xci、ai为梁上第i条裂纹与z轴的距离和深度。

(3)

(4)

利用Hamilton 能量原理建立碳纤维布加固具多裂纹RC梁的动力学控制方程，采用变分原理可得：

(5)

式中：U、T、V表示多裂纹加固梁的总应变能、总动能、总外力势能；t为时间变量。

对于细长梁，砼梁、钢筋、碳纤维布的动能为：

(6)

式中：j=f、s、c，分别表示碳纤维布、钢筋、砼；Aj、ρj、Vj分别表示对应材料的截面面积、密度和体积。

砼、钢筋、碳纤维布的应变能为：

(7)

式中：Ef、Ec、Es分别为碳纤维布、砼、钢筋的杨氏弹性模量；f(x)、fsi(x)、ff(x)按式(8)计算。

(8)

式中：zsi(i=1,2)、zf分别表示钢筋和碳纤维布距中性轴的距离。

梁的外力势能V为:

(9)

式中：q(x,t)为分布荷载。

将式(6)～(9)代入式(5)，并进行分部积分，得：

(10)

式中：α1、α2按式(11)计算。

(11)

2 方程求解

碳纤维布加固具多裂纹RC简支梁模型的边界条件为：在x=0和x=l处，δw=0，δw″=0。对w进行变量分离，设：

(12)

将式(12)代入式(10)，得：

(13)

式(13)两边同时乘以sin(jπx/l)，并沿梁长积分，得：

(14)

式中：δ(x-l/2)按式(15)计算。

(15)

将式(14)写成矩阵形式：

(16)

式中：M、K、Q分别为方程的质量矩阵、刚度矩阵和广义力矩阵，按式(17)～(19)计算；T=[T1,T2,…,Tn]T为n阶列向量。

(17)

(18)

(19)

式中：[I]为n×n单位矩阵。

3 计算结果与分析

建立一碳纤维布加固具多裂纹RC梁模型，分析其在简谐荷载作用下的动力响应。梁长l=2 m，梁半高d=0.1 m，梁半宽b=0.05 m；砼的弹性模量Ec=2.4×104MPa，钢筋的弹性模量Es=2.1×105MPa，FRP的弹性模量Ef=2.1×105MPa；砼的密度ρc=2 450 kg/m3，钢筋的密度ρs=7 850 kg/m3，碳纤维布的密度ρf=1 550 kg/m3；碳纤维布厚度t=0.23×10-3m；受拉、受压钢筋截面面积As1、As2均为157×10-6m2。

3.1 裂纹数量和深度对梁跨中最大位移的影响

在加固梁跨中处作用大小P=1 kN、频率为10 Hz的正弦载荷，裂纹均布于梁下侧，裂纹深度a分别为0.01、0.03、0.05 m，梁跨中处最大位移见图2。

图2 裂纹数量对梁跨中最大位移的影响

由图2可知：随着碳纤维布加固梁上裂纹数量n和裂纹深度a的增加，梁跨中最大位移增大；相同裂纹数量下，随着裂纹深度增加，梁跨中最大位移增大，但增幅变小；裂纹深度较小时，随着裂纹数量增加，梁跨中最大位移增大；裂纹深度较大时，随着裂纹数量增加，梁跨中最大位移趋向指数增大。

3.2 裂纹间距和深度对梁位移响应的影响

在梁跨中作用大小P=1 kN、频率为10 Hz的正弦载荷，裂纹数量n=5条，图3～5为裂纹深度a分别为0.02、0.05、0.08 m时裂纹间距对多裂纹梁的动力响应。

图3 裂纹间距对具裂纹梁位移响应的影响(a=0.02 m，n=5条)

图4 裂纹间距对具裂纹梁位移响应的影响(a=0.05 m，n=5条)

图5 裂纹间距对具裂纹梁位移响应的影响(a=0.08 m，n=5条)

从图3～5可以看出：在相同裂纹数量和裂纹深度下，具裂纹梁的最大跨中位移随着裂纹间距的减小而逐渐增大，但增幅逐渐减小；裂纹深度a分别为0.02、0.05、0.08 m时，裂纹间距l/12和l/6对应的位移差值分别为3.29×10-6、1.59×10-5、2.28×10-5m。说明裂纹深度较小时，裂纹密集程度对梁位移响应的影响较小，但随着裂纹深度的增加，裂纹间距对位移响应的影响逐渐增大。

3.3 钢筋和碳纤维布对梁位移响应的影响

在梁跨中处作用大小P=1 kN、频率为10 Hz的正弦载荷，裂纹间距为l/8，裂纹数量n分别为3、5、7条，钢筋和碳纤维布对梁跨中处位移响应的影响见图6～8。

图6 裂纹数量n=3条时梁的位移响应

图7 裂纹数量n=5条时梁的位移响应

图8 裂纹数量n=7条时梁的位移响应

从图6～8可以看出：具裂纹加固梁在不考虑钢筋约束时的位移响应最大，同时考虑钢筋约束作用和碳纤维布时梁的位移响应最小，其值与不考虑碳纤维布作用时加固梁位移响应的差值很小，可忽略不计；不考虑钢筋约束效应时，随着裂纹数量的增多，加固梁的位移响应逐渐增大，且增幅很大。对用碳纤维布加固具多裂纹RC梁进行受迫振动分析时，钢筋的约束作用不可忽略。

4 结论

基于Euler-Bernoulli梁理论，同时考虑钢筋和碳纤维布对砼的约束效应，引入Tsφi(x,z)函数分析裂纹对周边砼应力、应变的影响，运用Hamilton原理建立碳纤维布加固具多裂纹RC梁的动力学控制方程，用三角级数展开的数值方法对方程进行分析求解，研究裂纹数量、深度、间距及碳纤维布和钢筋约束效应对具裂纹梁的位移响应，得到以下结论：

(1)裂纹深度和数量对加固梁刚度有较大影响，随着裂纹数量和深度的增加，加固梁跨中最大位移逐渐增大。

(2)裂纹密集程度对加固梁刚度有较大影响，裂纹深度和数量相同时，裂纹间距减小会导致含多裂纹加固梁的位移响应逐渐增大，且裂纹深度的增加会加大裂纹间距对位移响应的影响。

(3)碳纤维布对位移响应的影响比钢筋约束效应的影响小，对碳纤维布加固具多裂纹RC梁进行受迫振动响应分析时，钢筋的约束作用不可忽略。