均值函数对随机波动率短期利率模型的影响分析

江 良林鸿熙宋丽平

(1.莆田学院数学与金融学院,福建莆田351100;2.福建省高校金融数学重点实验室(莆田学院),福建莆田351100;3.莆田学院商学院,福建莆田351100)

1 引 言

由于短期利率在衍生品定价和风险管理中是一个非常重要的指标,因此研究短期利率模型在当前金融工程领域中是一项重要的工作,特别是连续模型.目前,已有一些短期利率模型得到非常好地应用和研究[1-6].

上述模型在业界或学术界已被广泛地应用和研究,但比较它们动态变化仍然是一个问题.原因之一是缺少一般框架下的模型来刻画短期利率动态过程.为了解决此问题,Chan等[7]考虑了具有弹性系数短期利率模型(CEV),使得该模型能够嵌入更多经典的模型.Durham[8]考虑更一般非线性短期利率模型能嵌入更多的短期利率模型,郑挺国等[9]引入跳的因素研究了随机波动率CEV模型.这些研究者考虑CEV模型动机是希望找到更好的模型来刻画短期利率动态行为.

基于常系数模型是无法对冲远期利率衍生品的风险.如Li等[10]得出一般的短期利率模型很难对冲远期利率衍生品(Cap产品)的风险.Andersen等[11]研究发现随机波动率模型虽然能够很好地拟合数据,但是也很难对冲收益率风险,他们建议引入其它宏观状态变量,其原因之一是上述模型和远期利率模型(HJM)是不相容的.为了克服这个困难,Hull等[12]在Chan等[7]模型中引入均值函数,以至于模型能够相容于HJM模型和短期利率期限结构问题,而且他们也发现均值函数对于衍生品价格的影响也是不可忽视的,特别是具有长期期限结构的衍生品价格.Chiarella等[13]通过HJM模型推导更一般的单因子均值函数短期利率模型,也发现均值函数模型能更好地刻画市场价格风险.Valchev[14]在HJM模型框架下给出了具有均值函数和跳的随机波动率高斯模型,他们说明了模型能更好地刻画波动率期限结构问题.Filipovi´c等[15]基于均值函数短期利率模型研究了银行隔夜拆借的风险问题.值得一提的是,Maghsoodi[16]发现对于均值函数的单因子CIR模型(ECIR)可以转化为高维常系数的CIR模型,然而高维的问题不仅在参数估计上变得困难,而且相应的衍生定价也变得更加困难.这就说明了ECIR模型在技术方面上具有操作的优势.

综上所述,本文将考虑更一般的短期利率模型来兼容上述的问题.在该模型中引入均值函数和随机波动率,保证了短期利率模型和HJM模型相容.在模型中,可通过弹性系数的约束条件,获得一系列的短期利率模型,这就保证了本文的模型更具一般化而且也能够相容于HJM模型和利率期限结构问题.虽然郑挺国等[9]引入跳的因素来改善拟合结果,但是该作者也得出随机波动率因素比跳的因素影响更大,Li[10]也检验了在CEV模型中引入跳的因素可能是没有必要的,他也表明跳的现象可通过增大模型弹性系数来实现,因此本文考虑短期利率样本路径具有连续性的性质,排除了跳的可能性.

为了给出参数估计和模型统计检验问题,将应用极大似然估计方法.由于本文主要目标测试引入均值函数是否对随机波动率短期利率模型产生影响,因此首先应用核估计方法给出了均值函数的估计.这里值得一提的是,对于CIR模型,本文也考虑约束条件的核估计方法.由于随机波动率是隐含状态变量,也是不可观测的,因此极大似然函数需对该变量积分.然而对于CEV模型,该积分可能没有显示的表达式,因此需要一种可行的技术方法来给出参数的估计.根据极大似然估计方法一步向前预测误差分解,基于Kalman滤波器可以给出相应的似然函数.因此将基于Kalman滤波器通过拟极大似然估计法给出模型的参数估计,并相应地给出统计检验.

2 随机波动率模型

基于Chiarella等[13]和Valchev[14]的研究结果,在风险中性测度下,考虑短期利率模型满足下面的随机微分方程(ECEV-SV)

其中θ(t)和β分别表示短期利率均值函数和随机波动率均值,a和α分别表示短期利率和随机波动率回归速率,η表示随机波动率的波动率,h是瞬时波动率,γ是弹性系数.假设的期望值

在ECEV-SV模型中,对不同约束条件γ可获的一些相容性模型,其结果在表1中.根据Durham[8]的论述,随机波动率模型更好地刻画短期利率动态变化,因此本文不考虑单因子模型.

Fong等[5]研究了FV-SV模型.由于该模型是高斯类型,所以rt可能取值为负的.若波动是常数时,BS-SV模型退化为Brennan等[17]所论述的模型,他们基于该模型给出可转债的数值方法.在CIR-SV模型中,虽然保证了短期利率非负,但是债券价格不具有仿射性结构的性质,导致了参数估计和衍生品定价只能应用数值方法或者蒙特卡罗方法.郑挺国等[9]引入跳的因素考虑CIR-SV和CEV-SV模型的拟合效果.Cotton等[18]利用微分算子展开研究了FV-SV和CIR-SV模型的衍生品定价.Andersen等[6]和Ball等[19]分别研究了CEV-SV模型,他们的实证结果表明了该模型具有更好的拟合效果.值得一提的是,Liu等[20]考虑了ECIR-SV期权定价问题.

弹性系数实际上是刻画了短期利率和随机波动率之间变化的一种关系,这种关系在经济学上是非常清晰的.如考虑短期利率条件分布均值 E[·]和方差 Var(·),即E[drt|rt,ht]=(θ(t)-art)dt,那么可得当γ＜1/2时,若利率增加的百分比相应波动率减少2γ倍;若γ＞1/2相应地增加2γ倍;而γ=1/2时,其波动率和瞬时利率同倍增加.

3 参数估计方法

3.1 Kalman滤波器

Kalman滤波器基本思想是在t时刻根据t-1之前的信息,利用预测误差分解求出状态变量最优的线性估计.关于Kalman滤波器方法对预测误差的的分解是两步的过程:第一步,在t时刻根据t-1之前的信息,给出预测状态变量的均值和方差;第二步,根据t时刻的信息,修正第一步中所求的预测值.

考虑式(1)和式(2)的离散形式

由于式(3)是一个非高斯过程.根据Durham[21]的论述,若离散模型是高斯过程将会改善参数估计结果,而且Kalman滤波器对线性方程是有效的,而对于非线性模型性能较低[22].因此需对式(3)转化为高斯过程.

根据Ball等[19]和Jacquier等[23]的论述,式(5)可以由下面高斯过程近似,即

其中zi+1～N(0,π2/2).

由于zi+1是高斯过程,可使用Kalman滤波器估计参数.设Vi=lnhi,yi=lnx2i,那么均方差最优估计(线性投影)为,其中表示线性投影算子,相应的均值平方误差(MSE)为根据式(4),设δ=1-αΔt,那么和Ωi+1|i回归方程分别为

式(7)和式(8)就是Kalman滤波器预测方程,但是式(7)中的和式(8)中的Ωi|i仍然是不知道的.因此,下面将给出修正方程.

式(9)和式(10)称为Kalman滤波器的修正方程.

然而为了计算式(7)～式(10)的递归方程,仍需初始条件.假设Vi是平稳过程,因此E(V0)=β且δE(V0)+αβΔt=β.相应的其中假设V0和ε21是不相关的.

3.2 基于Kalman滤波器拟极大似然估计

根据前面的论述及预测误差分解,可得对数似然函数

其中fi=Ωi|i-1+π2/2表示方差预测误差表示一步向前预测误差,Θ=(θ0,θ1,...,θN-1),ω=(a,γ,α,β,η),其统计性质可参考文献[24].

为了简化对式(11)的估计,根据Maghsoodi[16]的方法,对式(6)两边取无条件期望,那么有

若直接优化问题(13)可得θi的最优解为θiΔt=Δri+ariΔt,显然估计值和市场观察值呈现一样的震荡.然而考虑ECIR-SV模型时,上述的最优解可能产生负的值,而Feller条件说明了θ(t)一定是非负的,因此需通过技术性处理,给出光滑解.另一方面,关于θ(t)是在无限维空间中选取,而插值方法依赖于数据的节点数,是一个有限维问题.因此当零假设是常数和备择假设是函数时,其统计量是很难给出的,原因是无法给出精确地给出这两种假设之间的关系.所以有必要考虑一种可行的方法来解决上述问题.

3.3 Nadaraya-Watson核估计方法

本文将选取核估计方法,因为该方法仅仅在每个节点上加权平均,而且选取不同的核函数,相应的最优窗口仅差一个常数因子[26].

为了估计θ(t)(其离散θi),引入众所周知Nadaraya-Watson核函数估计器[26],那么θ(t)近似为

然而对于ECIR-SV模型,为了保证短期利率rt非负,需满足Feller约束条件,即2θ(t)≥ht.事实上,Cotton等[18]也论述了,如果Feller条件不满足,那么rt就没有强解,因此需要应用具有约束条件下的核估计方法.

首先,根据Du等[27]和Hall等[28]的研究,式(14)改写为一般的形式

根据Du等[27],定义距离D(p)为

其中pu=(1/N,1/N,...,1/N)T和p分别是N-1维的列向量.现在约束问题可化为求极小问题(16)的权重p且满足2θ(t)≥ht.由于lnhi是不可观测的,将使用相应近似.2一个合理的近似可能使用实际波动率.如Aıt-Sahalia等[29]的论述,实际波动率为∫考虑到优化问题(16)计算量,让θ(t)＞0作为约束条件,其次再估计其它参数时,使用约束条件2θ(t)≥ht.一旦求出p代入式(15)可得在约束条件下的θ(t)值.这就完成了对ECIR-SV模型的参数给出了估计方法.

综上所述,相应的估计算法如下:

步骤1基于核估计方法通过最小化式(13)给出Θ的估计;

步骤2求最大化式(11)给出ω估计;

步骤3重复步骤1和步骤2直到收敛.

注意在使用算法时,需要回答两个主要的问题:步骤1和步骤2是否相容;步骤2的渐近性质.显然根据Härdle等[26]的研究结果,步骤1估计是相容的.而步骤2的渐进性的性质可参考Hamilton[24].结合Thomas等[30]的研究结果,可以证明算法是收敛的.

对于ECIR-SV模型,算法步骤1改求式(15)和式(16)优化问题给出Θ的估计,其他的步骤类似.关于式(15)和式(16)相容性问题及渐近性可参考Du等[27]..通过初等运算可得,若满足Feller条件,则有(θ(t)Δt-(rtΔt+Δrt+artΔt))2≤rtΔt(rtΔt+2Δrt+2artΔt).显然,不等式右边有负的值产生,因此本文将不使用实际波动率近似.

虽然Härdle等[26]已经给出了最优选择λ的计算方法.然而对于本文的问题,Härdle等[26]计算方法可能是不适应的,因为根据式(13)最优的窗口不一定是式(11)的最优结果.如极端情况下选择λ→0,显然yi→∞,那么式(11)趋近于负的无穷大.因此需要其他的标准来选择窗口.这里将最大化式(11)作为标准来计算窗口.对于λ的选取用线性搜索的方法给出.

4 实证结果

为了更好地统计分析,本文将使用3月到期每周交易美国国债(T-Bill)数据近似短期利率3由于对于我国国债每周交易频率的数据,作者无法获得,但是,若能够获得该数据可直接应用本文方法也可以给出对于不同模型的参数估计和相应的统计检验.Ball等[19]和Andersen等[6]也使用每周交易美国国债数据近似短期利率..时间从2000–01–03～2014–12–26,总的数据为781(数据来源于http://research.stlouisfed.org/).图1给出了短期利率和相应的Δr=ri-ri-1的图形.

图1 市场观察值r和相应的Δr值Fig.1 The market observation r and corresponding Δr value

首先,先测试是否对于均值约束条件是必要的.图2给出不同窗口选取所对应的权重函数的权重p的估计值.

图2 对于不同窗口λ选取所对应p的数值结果Fig.2 The numerical results p for the different bandwidth λ

观察图形可得,显然存在一些pi̸=1/N.这就说明了约束条件是有效的,即不加约束条件下,均值函数的估计值有负的值.然而对于ECIR-SV模型而言,Feller条件说明了均值函数一定是非负的.因此考虑约束条件核估计是必要的.另一方面,观察图2可得,当λ→0时,pi呈现更大的变化,隐含着θ(t)可能有更多点取到负的值.反之,当窗口足够大时,θ(t)有更少点是负的值.

由于本文主要分析均值对于随机波动率的影响,因此模型的参数估计可分为两步骤进行估计.第一步,根据式(13)给出θ(t)和a的估计;第二步,根据第一步估计的结果,然后通过式(11)估计其它参数.

表2给出了不同模型参数估计.从表中数据可看出,均值θ/a=0.016 6非常接近样本均值0.018 3.因此可以说明均值在约束条件是可行的.而在非约束条件下计算获得,均值θ/a＜0明显和样本均值大于零矛盾.若考虑常数均值时,CEV-SV模型弹性系数非常接近0.5,也就是CIR-SV模型的弹性系数.事实上,基于Ball等[19]的结果也发现,他们所得弹性系数估计值为0.651 0非常接近本文所得估计值为0.635 0,这也足于说明估计方法是正确的.整体上,引入均值函数其似然值将被改善,从而说明引入均值函数确实是必要的,而且也发现,当考虑均值函数时,当0＜γ＜0.5时,ECEV-SV模型的弹性系数趋近于零,意味着模型和EFV-SV非常接近.

表2 不同模型的参数估计Table 1 Parameters estimates for the different models

4.1 似然率测试

其中υ是约束条件的个数.

通过式(17)的数值与相应的χ2分布的临界值比较,可以判断是否拒绝给定的约束条件假设.

而对于具有时间变量系数的模型,根据Härdle等[26]论述,当窗口h→∞时,θ(t)=const为常数.而当h≠∞时相应的估计是一个函数.因此可以给出下面的假设

虽然θ(t)选取在一个无限维的函数空间中,但是上面假设说明了这个选取仅依赖于窗口的两种状态,即,h→∞或h≠∞,因此似然率式(17)近似为自由度1的χ2分布.

表3给出不同模型之间的似然率和相应的统计检验.这里将不给出模型和相应延拓模型的似然率,如FV-SV和EFV-SV模型的似然率,因为本文主要是分析CEV模型检验,当然从表2中似然函数值可直接得出,常数均值模型可能是错误的.

表3 不同模型之间似然率LR估计值Table 1 Log-Likelihood ratio between the different models

从表3中的数据可得,当考虑常数均值时,无法区分CEV-SV模型和CIR-SV模型,但是有理由拒绝FV-SV和EBS-SV模型.这个结论和表2中的似然函数值相符.结合表2中的数据,事实上CIR–SV和CEV–SV模型弹性系数几乎是相同的,因此无法区分这两个模型.然而也发现它们之间还是有一些本质上的不同,基于CEV-SV模型,短期利率和随机波动率具有更少的持续现象,归因于高的回归速率α值.根据Fouque等[31]论述(见该书的第3章),具有高的回归速率值的标的物动态行为表现出更好的随机性,因此归咎于该原因,接受了CEV-SV的模型,而不是CIR-SV模型.

当考虑均值函数时,如果γ≥0.5,此时应选择EFV-SV模型;如果0＜γ＜0.5时,可接受EFVSV和ECEV-SV模型,而拒绝ECIR-SV和EBS-SV模型.事实上,从表2中的数据可得,对于ECEV-SV模型的弹性系数γ=0.076 0值接近零,因此它们的似然函数值也几乎相同.

4.2 均值函数的估计

根据表2的数据结果,为了简化说明,设ESV表示模型中均值为函数,而常数均值模型记做CSV.定义均方误差(RMSE)来判断拟合效果,即

根据式(13),可知基于ESV和CSV模型所得的RMSE值稍微有点不同.但从表2中可以看出来,引入均值函数明显地改变了模型的似然估计及参数估计值.

图3和图4分别给出了残差和相应的密度函数估计,这里应用MATLAB中的Ksdensity函数估计密度函数.

图3 残差估计Fig.3 Residual error estimate

图4 残差密度函数估计Fig.4 Residual density function estimation

从图3可看出,基于CSV模型所得残差绝对值几乎都高于ESV模型,这就表明引入均值函数确实提高了拟合的精度.观察图4,两个模型的残差都向右偏移,但是CSV模型偏移更加明显,同时也发现基于CSV模型最大残差值比ESV模型要小,这进一步说明对于CSV模型波动率可能高估了.因此有理由接受均值函数模型.

图5和图6分别表示拟合结果和相应均值函数θ/a的估计.

图5 比较估计结果Fig.5 Comparision of estimation results

图6 θ/a的估计结果Fig.6 The estimated results of θ/a

观察图5,虽然整体上ESV模型和CSV模型拟合效果没有明显的差别,但是在2000年～2002年和2006年～2008年之间,ESV模型比CSV模型拟合效果稍微好一点.因此引入θ(t)还是会改善拟合的效果.观察图6,θ(t)是递减函数,这个性质和Balduzzi等[32]结果是一样的4对于Balduzzi等[32]模型均值函数取期望可得dE[θt]=a(b-E[θt])dt,其中a,b分别表示回归速率和相应的均值.显然当初值θ0≥b时,Eθt是关于时间递减的函数.如果θ0＜b时,在Balduzzi等[32]模型中均值就有可能产生负的值.因此初值θ0≥b是均值大于零必要的条件.,因此有理由相信递减的趋势是正确的.从经济学角度上看,当时间越长时,短期利率变化不确定性越强,隐含着未来的短期利率波动越大,从而导致投资需要更多的风险补偿而不是更高的期望收益.

4.3 波动率估计

根据前面似然率测试结果,将考虑CIR-SV1,CEV-SV1,ECEV-SV1和ECEV-SV2模型的随机波动率估计,相应的预测估计通过式(7)和式(9)递归计算.

图7给出不同模型的波动率预测估计.从图形可看出,引入θ(t)将减少了波动率的估计值,归因于对式(13)估计所得残差较小.此外,在整体上随着时间增加波动率估计值也相应的增加,导致了短期利率未来的变化越不确定,因此投资者需要更大的风险补偿.

结合图1中Δr的图形,ECEV-SV2模型所得波动率更好地描述其增量的变化.观察图1中Δr变化可知,在2008年金融危机发生前后,短期利率增量出现大的变动,从而导致了在相应时间点上具有较高的波动率值.然而对于其它模型,高的波动率值发生在2012年左右.因此从这方面也说明了考虑ESV模型是有必要的.

5 零息债券和债券看涨期权定价

首先,考虑不同模型的债券价格定价公式,即到期日为T,债券价格P(0,T)为

相应债券P(0,T)到期时间为τ年,敲定价格为K的看涨期权为

虽然对FV-SV模型具有显示解的表达式,但是为了方便和比较,将使用蒙特卡洛方法对于不同模型估计式(19)和式(20)衍生品价格.为了减少方差偏误,应用对偶技巧方法模拟[34].考虑到文章篇幅问题,省略式(19)和式(20)的蒙特卡洛数值计算方法.事实上,该方法可以直接从文献[34]中获得.在数值计算过程中,抽取1000个样本点,债券价格到期日时间定在T=1,2,3,5,7,10年上.由于本文主要目的不是短期利率衍生品定价,因此为了简化,仅考虑到期日为10年的债券,以及相应的2年期的看涨期权.在所有的计算中设债券面值为100.考虑前面似然率测试,不考虑BS-SV和EBS-SV模型的衍生品定价.

图7 不同模型的波动率预测估计Fig.7 Volatility forecast estimates for different models

表4给出不同模型的债券价格.从表4中的数据可以看出,当考虑CSV模型时,所得债券价格几乎是等同的.然而引入均值函数,债券价格有明显的不同.此外对于ESV模型,所有模型对于债券价格影响都很小.这些现象主要归因于债券价格对于短期利率不是很敏感.如Dungey等[35]也说明了这种现象,而且他们也说明了引入跳对于一些短期利率不太敏感的衍生品其定价也是没有明显的不同.然而,比较CSV模型和ESV模型所得债券价格,显然其数值结果有着明显不同,从而说明均值函数在很大程度上改变了短期利率动态变化.

表5给出不同敲定价格的债券期权定价.观察表5中的数据,显然引入均值函数债券期权价格改变了非常大,同时也发现不同常系数模型所得的债券期权价格变化不大.然而基于均值函数的模型,它们之间还是有本质上的区别.如在敲定价格为80时,ECEV-SV1的价格为0.160 2而ECEV-SV2模型价格为零.因此均值函数将会改变对于比较敏感的衍生品价格.从而说明了引入均值函数不仅改善了似然率估计值,而且对于衍生品的价格也产生影响.

表4 不同模型的债券价格Table 4 Bond prices for different models

表5 不同模型的债券期权价格Table 5 Pricing bond option from the different model

6 结束语

本文构建了ECEV-SV模型,以至于一些经典的模型能够嵌入其中.基于3个月到期的短期利率数据,比较这些模型的拟合效果.实证结果表明了引入均值函数改善了似然率估计值,同时也减少了随机波动率的估计.即使在似然率测试下,一些模型没有明显的差异,然而ECEV-SV模型更好地解释随机波动率期限结构(见图7).此外,均值函数对利率衍生品的价格影响也比较大,特别是对利率比较敏感的衍生品价格均值函数的冲击更加显著.因此,作为将来研究方向,希望考虑基于截面数据对于均值函数的估计及它对于随机波动率的影响.