考虑定额佣金的一口价拍卖模型

冉茂盛,黄 俊,蒋卫艳

(1.重庆大学经济与工商管理学院,重庆400030; 2.香港理工大学建筑及房地产学系,中国香港999077)

考虑定额佣金的一口价拍卖模型

冉茂盛1,黄 俊1,蒋卫艳2

(1.重庆大学经济与工商管理学院,重庆400030; 2.香港理工大学建筑及房地产学系,中国香港999077)

卖方将拍品委托给拍卖行进行拍卖时,拍卖行通常向获胜者收取一个定额的佣金,基于这种情况,建立了考虑定额佣金的一口价拍卖模型.运用博弈理论,首先分析了投标者的均衡策略,然后研究了卖方的最优保留价和最优一口价,最后研究了拍卖行收取的最优定额佣金.研究发现,与不考虑佣金收取的模型不同,在考虑佣金收取的模型中,投标者选择一口价的概率为正,即卖方在拍卖中设置一口价可以提高其收益,且卖方的最优保留价大于不设置一口价的模型中的最优保留价;拍卖行收取的最优定额佣金小于不设置一口价的模型中的最优定额佣金.

独立私人价值;定额佣金;保留价;一口价

1 引 言

拍卖在人类社会中的应用已有数千年历史,是一种有效的价格发现和资源配置机制,拍卖相关的理论研究始于半个多世纪前Vickrey[1]的开创性论文.进入新世纪以来,随着网上拍卖的兴起,在各主要拍卖网站上出现了一种结合拍卖和标价出售特征的混合机制,即一口价拍卖.此时,任何投标者都有权选择结束拍卖并按卖方设置的一口价获得拍品.根据一口价的不同性质,Mathews等[2]将其分为持久一口价和临时一口价两种形式.持久一口价中的一口价选项在整个拍卖期间一直存在,而临时一口价中一口价选项在拍卖结束之前失效.在拍卖实践中,持久一口价方式被杨兴丽等[3]采用,临时一口价方式主要被苏富比和eBay等拍卖公司采用.

Lucking–Reiley[4]最早注意到一口价在现实中的应用,之后相关理论研究大量出现.期望收益比较是拍卖研究的重要内容,根据比较对象的不同,可将现有文献分为两类.一类文献研究不同类型一口价之间的期望收益比较问题,主要比较临时一口价拍卖和永久一口价拍卖的期望收益.Zoltan等[5]对传统和受限两种不同策略下一口价拍卖买方收益进行了比较.Reynolds等[6]在投标者风险厌恶的前提下,比较了临时一口价模型和持久一口价模型的期望收益.在国内的文献中,田剑等[7]基于组合拍卖规则,比较了固定一口价和持久一口价的卖方期望收益.

另一类文献主要比较一口价拍卖和标准拍卖的期望收益,即研究一口价成因问题.传统理论认为拍卖给卖方带来的收益大于标价出售机制[8]的收益,从而卖方无需设置一口价选项,这与现实中一口价拍卖的流行相矛盾.为此,越来越多的文献开始研究拍卖中一口价存在的原因.现有文献大致将卖方设置一口价的动因归为五类:1)投标者或卖方的风险规避.基于投标者风险规避的前提,Budish[9]和Ivanova–Stenzel等[10]发现,在拍卖中设置一口价选项可以提高卖方期望收益.而Mathews等[2]则证明了卖方风险规避前提下卖方设置一口价的必要性.2)投标者的交易成本.Wang等[11]发现,如果投标者参与拍卖会产生固定的交易成本,那么卖方会从设置一口价中获益.3)投标者或卖方的无耐心.Mathews[12]构建了投标者或卖方无耐心的临时一口价拍卖模型,发现当卖方或买方中的一方耐心而另一方不耐心时,设置一口价可以提高卖方期望收益.4)卖方间的竞争且投标者有多个物品需求.Kirkegaard等[13]和Anwar等[14]发现,在有多个竞争性卖方的多物品拍卖中,卖方会因设置一口价而获益.5)锚定效应.Shunda[15]发现如果投标者的出价具有关于保留价和一口价的锚定效应,那么卖方有激励设置一口价选项.若不考虑以上五种因素,追求自身收益最大化的卖方不能通过设置一口价选项来提高其期望收益,因而不会设置一口价.

除以上五个因素外[2,9-15],现有文献中未见其它一口价存在动因的研究.而在现实中,除了卖方和投标者这两个主体外,拍卖中的第三方主体—拍卖行(又称代理商)往往会对拍卖结果产生影响.拍卖行通常按定额或成交价一定比例向获胜的投标者收取佣金.关于按成交价一定比例收取佣金的研究较多,王彦等[16]首先把佣金率引入了一级和二级价格密封拍卖中进行分析.在此基础上,刘树林等[17]和王明喜等[18]进一步研究了拍卖中保留价和佣金率的设置问题.尽管现实中同样普遍存在按定额收取佣金的情形,例如拍卖网站的注册费和陈列费[19]、房屋中介费等,但相关的理论研究较为缺乏.通过将定额佣金引入到一口价拍卖中,本文证实了在拍卖中卖方设置一口价的必要性,即一口价的存在可以提高其期望收益.于是,除上面涉及的五个动因外[2,9-15],拍卖行的存在及其收取固定佣金的行为是卖方在拍卖中设置一口价的可能原因,从而进一步扩展了拍卖中一口价存在动因的理论研究.与Wang等[11]的固定交易成本动因不同,拍卖行仅对获胜者收取定额佣金,而未获得物品的投标者不需要支付,且定额佣金转化为了拍卖行的收益,故而可以进行内生化,且对定额佣金的分析扩展了现有的佣金拍卖理论[16-18].新拍卖机制对拍卖实践的指导主要体现在两方面.一方面,从卖方的角度,对于需要通过拍卖行进行的拍卖,由于卖方设置一口价可以提高其期望收益,故现实中的卖方应该采用一口价拍卖机制.另一方面,从拍卖行的角度,通过将定额佣金内生化,给出了拍卖行应向卖方收取的最优定额佣金,从而为现实中拍卖行(或拍卖中介)收取定额佣金的决策提供建议.以拍卖网站为例,拍卖网站可以据此决定向卖方收取的拍卖陈列费的数额.

为此本文构建了考虑定额佣金和保留价的一口价拍卖模型,研究了投标者、卖方和拍卖行三方的均衡策略,并特别在给定卖方策略的前提下,对拍卖行的定额佣金进行了内生化.

2 考虑定额佣金的一口价拍卖模型

假定唯一卖方通过一口价拍卖出售一个不可分割的物品,有n个风险中性的投标者,投标者i对拍品的估价vi为私人信息.每个投标者的估价在区间[vL,vH]上独立同分布,其分布函数F(·)及相应密度函数f(·)在(vL,vH)上连续可微且为正.假定(1-F(v))/f(v)在区间[vL,vH]上关于v单调递减.在拍卖阶段,拍卖行向获胜的投标者收取的定额佣金为c.

考虑定额佣金的一口价拍卖包括如下三个阶段:

1)给定拍卖行收取的佣金为c,卖方设置保留价r和一口价B*;或者给定卖方保留价r和一口价B*,拍卖行设置佣金水平c;

2)基于保留价r,一口价B*和佣金c,所有投标者同时独立的决定是否执行一口价选项.选择一口价的投标者获得物品,并支付一口价B*,如果有多个投标者选择一口价,则卖方通过随机方式决定物品所有者;

3)若没有投标者选择一口价选项,则卖方通过二级价格密封拍卖出售物品.物品由出价最高的投标者获得,其支付为成交价加上佣金c.

容易看出,当有投标者选择一口价时,一口价拍卖在第二阶段后结束;当没有投标者选择一口价时,一口价拍卖在第三阶段后结束.该机制与文献[2]中的机制类似,苏富比和eBay等也运用了类似的机制进行拍卖.需要注意的是,由于第二阶段的一口价与传统标价出售方式类似,组织成本较低且对专业性要求不高,故拍卖行对一口价不收取佣金.在第三阶段的二级价格密封拍卖中,由于对专业性的要求和组织成本较高,卖方需要聘请拍卖行举行拍卖,因此拍卖行仅在第三阶段收取佣金.

对于投标者而言,若未获得物品,则其收益为零;若获得物品,则其收益为估价与实际支付(包括对卖方和对拍卖行的支付)之差.如果在第二阶段投标者选择一口价选项,那么具有私人价值v的获胜投标者收益为v-B*.用b(v)表示具有私人价值v的投标者在第三阶段的Bayes-Nash均衡投标策略,显然b(v)≥r.如果投标者不选择一口价,则在拍卖中获胜的投标者收益为v-b(y)-c,其中y表示次高投标所对应的投标者私人价值.令≡c+r,表示参与第三阶段拍卖的投标者所应具有的最低私人价值.私人价值v小于的投标者参与第三阶段的拍卖收益为负,故b(v)=0对所有成立.此时,只有私人价值v大于等于的投标者才有激励参与拍卖.易知,随着佣金c和保留价r的增大而增大.由于本文主要研究临时一口价拍卖,为保证第三阶段拍卖发生的可能性,假设一口价B*≥,否则一口价拍卖退化为传统的标价出售.若c=0,则考虑佣金的一口价拍卖模型退化为文献[2]中的传统一口价拍卖模型.

由于一口价拍卖的参与者基于自身期望收益最大化进行决策,故可采用逆向递推法,首先分析第二、三阶段投标者的均衡投标策略,然后分析第一阶段卖方的保留价和一口价设置策略或拍卖行的佣金设置策略.

在一口价拍卖模型中,投标者的目标为在给定r,B*和c的前提下,选择合适的策略以最大化其期望收益.一个完整的投标者策略包括如下三个部分:1)投标者决定是否参与带佣金和保留价的一口价拍卖;2)投标者决定是否选择一口价选项;3)若不选择一口价,投标者设置在第三阶段拍卖中的投标策略.

为分析投标者的策略,定义B(v,r,c)为使具有私人价值v的投标者对是否选择一口价无差异的一口价水平[3].定义使得成立;若对所有v∈[vL,vH],有B(v,r,c)＜B*成立,则定义=vH.实际上,投标者是否选择一口价取决于私人价值v与的大小关系.根据假定B*≥,下面给出投标者的均衡策略.

定理1在考虑定额佣金的一口价拍卖中,存在一个对称且唯一的Bayes-Nash均衡策略.当且仅当B*＜B(vi,r,c)时,具有私人价值vi的投标者i选择一口价,其中

否则,投标者i不选择一口价,其在第三阶段中的投标策略为b(vi)=vi-c,其中

定理1的证明见附录A1.

实际上,B(v,r,c)表示具有私人价值v的投标者所能接受的最高一口价水平.当卖方设置的一口价B*＜B(v,r,c)时,投标者选择一口价;当卖方设置的一口价B*≥B(v,r,c)时,投标者不选择一口价.而由第二阶段策略可知,给定的前提,如果私人价值v≥,那么投标者参与一口价拍卖;否则,投标者不参与一口价拍卖.将v=v代入式(1),可得初始条件再定义若卖方设置的一口价B*＞B(vH,r,c),则没有任何投标者选择一口价.如果给定的前提,那么第三阶段的拍卖不会发生,进一步的,若私人价值v≥B*,则投标者选择一口价选项;否则,投标者不参与一口价拍卖.图1描述了考虑定额佣金的一口价拍卖中投标者的决策过程.

图1 考虑定额佣金的一口价拍卖中投标者的决策过程Fig.1 The decision-making process for bidders in auction with buyout price and fxed commission

此外,根据式(1)可得下面的结论.

推论1在考虑定额佣金的一口价拍卖中,B(v,r,c)关于私人价值v,保留价r和佣金c单调递增;投标者第三阶段投标策略b(v)关于佣金c单调递减.

推论1的证明见附录A2.

由推论1可以看出:投标者的私人价值越大,其能接受的一口价水平越高,因而更倾向于选择一口价;卖方设定的保留价越高,第三阶段的拍卖对投标者的吸引力越低,投标者能接受的一口价水平越高,因而越倾向于选择一口价;拍卖行设定的佣金越高,投标者越倾向于选择一口价.

3 卖方的最优一口价与最优保留价

在给定拍卖行佣金c的前提下,基于投标者的均衡投标策略,卖方的目标为选择合适的保留价r和一口价B*以最大化期望收益.假定物品对卖方而言没有保留价值,根据定理1的结论和,可得一口价拍卖中卖方的期望收益,即

其中g(x)=nFn-1(x)f(x)为最高私人价值x的密度函数;h(y|x)=((n-1)Fn-2(y)f(y))/Fn-1(x)为最高私人价值为x的前提下,次高私人价值y的条件密度函数.

式(2)中等号右侧第一项表示投标者未选择一口价而参与第三阶段拍卖时卖方的期望收益,第二项表示投标者选择一口价时卖方的期望收益.将式(2)重新整理,得

定理2在考虑定额佣金的一口价拍卖中,给定由定理1所确定的投标者的均衡策略和拍卖行设定的佣金c,卖方为使自身期望收益最大化而设置的最优保留价r唯一且满足r＞ra,其中ra表示不设置一口价时卖方的最优保留价水平;卖方设置的最优一口价因此,在考虑佣金收取的模型中,一口价有正的概率被投标者所选择.

定理2的证明见附录A3.

于是,卖方的最优保留价和最优一口价由式(A.6)和式(A.9)均为零时组成的方程组所确定.由定理2可以看出,佣金的存在增加了一口价相对于拍卖的吸引力,使得卖方在拍卖中可以设置更高的保留价水平,同时使得投标者更倾向于选择一口价,此时的一口价低于具有私人价值vH的投标者所能接受的最高一口价水平.因此,为提高期望收益,卖方有激励在拍卖中增加一口价选项.根据推论1,B(v,r,c)关于v单调递增,故定理2中的B*＜B(vH,r,c)意味着私人价值的投标者会选择一口价.此时,一口价被选择的概率等于n个投标者中至少有一个投标者私人价值大于的概率,为.显然,对于,有

特别地,当c=0时,模型退化为Mathews等[2]定理1中的传统一口价拍卖模型,由其定理1可以得到B*≥B(vH,r,c).于是,在不考虑佣金的一口价拍卖中,投标者不会选择一口价选项,且此时的一口价水平较考虑定额佣金的模型要高.也就是说,若不考虑佣金收取,卖方设置一口价不会提高其在拍卖中的期望收益,故卖方没有激励设置一口价.

4 拍卖行的最优定额佣金

在给定卖方保留价r和一口价B*的前提下,基于投标者的均衡投标策略,拍卖行的目标为选择合适的佣金c以最大化期望收益.根据第2节假设,拍卖行仅对第三阶段的拍卖收取佣金,而不对一口价收取佣金.于是,拍卖行的期望收益为

其中g(x)和h(y|x)的含义同上.

式(4)可重新整理为

下面给出一口价拍卖中拍卖行的佣金策略.

定理3在考虑定额佣金的一口价拍卖中,给定由定理1所确定的投标者的均衡策略和卖方设定的保留价r和一口价B*,拍卖行使自身期望收益最大化而设置的最优定额佣金满足c＜ca,其中ca表示不设置一口价时拍卖行的最优佣金水平.

定理3的证明见附录A4.

于是,拍卖行的最优定额佣金由式(A.11)为零时的方程所确定.定理3显示:若卖方在拍卖中设置一口价选项,则拍卖行会收取较低的佣金.在不考虑一口价的模型中,最优定额佣金取决于以下三种效应:1)提高佣金可以增加拍卖行的事后收益,为正效应;2)提高佣金使参与拍卖的“门槛”更高,佣金越高参与一口价拍卖所要求的私人价值越高,这减少了投标人的数量,为负效应;3)提高佣金使得投标人的报价策略更为保守,为负效应.而在本文模型中,除上述效应外,由于增加了一口价选项,若拍卖行提高佣金,则对投标者而言第三阶段拍卖相对于一口价的吸引力下降,故为负效应.这一效应的存在使得理性的拍卖行设置的定额佣金低于不考虑一口价的模型中的最优佣金.

进一步,当c=0时,由式(A.10)可得

这意味着,追求收益最大化的拍卖行设置的佣金c＞0.

当c≥B*-r时,有B*≤c+r,故投标者不会选择第三阶段的拍卖,此时拍卖行的期望收益为零;当c=B*-r时,有B*=c+r,由边界条件及B(v,r,c)关于v单调递减,可得此时于是,由式(A.11)和(A.13)可得

这意味着,在给定卖方保留价r和一口价B*的前提下,追求收益最大化的拍卖行设置的佣金c＜B*-r,此时B*＞c+r.

5 数值算例

在给定c的前提下,根据式(3),可得卖方的期望收益

当c=0.1时,由式(8)和可得或=1.558 3,r=0.45,= 0.55(根据二阶条件,舍去).进一步,由式(6)可得B*=0.575 1.由于故B*＜B(1,0.45,0.1)=0.651 3,与定理2结论相符.同时,在不考虑一口价的模型中,当c=0.1时,根据式(A.6)计算可得ra=0.4.显然,有r＞ra成立,这也与定理2结论相符.给定c在区间[0,0.25]上,图2描述了带佣金的一口价拍卖中卖方设置的最优一口价及相应的B(vH,r,c);而图3描述了带佣金的一口价拍卖中卖方设置的保留价r与带佣金的传统拍卖中卖方设置的保留价ra.

如果给定r和B*,根据式(4),可得拍卖行的期望收益

为最大化拍卖行的期望收益,令RH(c)关于c的一阶导数为0,有

给定r=0.4和B*=0.6,则由式(6)可得及.将上述数值代入式(10),可得c=0.097 6.进一步的,可得和v=0.497 9.而在不考虑一口价的模型中,当r=0.4时,根据式(A.11)计算可得ca=0.325 9.显然,有c＜ca成立,与定理3的结论相符.

图2 定额佣金模型中的B*及B(vH,r,c)Fig.2 B*and B(vH,r,c)in fxed commission model

图3 定额佣金模型的r和传统模型的raFig.3 r in fxed commission model and rain conventional model

6 结束语

本文将定额佣金和一口价引入独立私人价值拍卖模型中,研究了投标者、卖方和拍卖行三方参与者之间的博弈行为.根据期望收益最大化目标,推出了投标人的Bayes-Nash均衡投标策略,并分析了投标者所能接受的最高一口价水平关于私人价值、保留价和定额佣金的单调性.然后,在给定佣金的前提下,研究了卖方最优保留价和最优一口价的决定.此时卖方设置的保留价大于不考虑一口价的拍卖中的最优保留价,而卖方设置的一口价低于私人价值为vH的投标者所能接受的最高一口价水平.不同于现有文献从风险规避[2,9]、交易成本[11]、参与者耐心[12]、多物品需求[13,14]和锚定效应[15]等五个方面对一口价存在动因的解释,本文发现拍卖中介的存在使得理性的卖方通过引入一口价选项可以提高在拍卖中的期望收益,即拍卖行收取佣金是一口价存在的重要动因.最后,在给定保留价和一口价的前提下,将定额佣金内生化,分析了拍卖行最优定额佣金的决定,此时拍卖行设置的佣金小于不考虑一口价情形下的最优佣金.

出于简化分析的需要,本文只分析了B*＞c+r情形下的模型,实际上卖方也可设置B*≤c+r,但此时第三阶段拍卖不可能发生.若将此情形纳入分析,最终结果取决于能实现较大期望收益的一口价.本文对卖方或拍卖行行为的分析是基于另一方的行为是外生给定的前提下,后续的研究可以考虑建立一个动态博弈模型.例如,研究卖方、拍卖行和投标者依次决策的考虑定额佣金的一口价拍卖模型.此外,还可以考虑将研究由单属性情形扩展到多属性情形[20].

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附录A1 定理1的证明

考虑给定保留价r、一口价B*和佣金c前提下,具有私人价值vi的投标者i的投标策略.假定其他(n-1)个投标者采用定理1中的策略,且在私人价值大于时投标者才会选择一口价选项.再根据式(1)和定义满足因此,只需证投标者i同样按照定理1中的策略进行投标.

然后证第二阶段的一口价策略.具有私人价值vi的投标者i不选择一口价时的期望收益为

其中式(A.1)第一个等号右侧第一项为其他(n-1)个投标者的私人价值均小于时投标者的期望收益;第二项为其他(n-1)个投标者中最大私人价值大于时投标者i的期望收益.

投标者i选择一口价时的期望收益为(vi-B*)与获得物品概率的乘积,即

其中上式最后一行由二项式定理可得.

重新整理,可得

由式(1)知B(v,r,c)=v-n(1-F(v))/(1-Fn(v)),结合式(A.3)可得,即投标者i采用跟其他(n-1)个投标者相同的策略.

证毕.

附录A2推论1的证明

由式(A.4),可以直接得到B(v,r,c)关于v单调递增.

证毕.

附录A3 定理2的证明

先看不设置一口价的拍卖中卖方的最优保留价水平ra.此时,卖方的期望收益为

上式关于r求一阶导数,有

于是,最优保留价ra满足

其中va=c+ra.

再看设置一口价的拍卖中卖方的最优保留价水平r.由式(3),关于r求一阶偏导数,得

因此,由式(A.7)可得r＞ra.

与Mathews等[2]定理2方法类似,欲证只要证由式(A.9),有

证毕.

附录A4 定理3的证明

先看不设置一口价的拍卖中拍卖行的最优佣金水平ca.此时,拍卖行的期望收益为

上式关于c求一阶导数,有

于是,最优佣金水平ca满足

其中va=ca+r.

再看设置一口价的拍卖中拍卖行的最优佣金水平c.由式(5),关于c求一阶导数,有

Auctions with buyout price and fxed commission

Ran Maosheng1,Huang Jun1,Jiang Weiyan2
(1.School of Economics and Business Administration,Chongqing University,Chongqing 400030,China; 2.Department of Building and Real Estate,The Hongkong Polytechnic University,Hong Kong 999077,China)

When a seller auction items entrusted to the auction house,the auction house will take some fxed commission from the winner of the auction.Based on such situation,an auction model with buyout price and fxed commission is established.By the method of game theory,the bidders’equilibrium bidding strategies are analysed.From the seller’s perspective,the optimal reserve price and the optimal buyout price are studied. From the auction house’s perspective,the optimal fxed commission is obtained.The results show that different from the model without regart to commission charge the probability of which the bidders choose buyout price is positive in the model with regard to the commission charge,namly,to set the buyout price in auction the seller can improve his income.Moreover,the seller’s optimal reserve price is higher,and the optimal fxed commission is lower than that in the model without seting buyout price.

independent private values;fxed commission;reserve price;buyout price

F016

A

1000-5781(2016)06-0750-11

10.13383/j.cnki.jse.2016.06.004

冉茂盛(1963—),男,重庆云阳人,博士,教授,研究方向:拍卖理论,金融经济,投融资理论,Email:ranmaosheng@cqu.edu.cn;

黄 俊(1987—),男,江苏盐城人,博士生,研究方向:拍卖理论,最优机制设计,Email:huangjun@cqu.edu.cn;

蒋卫艳(1980—),女,江苏盐城人,博士生,研究方向:可持续建设管理,拍卖理论,Email:weiyan.jiang@gmial.com.

2015-08-26;

2015-12-14.

国家自然科学基金资助项目(70701040;71071171).