基于张量投票的网格平滑算法

◆徐磊

（辽宁大学 辽宁 110036）

1 引言

近年来，网格去噪技术由于其具有挑战性的性质而一直处于非常活跃的状态，目前几乎没有什么技术可以有效地处理所有网格。早期的网格去噪方法大部分都是各向同性的，它们不能保护尖锐的几何特征。与此同时，作为各向同性方法中最具代表性的一员--拉普拉斯平滑算法[1]，该方法实现速度快且易于实现，然而，由于拉普拉斯算子将一个顶点推到它相邻的凸组合中，这导致了网格收缩。此外，Fleishman 等人[2]首先将双边滤波引入数字几何处理，产生直接应用于顶点的双边网格去噪方法；Sun 等人[3]采用了多级框架即首先过滤面法线，然后更新基于滤波后面法线的顶点位置；Wu 等人[4]利用L1范数对ROF 模型进行了增强。

2 基于张量投票的网格去噪算法

2.1 顶点分类

首先将网格顶点v的法向张量投票定义为与1环面相邻的加权协方差矩阵的和：

因为一个法向投票张量是一个对称的正半定二阶张量，它可以被分解为如下形式：

其中，可以根据张量T的特征值，将三角网格上的一个顶点分类为角点，边上点和面上点，假如顶点位于拐角或锐边上，边缘强度大约是1，如果它位于一个面上，则其值几乎为0。分类条件为：

2.2 顶点预处理

2.2.1 各向同性平滑

拉普拉斯算子对于低等级的噪声效果优良，而这里采用拉普拉斯平滑算子的改进形式，定义如下：是未知顶点位置的矢量化形式，

其中，是用户自定义平滑参数，L是均匀地加权拉普拉斯矩阵，是输入的的顶点位置的矢量化形式。

2.2.2 网格去噪的正则约束

正则性一般用来刻画函数的光滑程度，正则性越高，函数的光滑性越好。

其中，L（pi）是拉普拉斯算子的切向分量，npi是顶点pi的法向量，wij是拉普拉斯算子的权重，本文选用伞状算子即

2.2.3 各向异性L0 滤波

输入的噪声网格经过各向同性平滑后，表面几何特征会变得模糊，体积也会收缩，因此，需要使用各向异性滤波器来突出几何特征，其公式如下：

其中，p是未知顶点位置，p*是相应基于区域的预滤波后的顶点位置，μ 和γ 是平衡这三项的权值，R（p）是给定的相应正则约束项。

2.3 联合双边法滤波

为了进一步降低噪声，保留特征，本文采用联合双边法滤波对各向异性处理后的模型进行改善。即借助于已经过过滤的面法线场来定义顶点更新问题：

3 结果分析

图1 依次展示了十二面体噪声模型（b）经过本文的各向同性平滑（c）、各向异性L0 滤波（d）和联合双边法滤波处理后的效果图（e），即便是高等级噪声或不规则取样的干扰，本文算法依然可以鲁棒地还原出原始网格模型。

图1 本文算法执行步骤效果图

4 总结

本文描述了一个在去除噪声的同时保留几何特征（尤其是尖锐特征和浅层特征）的方法，在给定噪声网格输入的情况下，首先用改进的拉普拉斯算子对顶点进行滤波，然后添加各向异性L0 滤波强化特征，之后，使用了一种改良的联合双边滤波方法来处理输入网格的法向量场，最后利用滤波后的面法线更新顶点位置。在各种噪声模型上的实验证明了该方法在保留尖锐（高曲率）和浅层（低曲率）特征方面的有效性，本文方法在恢复给定模型的几何形状方面具有很好的性能，也验证了该算法的鲁棒性。