基于多项式分布滞后模型的上海市地面沉降验证与预测

曹伟伟, 李明广, 史玉金, 夏小和

(1.上海交通大学 船舶海洋与建筑工程学院 土木工程系， 上海 200240； 2.上海市地质调查研究院， 上海 200072)

上海市位于长三角洲，地下水资源丰富，自20世纪60年代便开始地下水资源开采活动[1]，引起了严重的地面沉降现象[2]。90年代左右城市建设加速，市政工程、房屋建筑增加的同时地面沉降由于地下水的大量开采也加速发展，这对城市安全造成了严重威胁。因此，对地面沉降的监控与预测尤为重要，其不仅可作为地下工程建设的参照，也可为调整地下水开采格局提供参考。

目前有很多针对地面沉降预测模型的研究，主要包括确定性模型、随机统计模型和人工智能模型等[3]。其中，随机统计模型依赖于长期监测数据，与渗流模型、土体变形模型等确定性模型相比虽然无法解释水土作用机理，但模型简单、计算简便，适用于宏观地面沉降预测。常见的随机统计模型包括回归模型、生命回旋模型、时间序列模型等。范珊珊[4]、王淼[5]、潘云[6]等运用线性回归法分别对北京和天津进行了地面沉降预测，结果表明采用累计量进行预测时能够达到较为精确的预测效果。刘毅[7]采用泊松回旋法从定性定量两个角度对上海市地面沉降进行了预测并验证了方法的可行性。但由于含水层砂土蠕变[8]和弱透水层释水缓慢[9]等原因，地面沉降与抽灌水量、地下水位等均存在一定的滞后关系，上述方法没有考虑滞后效应对预测结果的影响。郇小龙[10]、吴蓉[11]、冯羽[12]等分别建立了自回归分布滞后模型、Preisach滞后模型和阿尔蒙预测模型，验证了模型预测地面沉降的精度。凌胜任也采用了Logistics模型[13]和PDL模型[14]对某地区进行了预测，预测结果也较为理想。

上海市具有大量长期地面沉降和水位监测的数据，但目前考虑上海市地面沉降诱因及滞后效应的随机统计预测模型应用较少，因此本文在分析上海市地面沉降、地下水开采量和土体变形的基础上，考虑滞后效应建立了相应的PDL模型并验证了模型的适用性，且对未来上海市地面沉降作出了相关预测。

1 地下水开采下上海市地面沉降滞后现象分析

20世纪70年代以后上海市进行了开采格局的调整，目标采水层由第2，3含水层向第4，5含水层转移，一定程度上减轻了地面沉降。但由于90年代城市建设加速，大量地下水被开采导致地面沉降加速。如图1所示，为地面沉降与地下水开采量之间的关系。

从图1可以看出，年地面沉降值的波动现象较明显，且在1995年之前年地面沉降与年抽水量的变化趋势一致。1994年年抽水量达到峰值，但地面沉降的峰值却在1997年达到，且后一个地面沉降的极值点同样比抽水量极值点滞后了5 a左右，此时第4，5含水层成为目标开采层且总体开采量较大，由于相邻隔水层释水缓慢、砂土蠕变[15]等原因，地面沉降与开采量之间出现了明显的滞后效应。根据图1累计量变化图计算二者的Pearson相关系数为0.975，说明累计地面沉降和累计地下水开采量之间存在着较高的正相关性，因此在建立随机变量模型时地下水开采量可以作为地面沉降的解释变量。

图1 上海市地面沉降与地下水开采量关系

从土层分层变形角度来看，地下水在不同含水层的开采均造成相应含水层的水位下降，进而引起土层的压缩变形。根据张云[2]等人的研究，第4含水层的变形在整体地面沉降中所占比例达到了50%以上，部分地区甚至达到了70%左右，成为影响地面沉降的主要变形层。且自地下水开采格局调整后，第4含水层的变形对于地下水开采表现出明显的滞后效应，因此在预测地面沉降时考虑第4含水层的变形规律非常重要。图2为第4含水层年变形量和年地面沉降量关系以及第4含水层累计变形量和累计地面沉降变形图，计算累计量之间的Pearson系数为0.988，表明累计地面沉降和第4含水层累计变形量之间同样存在着较高的正相关性，因此第4含水层变形量也可作为地面沉降的解释变量。

图2 上海市地面沉降与第4含水层变形关系

2 多项式分布滞后模型建立

鉴于以上分析，地面沉降量与抽水量及第4含水层变形量之间均存在一定的相关性和滞后性，因此可以考虑建立多项式分布滞后模型，对地面沉降趋势进行验证及预测。由于抽水量对于第4含水层变形具有影响，为了消除这种自变量之间的相互影响，在建模时从总抽水量中减去了第4含水层的抽水量。

2.1 模型简介

对于时间序列数据而言，如果模型中包含的解释变量滞后，则模型为分布滞后模型。对于上海市地面沉降而言，由于开采格局和土体性质等因素影响，地面沉降与地下水抽灌量、土体变形之间均存在滞后效应，因此本文重点考虑了累计地下水开采量和第4含水层累计变形对累计地面沉降的影响，建立相应的PDL模型为：

(1)

式中：c为常数项；μt为满足线性回归模型古典假设的随机误差项；Yt为地面沉降当期预测值；Ht-i为累计地下水开采量历史值；St-i为第4含水层累计变形历史值；βi累计地下水开采量影响因子参数；γi为第4含水层累计变形影响因子参数；M为地下水开采量滞后期数；N为第4含水层变形滞后期数。在实际建模过程中，为了减小随机误差异方差性的影响，可以考虑将自变量和因变量取对数处理。由于年地面沉降正负值均有出现无法取对数计算，因此本文在建模过程中自变量和因变量统一采用累计值进行处理。

2.2 滞后期数确定

对于滞后期数，可以通过理论大致确定，但在很多复杂情况下无法直接通过理论得到，而需要通过对样本数据的分析及相应的判定方法和准则才能确定合理的滞后期数。本文采用修正的可决系数法和赤池信息准则、施瓦茨准则来进行滞后期数的判定，其方法都是通过添加滞后变量使得可决系数及两个判定值不再减小为止。

(2)

式中：T为样本容量；k为自变量个数。

2.2.2 赤池信息准则和施瓦茨准则 在确定具体滞后期数时需通过遵循赤池信息准则(AIC)和施瓦茨准则(SC)来判定，其检验过程同样是在模型中逐期添加滞后变量，直到AIC和SC的值不再降低为止，即选择使二值达到最小的滞后期数。一般来说，赤池信息准则适用于小样本数据分析，二者的表达式为：

(3)

(4)

式中：RSS表示残差平方和；T为样本容量；k为自变量的个数

2.3 影响因子确定

对于滞后期数已知的分布滞后模型，可以通过经验加权法、阿尔蒙多项式法等进行修正，以消除多重共线性的影响。本文采取阿尔蒙多项式确定影响因子，用一个关于滞后期i的次数较低的m多项式逼近，该多项式为：

βi=α0+α1i+α2i2+α3i3+…+αmim

(i=0,1,2,3,…,n)

(5)

将阿尔蒙多项式变换代入模型并整理，模型变为如下形式：

Yt=c+α0Z0t+α1Z1t+α2Z2t+…+αmZmt+ut

(6)

式中：Z0t=Ht+Ht-1+Ht-2+…+Ht-i

Z1t=Ht-1+2Ht-2+3Ht-3+…+iHt-i

Z2t=Ht-1+4Ht-2+…+i2Ht-i

⋮

Zmt=Ht-1+2mHt-2+…+imHt-i

对于公式(5)，在满足古典假定的条件下，可用最小二乘法进行估计。将估计参数代入阿尔蒙多项式，就可以求出原模型参数估计值。但在实际的应用过程中，多项式的次数m通常取得较低，且不超过滞后期数，一般可取2或者3进行计算，很少情况会超过4，本文取m=2。

3 实例分析

现根据上述公式推导过程，考虑累计抽水量和第4含水层累计变形量建立多项式分布滞后模型。本文基于1989—2010年监测数据进行建模，通过2011—2018年的结果对比验证该方法对于上海市地面沉降预测分析的合理性及适用性，在此基础上对2019—2024年的地面沉降进行预测。

3.1 确定多项式分布滞后模型

根据上述研究及监测数据，首先确定各多项式的滞后期数，再根据阿尔蒙多项式变化求得累计地下水开采量和第4含水层累计变形的影响因子参数，最后根据时间序列运用EViews软件求得多项式分布滞后模型。在确定滞后期数时，根据EViews软件可判定两个自变量的最大滞后期为3，在此基础上根据判定准则对滞后期数进行进一步确定，结果如表1所示。从表中可看出，当选取抽水量滞后期数为3，第4含水层变形量滞后期数为2时可使调整后R2最大而AIC和SC值最小。

表1 抽水量及第4含水层沉降量滞后期数表

在确定滞后期数和相应参数后即可求得上海市地面沉降多项式分布滞后模型，计算公式为：

lnYt=-2.515 7-0.684 4lnHt+0.42lnHt-1

+0.710 7lnHt-2+0.187 8lnHt-3+0.139 7lnSt

-0.224 5lnSt-1+0.193 3lnSt-2

(7)

3.2 结果分析

通过公式(7)可以计算出1993—2018年的地面沉降值，结果如图3所示。由1993—2018年累计沉降量的计算值与实际值分析对比可知，计算值与实际值非常接近，其中1993—2018年的建模阶段相对误差为0.05%～2.18%，2011—2018年的预测阶段相对误差在1.9%～4.19%，拟合效果较为理想。由1993—2018年年地面沉降计算值与实际值对比分析可知，计算值与实际变化趋势一致，可见PDL模型可以较为准确地反映出沉降滞后的现象。

3.3 地面沉降预测

由上述分析可知，PDL模型充分考虑了上海地面沉降相对地下水抽取和第4含水层沉降的滞后性，且具有较好的拟合效果，因此可以采用该种方法对未来地面沉降进行预测。现假设地下水开采格局与第4含水层变形量与当前一致，由此建立表达式对地面沉降进行预测。结果发现，在该种情况下，2019—2024年间地面将会发生持续稳定的轻微回弹现象，可见近年来控制地下水开采量对减轻地面沉降具有较为明显的效果。

图3 地面沉降计算值与实际值对比

4 结 论

(1) 对上海市而言，累计地面沉降与累计抽水量和第4含水层累计变形之间都具有较高的正相关性，且抽水量和第4含水层变形量与地面沉降之间存在着滞后关系。

(2) 建立的PDL模型充分考虑了地下水开采量和第4含水层变形对于地面沉降的滞后影响，且通过建模分析发现，地面沉降的计算值与实际值之间的相对误差很小，基本在3%以内，计算结果也能够较好地反映出地面沉降的变化规律，验证了PDL模型对于上海市地面沉降分析预测的适用性。

(3) 在考虑当前开采量和第4含水层变形量不变的情况下对2019—2024年地面沉降进行了预测，结果发现2019—2024年间地面将会发生持续稳定的轻微回弹，可见控制地下水开采对于减轻地面沉降具有较为显著的作用。

(4) 本文基于上海市长期监测数据，结合上海市地面沉降的特征，改进了以往PDL沉降预测仅考虑单项影响因素的方法，同时考虑了地下水抽灌量和土层变形两个重要因素对于上海市地面沉降的影响。但由于近年来工程建设等原因对于地面沉降的影响权重逐步增大，在未来的工作中可以考虑加入工程建设等因素建立相应表达式，对上海市地面沉降做出更为合理和精准的预测。