基于事前非对称信息的带保证金的保险契约模型

马本江,杜彦龙,周雄伟

(中南大学商学院,湖南长沙410083)

1 引 言

逆向选择问题一直备受国内外学者关注.所谓逆向选择,是指由于事前(签约前)非对称信息的存在,导致交易市场中劣质品驱逐优质品从而使市场资源配置扭曲的现象[1].保险市场中,签约前保险公司不知道投保人的风险类型,只能按照市场的平均风险程度确定保费,按这种方式确定的保费与对称信息情形相比,尽管低于高风险投保人的保费但高于低风险投保人的保费,导致保险市场愿意投保的都是高风险人群,低风险投保人退出参保,使保险公司面临亏损,这就是保险市场的逆向选择问题.

Akerlof[2]、Spence[3]以及Rothschild等[4]奠定了逆向选择研究的基础.其中Rothschild等关于保险市场中逆向选择问题的研究模型影响广泛,国外很多学者都是基于RS标准模型进行扩展研究.有些学者是针对RS标准模型中均衡契约可能不存在的问题进行研究:如Wilson[5]重新修订了RS标准模型中的均衡定义后指出保险市场可始终存在混同均衡,Miyazaki[6]、Spence[7]在Wilson的研究中增加了保险公司可提供保险菜单合约的假设后得到了存在交叉补贴的均衡契约.尽管文献[5—7]解决了标准模型中均衡契约可能不存在的问题,但他们同时也指出所得到的均衡契约均不能达到Pareto最优.随后,不少学者在逆向选择问题的研究中也得到了类似Wilson-Miyazaki研究中的均衡契约:如Asheim等[8]对保险市场均衡的分析中,引入投保人和保险公司可进行重新谈判的条件；Picard[9]对互助保单下的保险市场进行研究；Netzer[10]通过构建多阶段动态博弈模型对保险市场进行的分析,他们研究中得到的均衡契约也只能达到次优效率.此外,也有学者将免赔期、免赔额、试用期等变量引入RS标准模型,着重研究如何提高保险公司信息甄别效率,进而提高保险公司收益[11,12]；或者将RS标准模型由单阶段静态模型拓展到多阶段动态模型,通过重复博弈提高低风险投保人的效用,实现对静态模型的Pareto改进[13,14].以上学者主要是基于RS标准模型进行的研究,当然还有学者从较新的角度对逆向选择问题的解决机制进行了探索.Andrea等[15]提出以非排他性的竞争方式进行交易可以规避逆向选择,并且给出了均衡交易产生的充分条件；Blandin等[16]研究发现在共同组织提供保险的情形下,就会弱化逆向选择问题导致的市场失灵；Tirole[17]则指出公共干预可以减少逆向选择的影响；类似的,有些研究也表明政府干预有助于解决逆向选择问题并且提高市场交易效率[18,19].

国内学者对逆向选择问题的研究虽起步较晚,但也不乏有创新性的研究.金永红等[20]建议通过分离契约来规避风险投资市场中的逆向选择问题,从而提高风险投资市场交易效率；张欢[21]采用ASI方法验证社会保险中的逆向选择严重程度,证明逆向选择问题的存在会给保险市场带来较大经济损失；而朱曙光等[22]引入信号传递模型实现保险市场的分离定价,从而有效规避逆向选择；马本江[23,24]分别建立了带低赔期和免赔期的保险契约模型,引入新的信息甄别工具―低赔期和免赔期来进行投保人风险类型的甄别,有效地规避了逆向选择问题,达到了部分保险模型的Pareto改进.

由以上文献可以看出,关于逆向选择问题的研究主要集中在两个方面.其一是针对RS标准模型进行的扩展研究,这些研究有的着重解决RS标准模型均衡契约可能不存在的问题,有的是引入新的甄别工具或者将单阶段静态模型扩展为多期动态模型从而达到规避逆向选择的目的；其二是从新的视角来研究如何规避逆向选择问题.尽管各国学者针对逆向选择问题进行了较为深入的研究,但是由机制设计理论可知,非对称信息条件下任何基于非对称信息博弈(如委托代理理论)的逻辑设计的经济机制都不可能达到对称信息条件下的效率,而通过信息甄别工具的创新,保险契约仍将有较大的优化空间.本文同样基于RS标准模型进行扩展研究,旨在通过信息甄别工具的创新,帮助保险公司更有效的甄别投保人的类型,从而达到提高保险市场交易福利的目的.

2 部分保险基本模型

本文选取只存在高、低风险两种类型投保人的情形对部分保险基本模型进行阐述.两种风险类型投保人均面临着不发生风险(收入为x1)和发生风险(收入为x2(x1＞x2))两种自然状态；高风险类型投保人在保险期T内发生风险的概率大于低风险类型投保人发生风险的概率(1＞pH＞pL＞0)；投保人均为严格风险规避型,其效用函数为ui(x)(u′i(x)＞0,u′′i(x)＜0),i=H,L；此外,保险公司为风险中性并且处于充分竞争的市场中,均衡时其期望收益为零.

2.1 对称信息条件下的均衡分析

对称信息条件下,保险公司根据投保人发生风险的概率提供相应的保险契约(ki,Δx),k和Δx分别表示投保人购买保险契约时所交保费和发生风险时保险公司给予投保人的赔付额.为求得最优时保险契约参数,建立使投保人效用最大化的最优化模型

优化模型(1)表示高风险投保人或低风险投保人的期望效用.约束条件(2)表示保险公司的参与约束,它确保保险公司利润非负.均衡时保险公司提供保险契约的期望收益为零,即(1-pi)ki+pi(ki-Δx)=0,保险模型求解后得Δx∗=x1-x2,=pi(x1-x2),x1-ki=x2-ki+Δx∗,i=H,L.由此可以得出结论:对称信息条件下高、低风险类型投保人均能得到完全保险,保险契约可以实现Pareto最优.

2.2 非对称信息条件下的均衡分析

对称信息条件下,保险公司根据投保人发生风险的概率分别为高、低风险类型投保人提供完全保险契约和,投保人均能得到完全保险；而在非对称信息条件下保险公司不能识别投保人风险类型,如继续提供以上两种保险契约,势必会吸引高风险投保人去购买保险契约,从而给保险公司造成经济损失.因此,保险公司需要提供具有自选择约束特征的保险契约,即针对不同类型投保人制定不同的保费和赔付额,使投保人自发选择与自己风险类型匹配的保险契约并依此推测投保人风险类型,达到规避逆向选择问题的目的.假设非对称信息条件下保险公司提供两种保险契约,为求得最优时保险契约参数,建立使低风险类型投保人效用最大化的最优化模型[24]

优化模型(4)是低风险投保人购买保险契约(k,Δ)时的效用所得；约束条件(5)表示高风险类型投保人的激励相容约束,它确保高风险类型投保人不会伪装成低风险类型投保人购买保险契约(k,Δ),式(5)左侧为高风险类型投保人购买保险契约(k,Δ)时的效用所得,式(5)右侧,为高风险类型投保人购买完全保险契约时的效用所得；约束条件(6)表示保险公司的参与约束,它确保保险公司利润非负.由于保险市场是充分竞争的,均衡时保险公司提供保险契约的期望收益为零,即(1-pL)k+pL(k-Δ)=0.

假定保险契约能够产生分离均衡,可以得出高风险类型投保人被完全保险,而低风险类型投保人只能被部分保险的结论[4].由于低风险类型投保人选择部分保险契约(k,Δ)的效用严格小于选择完全保险契约的效用,因而非对称信息条件下,为了甄别出不同投保人风险类型,牺牲了低风险类型投保人的部分效用.

3 事前非对称信息条件下带保证金的保险契约模型:两种风险类型

非对称信息条件下的保险市场中,Pareto最优保险契约不可能实现[4],即保险契约只有更好没有最好.为了进一步降低逆向选择问题的影响,本文建立了事前非对称信息条件下带保证金的保险契约,提出将保证金作为信息甄别工具对投保人的风险类型进行信息甄别.

3.1 模型假设

首先,同样选取只存在高、低风险两种类型投保人的情形对带保证金的保险契约模型进行阐述1其它基本假设同第2节.保险公司依然为潜在高风险类型投保人提供完全保险契约(只要均衡存在,高风险类型投保人均可以得到完全保险[4])；同时为潜在低风险类型投保人提供带保证金的保险契约.契约规定:购买带保证金的保险契约时不仅需要交纳保费,还需要交纳数量为H的保证金；规定保险期内时间t为风险保证期,若投保人在风险保证期t内发生风险,保险公司不予以任何补偿并且不返还保证金；若投保人保险期在[t,T]内发生风险,则给予投保人Δ的赔偿并且不仅退还保证金还需给予投保人数量H的奖励金；若投保人整个保险期内未发生风险,同样也给予投保人数量为H的奖励金.

高、低风险类型投保人发生风险的概率密度函数分别用fH(x)和fL(x)表示,在时间t内发生风险的概率分别为pH(t)和pL(t),；由于高风险类型投保人购买带有保证金的保险契约后在风险保证期内发生风险的概率较大,更有可能获得一个较低的效用,即风险越高的投保人越害怕风险保证期的存在,这就是带保证金保险契约的斯彭斯—莫里斯条件.

3.2 模型建立

同样,建立使低风险类型投保人效用最大化的保险契约模型L1

当保险契约规定的风险保证期t=0时,所建模型化为

定理1带保证金保险契约模型给低风险类型投保人带来的期望效用不低于部分保险契约模型所带来的效用,即.

4 事前非对称信息条件下带保证金的保险契约模型:三种及以上风险类型

前面对仅存在两种风险类型投保人的带保证金保险契约进行了分析,通过构建低风险类型投保人效用最大化模型,得出了所建模型不劣于部分保险契约模型的结论.下面给出保险市场一般情形下的模型分析―即存在n种风险类型投保人的情形.首先讨论保险市场中存在三种风险类型投保人的情形,进而将相关分析方法推广到保险市场存在n种风险类型投保人的情形.

用f1(x)、f2(x)和f3(x)表示三种风险类型投保人发生风险的概率密度函数,时间t内发生风险的概率为,i=1,2,3,且对于t＞0,有p1(t)＞p2(t)＞p3(t)；保险契约仍规定保险期为T；投保人效用函数为；对称信息条件下,保险公司为三种风险类型投保人分别提供完全保险契约,记为Ai,投保人均可以获得完全保险,效用所得用表示；投保人彼此之间存在传统部分保险分离均衡契约,第i个投保人的部分保险契约为,记为Bi,此契约下投保人的效用所得为保险契约B1等同于A1(只要均衡存在,高风险类型投保人均可以得到完全保险[4]).

与保险市场中仅存在两种风险类型投保人情形下的分析类似,保险公司同样采用信息甄别的机制设计方法,为市场存在的三种风险类型投保人分别提供保险契约依次记为C1,C2,C3,并且为了使投保人自发选择与自己风险类型相匹配的保险契约需要考虑投保人的激励相容约束,即需要保证次低风险类型投保人不去购买保险契约C3、高风险类型投保人不去购买C2,C3,于是对于保险契约C2只须有一个激励相容约束,由此建立如下模型

对于保险契约C3须有两个激励相容约束,由此建立如下模型

有下列结论.

定理2对于第i种风险类型投保人来说,最优带保证金保险契约Ci不比传统部分保险契约Bi差,即

这里对只存在两种风险类型投保人的模型进行证明,风险类型三种以及以上的模型证明可由简单模型的证明同理推出.

而两种香料之所以用数字030与719命名，却不以英文或汉字命名，是因为美国人要严守化学结构的“秘密”，生怕泄露了蛛丝马迹，被中国学了去。以那个年代的经验与设备，研制出030和719这样的关键香料很难。但孙宝国做到了。中国对于两种香料多年的采购经历让他明白了一个道理，落后不仅会挨打，也会挨宰。所以，中国必须要有属于自己的030与719！

定理3最优时带保证金的保险契约带来的期望效用严格大于部分保险契约的充分条件是

定理3证明见附录

5 算例

本文采用算例的形式来证实最优时带保证金的保险契约模型严格优于部分保险部分契约模型.假设投保人均面临着不发生风险和发生风险两种自然状态:不发生风险时收入为2,发生风险时收入为1.高、低风险类型投保人发生风险的概率分别服从参数为0.5和1的指数分布,其效用函数分别为uH(x)=10 000(1-)和uL(x)=10 000(1-e-x)；此外,保险契约规定保险期T=0.7.

经计算,算例满足定理给出的充分条件为

所以最优时带保证金的保险契约带来的期望效用严格大于部分保险契约模型.具体运算结果见表1.

带保证金的保险契约模型解

表1 保证金保险模型的最优结果Table 1 The optimal result of the deposit insurance model

这里不仅采用相同算例对部分保险契约模型求解,同时为了对比所建保险契约模型与已有的几种典型保险契约,在相同算例情形下也计算出带免赔期、低赔期的保险契约模型(见参考文献[23,24])取得最优时的函数效用值.最优时带保证金保险契约模型与部分保险契约模型、带低赔期的保险契约模型、带免赔期的保险契约模型以及完全保险契约模型效用值的横向对比如下表.

表2 各种保险模型之间的效用比较Table 2 Utility comparisons between various insurance models

观察表2中数据可知,最优时带保证金的保险契约给低风险类型投保人带来的效用明显高于部分保险契约模型,同时也优于带低赔期和免赔期的保险契约模型.由上文可知,只有在对称信息条件下才能达到高、低风险投保人的完全保险契约,此时高、低风险投保人得到的效用最优.但是由于保险市场中非对称信息的存在,只有高风险投保人能够得到完全保险契约,而低风险投保人只能得到部分保险契约,完全保险契约在实践中不能同时在高、低风险投保人那里得到实施.本文所建立的带有保证金的保险契约在保证高风险投保人得到完全保险契约的基础上,能给低风险投保人带来比其他已有保险契约更高的效用值,就说明本文所建的模型能达到已有保险契约模型的严格Pareto改进.虽然所建模型对于其他类型保险契约模型效用改进值较小,但是在购买保险者数量较多时,带保证金的保险契约模型将给社会带来巨大的福利增量.

6 结束语

随着中国保险市场的蓬勃发展,研究逆向选择条件下更有效率的保险契约具有较大的实践应用价值.尽管有关学者对逆向选择问题提出了诸多建设性的解决方案,但是由机制设计理论可知,非对称信息条件下任何保险契约都不可能达到Pareto最优,都具有被改进的空间.本文通过合理使用保证金、风险保证期、奖励金等工具实现了对各种既有逆向选择模型的严格Pareto改进.算例分析表明,所建模型从理论上更好地解决了保险市场中的逆向选择问题,进一步提高了保险市场交易效率,可用于指导保险公司开发新的保险服务产品.

最后需要指出的是,本文研究的是保险市场纯逆向选择模型,而现实中逆向选择与道德风险常常会同时出现,但道德风险问题本文没有考虑,未来的研究可以把本文模型推广到逆向选择与道德风险同时发生的混合情形；本文研究的是单期静态模型,后续的研究可以把本文模型推广到多期动态情形.