非线性随机扰动的粒子群优化算法

张少辉，吴文欢，韩秋英

（周口师范学院 计算机科学与技术学院，河南 周口 466001）

粒子群优化（Particle Swarm Optimization，简称PSO）算法是一种新颖的进化算法，由美国学者J.Kennedy博士和R.C.Eberhart于1995年共同提出［1］.PSO算法受鸟群觅食行为的启发而提出，因故得名.PSO算法因其算法程序简单、需要调节的参数较少、高效等特点，已经得到了众多学者的重视和研究，目前多应用于工程目标优化问题的求解中.然而基本粒子群优化算法也存在收敛速度慢、易早熟收敛等缺点，为此，许多学者将PSO算法同遗传思想、模拟退火算法和单纯性方法等结合起来，以期提高算法的全局搜索能力和精度.

本文在非线性递减惯性权重的基础上，引入小阻尼振荡函数，在算法收敛后期对其进行随机扰动，提出一种非线性随机扰动的粒子群优化算法，并通过两个基准测试函数对其进行性能测试.实验结果表明，相对于标准粒子群优化算法，新算法能有效平衡全局搜索和局部搜索，具有更快的收敛速度.

1 标准粒子群优化算法

群体智能算法中，单个个体并不具有智能性，但整个群体因其相互影响和相互制约的关系，而体现出人工智能的特征.PSO算法中粒子的速度和位置的计算更新公式表示如下［2］：

其中，Xi（t）表示第i个粒子在第t代的位置；Vi（t）表示第i个粒子在第i代的速度；pbesti（t）表示第i个粒子在第i代所经历的历史最优位置；gbest（t）代表所有粒子经过t代后的全局最优位置；ω表示算法的惯性权重，它的作用是用于衡量旧的速度对新速度的影响；c1和c2为加速常数，一般取值范围为［0～2］；r1和r2为两个相互独立的随机数，取值范围为［0～1］.

1998年，Y.Shi［2］等提出在公式（1）的基础上，通过增加一个惯性权重ω来决定粒子从当前速度继承的多少，从而来协调算法中的搜索能力.并且通过实验得出：较大的惯性权重有利于展开大范围的开拓（Exploration），较小的惯性权重有利于进行小范围的开掘（Exploitaion）.因此，Y.Shi［3］等经过反复实验，提出了线性递减惯性权重策略（LDIW），采用惯性权重从0.9到0.4之间线性递减，会取得令人满意的算法性能.LDIW策略的计算公式如（3）所示：

其中，ωstart和ωend分别为惯性权重的开始值和终止值；t为当前迭代次数；tmax为最大迭代次数.

在粒子群优化算法优化过程中，所有粒子均向最优解的方向靠拢，所以在迭代后期，粒子的趋向同一化，群体的多样性逐渐丧失，致使在算法后期，收敛速度明显变慢，甚至处于停滞状态.为了克服这一缺点，近年来出现了不少针对惯性权重改进的PSO算法，胡建秀［4］等提出了一种线性微分递减策略；张顶学等［5］提出了一种动态改变惯性权重策略；陈贵敏等［6］提出了3种惯性权重非线性递减的策略.这些算法都针对惯性权重的递减策略，对PSO算法进行了改进，不同程度上提高了算法的搜索能力和收敛速度，但它们很难在搜索速度和保持种群多样性之间达到平衡.

2 非线性随机扰动粒子群优化算法（PSONLRD）

2.1 随机扰动策略

本文在非线性惯性权重递减策略的基础上，基于凹函数递减策略（Concave Function＇s Inertia Weight，PSO－CFIW）［6］，引入小阻尼振动函数，提出一种非线性随机扰动（Nonliner Random Disturbance，PSO－NLRD）的惯性权重改进策略，其惯性权重计算如公式（4）所示：

式中，Ae－βtcos（ωt＋φ）为小阻尼振动函数，利用阻尼振动来控制算法中的惯性权重，使其随着迭代次数的增加而出现随机扰动现象.加入了随机扰动策略，在算法迭代前期，扰动较弱，增强了种群的多样性，使PSO算法能尽快找到全局最优解的大致位置，增强PSO算法的开拓（Exploration）能力；随着迭代次数的增加，扰动逐渐加强，在最优解的局部区域内进行开掘（Exploitation），有利于算法跳出局部最优，精确定位全局最优解，避免了停滞现象的发生.标准PSO算法（SPSO），PSO－CFIW 算法和PSO－NLRD算法中三种惯性权重递减策略随迭代次数变化曲线对比如图1所示.

2.2 基准测试函数

本文采用Rastrigrin和MexicoHat两个标准的基准（Benchmark）测试函数进行算法测试.

Rastrigrin函数的定义如下：

该函数是一个典型的具有大量局部最优的复杂多峰函数，算法很容易陷入局部最优，其全局最优解为x＊＝（0，0，…，0），全局最优值为f（x＊）＝0.

图1 惯性权重随迭代次数变化曲线对比图

MexicoHat函数（墨西哥草帽函数）定义如下：

该函数有很多的局部极大值点，而全局最优解为x＊＝（0，0，…，0），全局最优值为f（x＊）＝1.005 4.

3 仿真实例及数据分析

3.1 实验结果

本文采用上述两个基准测试函数来测试所提出的PSO－NLRD算法，种群规模大小均为40，优化变量的维数为20，最大迭代次数为300，最大速度Vmax和最小速度Vmin分别设置为上限和下限的一半，Wmax＝0.9，Wmin＝0.4，c1＝c2＝2.0.为了比较算法的性能和减少偶然性的影响，在相同迭代次数的条件下，各算法对每个函数测试平均运行20次，用于统计实验平均值和标准差.SPSO，PSOCFIW和PSO－NLRD算法的寻优结果比较如表1所示（表中 Min表示最小值，Max表示最大值，Avg表示平均值，SD表示标准差）.

表1 基准测试函数对三种算法的性能测试结果

测试函数优化曲线对比如图2和图3所示.

3.2 收敛性分析

从表1可以看出，对于Rastrigrin函数，PSO－NLRD算法平均值为0.010 8，接近全局极小值0；对于MexicoHat函数，算法平均值为1.005 2，非常接近全局极大值1.005 4，取得了满意的结果.从图2、图3可以看出，PSO－NLRD算法比其他算法具有较快的收敛速度和稳定性，在迭代后期，随机扰动策略使得算法具有跳出局部极小值的能力，有效避免了算法的早熟收敛问题.

4 小结

本文在非线性惯性权重递减策略的基础上，提出了一种非线性随机扰动的递减策略，并使用两个基准测试函数对算法进行测试和分析.目前，虽然对粒子群算法的研究取得了较为显著的成绩，但粒子群算法的数学模型还待完善，在很多领域还存在亟待解决的问题，所以，进一步研究PSO算法具有十分重要的现实意义.

［1］Kennedy J，Eberhart R.Particle Swarm Optimization［C］／／Proc of IEEE Int＇l Conf on Neural Networks，1995：1942－1948.

［2］Shi Y，Eberhart R C.A modified pariticle swarm optimizer［C］.Procedings of the IEEE International Conference on Evolutionary Computation.Piscataway：IEEE Press，1998：69－73.

［3］Shi Y，Eberhart R C.Particle Swarm Optimization：development，applications and resources［C］.In：Proc Congress on Evolutionary Computation 2001NJ：Piscataway，IEEE Press，2001：81－86.

［4］胡建秀，曾建潮.微粒群算法中惯性权重的调整策略［J］.计算机工程，2007，33（11）：193－195.

［5］张顶学，关治洪，刘新芝.一种动态改变惯性权重的自适应粒子群算法［J］.控制与决策，2008，11（23）：1253－1257.

［6］陈贵敏，贾建援，韩琪.粒子群优化算法的惯性权重递减策略研究［J］.西安交通大学学报，2006，40（1）：53－56.