从“缺失的范式”看到的另一种“缺失”

李 三 平，郑 海 峰，刘 君 君

(陕西师范大学 数学与信息科学学院，陕西 西安 710062)

从“缺失的范式”看到的另一种“缺失”

李 三 平，郑 海 峰，刘 君 君

(陕西师范大学 数学与信息科学学院，陕西 西安 710062)

本文在简要回顾舒尔曼教授“缺失的范式”论述的基础上，探讨了许多高中数学教师所表现出的另一种“缺失”——不能“居高等数学之高”去“临中学数学之下”，他们中的大多数人几乎看不到或者体会不到高等数学对中学数学的指导作用和意义，甚至在毕业的很短时间内就忘记了大量的高等数学知识、思想和方法，这种“缺失”高观点的现象对于从事高中数学教育教学的教师是非常不利的，应该引起培养高中数学师资的高师院校及实施中学师资培训的机构和工作者注意。

缺失的范式；居高临下；培养；培训

一、引言

20世纪80年代中期，美国斯坦福大学教育学教授舒尔曼(Shulman)和同事针对美国教师资格认证制度的缺失，启动了一项名为“教师知识发展”的研究计划，提出了识别三种知识：学科知识、学科教学知识(Pedagogical content knowledge，简称“PCK”)和课程知识的一个理论框架。[1]当时，在美国许多州的教师资格认证过程中，往往只是测试教师的学科知识和教学知识。而学科知识多数情况是测试对一些事实知识的简单记忆，教学知识常常是涉及准备教案和评价，识别学生的个别差异，还有教室管理和教育政策等等，完全看不到学科的影子。[2]舒尔曼教授指出，这是美国教育研究中存在的一个“缺失的范式”，正是在这样的情况下，他提出了学科教学知识(PCK)的概念，试图在教师资格认证制度中重新重视学科知识的重要性。

学科教学知识(PCK)是包含在学科知识中的一种属于教学的知识，是一种最适于“可教性”的学科知识，是教师区别于其他学科专家的根本特征，是教师所特有的、作为其专业基础知识，是只属于他们自己的特殊形式的专业理解。它将教师与学科专家、教育专家相区别。舒尔曼指出，确认教学的知识基础之关键就在于学科知识和教育知识的交互作用(intersection)，就在于教师拥有下面的这种能力，即将他知晓的学科知识改造成(transform)在教学意义上有力的、能够适应学生不同能力和背景的形式上。[3]

有专家指出，PCK是学科知识和教育知识的特殊合金，是教师个体的一种独特的知识领域，是教师对自身专业理解的特殊形式。[4]在舒尔曼教授PCK概念的号召下，当时就引起了不少国外学者对教师知识研究的极大兴趣，有众多的研究者涉足其中，并特别关注学科教学知识如何影响学校课程教学质量的问题。一时间研究文章和著述大量涌现，美国《教师教育杂志》在1990年还以“学科教学知识”为主题出版了专集。21世纪初期，我国学者开始关注PCK的研究，对学科教学知识从理论到实践等方面进行了大量的探讨，也获得了不少的成果。可以预料，在未来的若干年，针对学科教学知识的研究还会以更大的规模和更深的程度发展下去，而且还将成为教育教学研究的一个重要领域。

二、不可忽视的另一种“缺失”

西方学者卡德门茨多特(Gudmundsdottir)强调，PCK是包含学科知识和教学知识的两种知识融合的结果。[5]Grossman也认为，PCK由四种成分组成：(1)教师关于一门学科在不同年级水平上的教学目的的知识与信念；(2)关于学生对学科中特定课题的理解、日常概念和误解的知识；(3)课程知识；(4)教授特定课题的教学策略和表征的知识。[6]

从诸多专家的研究中，我们看到， PCK的形成离不开学科内容知识(Subject matter knowledge)，它是教师知识一个重要的组成部分。就教师知识而言，国内有学者指出，学科内容知识和学科教学知识是教师知识的核心，这二者是实现有效教学的保障。[7]这足以看出，学科内容知识在教师知识中的重要地位。事实上，舒尔曼关于PCK的研究也是从对教师知识的研究开始的。正是由于他的倡导，大量关于教师学科知识的实证性研究才开始出现。

关于教师知识的研究，国内外有许多文献。然而，到目前为止，对于教师知识的认识还不尽相同，尽管如此，这些研究仍然存在某些共性的东西。邵光华教授指出，无论是哪个领域从哪个角度所做的教师知识的研究，大部分都要概括教师的学科知识(学科内容知识)和教学内容知识的研究。[8]

本文要探讨的另一种“缺失”是与中学数学教师知识密切相关的。

中学数学教师知识是数学学科教师为了实施数学教学所必须具备的专门知识。吴鲁在其硕士学位论文中指出，数学教师应该具有以下四类知识：数学教师的本体性知识(数学基础知识；数学思想与方法；数学史知识；应用数学知识)；数学教师的条件性知识(一般教学知识；数学教学知识)；数学教师的实践性知识(策略性知识；情境性知识；自我知识)；数学教师的文化知识等。[9]

就高师院校数学系开设门类众多的高等数学类课程(为方便起见，本文称高师院校开设的所有数学类课程都为“高等数学”。)而言，我们认为至少应该有以下几个方面的考虑。[10]

第一，使得将要走上高中数学教学岗位的毕业生具有一定的数学基础，能够承担起高中数学教学、研究的任务以及继续学习和掌握现代数学知识的能力，不断提高自身的数学修养。《普通高中数学课程标准(实验稿)》指出，学生可以根据自己的兴趣和愿望选择一些选学的内容——选修课程，它由四个系列组成，这些选修系列中的有些内容可能在高师院校没有开设过或接触较少，例如，常用逻辑用语；信息安全与密码；球面上的几何；三等分角与数域扩充；优选法与试验设计初步；统筹法与图论初步以及风险与决策等，这些知识应该依靠大学毕业生在学习过的高等数学的基础和已具备的数学修养及能力，自己学习，再加之参加相关部门组织的数学新课程培训，才可能逐步掌握这些知识，并且顺利的转化为高中学生可接受的形式。

第二，使得大学毕业生能利用在高师院校学到的高等数学类知识，指导其高中数学的教学和研究工作，也即使他们能“居高等数学之高”去“临中学数学之下”。那么，在高中数学教学中有需要用高等数学的知识、思想、观点和方法来解释的中学数学的问题吗？我们说，这类问题在高中数学教学中大量存在。例如，选修内容中的“常用逻辑用语”、“三等分角与数域扩充”、“风险与决策”等，还有一些具体的内容，如，极限定义中的“任意接近”、“自变量无穷大”如何从数学的角度去刻画？复数为什么不能比较大小？复数集中的数是否“有序”？尺规作图中的“尺”和“规”为什么有那样的限制？有了限制的尺规能够作出什么图形？常常用“不动点原理”求解数列的通项公式，那么使用的依据是什么？在求解不等式时可以使用“穿针引线法”，它的理论依据是什么？这种方法除了使用在求解一元多项式不等式的情形，是否还可以在求解其他类型的不等式时使用？等等，诸如此类的问题，在中学数学的范围内是不易回答的。借用了高等数学的知识、思想、观点和方法等，有可能获得较为圆满的解释。

然而，据问卷调查和访谈得知，高师院校的毕业生在高中数学教学过程中，使用高等数学的情况很不理想。大多数高师院校毕业生的体会是：他们在高中数学教学过程中，以前学习的高等数学类知识几乎没有很好地发挥作用；还有的甚至说：在中学任教很少用到高等数学知识，把在大学学习过的高等数学类知识几乎都“还给”了大学老师；等等，这就是我们所说的另一种“缺失”。应当引起培养高中数学师资的高师院校及实施中学师资培训的机构和工作者的注意。不可否认的是，仍有一少部分做数学教育或初等数学研究的毕业生认为，高等数学的思想、观点和方法等始终在教学中起着作用。

三、“缺失”的原因分析及其建议

与一些高中数学教师的座谈得知，形成上述情况的原因主要有以下几点。

第一，由于受“应试教育”的影响，对数学教育的价值“实际需要，文化修养，智力筛选”中的前二者几乎无暇顾及，只是将数学当作“筛子”用了。正因为如此，许多学生都将“取得好的数学成绩，博得家长和老师的喜欢”作为学习数学的重要目的。常可见到的现象是，大多数高中学生身陷数学的套题、技巧之中，奔波于作业、考试之间，教师则更是疲于应付，只能将教学研究、科学研究放在极次要的位置，当然就更谈不上与所学习过的高等数学类知识建立联系了。

第二，在高师院校，无论是中文、历史、地理，还是物理、化学、生物等各专业，所开设的专业课程，常常是中学相应课程内容的加深、拓广，是在中学内容基础上的进一步深化，而数学系的课程设置则好像是个例外。除了微积分，高师院校数学系所开设的高等数学课程，与中学数学的研究对象、研究方法等方面都存在较大的不同，中学数学到大学数学，其知识几乎是直线式上升的，而非螺旋式上升。在高师院校数学系的大部分课程中，几乎看不到与中学数学的直接联系，学生很难获得用高等数学的“高观点”指导中学数学的真实体验。

第三，高师院校数学系的课程教学也存在着一些不足。著名数学教育家、华东师范大学的张奠宙教授曾指出：“我们在高师院校执教多年，深感居高未必能自然地临下。在大学课程中，只管讲学科知识本身，联系中学实际的任务往往视为累赘，忽略不讲，举个例子，讲实变函数论，大谈勒贝格测度、勒贝格积分，却不屑于谈谈测度与面积、体积之间的内在联系。对于中学教师来说，也许后者是至关重要的。” 难怪教育部原副部长王湛同志指出：师范教育的教学与基础教育改革存在着脱节现象。

针对高师院校毕业生上述的“缺失”现象，我们从理论的角度提出几点建议，希望能有助于改善缺失的现象。

(1)高师院校数学系的课程设置应尽力衔接新课程改革。在注重师范性的前提下，尽量体现课程基础性与先进性的统一，比如，对那些不能舍弃的经典数学内容尽可能地用现代数学的观点与语言来统帅；在教材中尽可能编入已经构成相应学科基础部分的现代数学内容，至少应进行通俗介绍；要体现均衡性与选择性的统一，使高师院校数学系的基础课和选修课保持一种恰当、合理的比重，并适应学生个性发展的要求；还要体现发展性，即，着眼于学生的未来发展，培养终身学习的愿望和能力。

(2)高师院校的教师应充分了解新课程改革的理念，结合专业课程讲授，体现高等数学对中学数学的指导作用。一是将高等数学的思想、观点和方法渗透到中学数学的材料中去；二是揭示中学数学内容中某些不容易解释和处理的问题的高等数学背景；三是通过具体材料或实例展现高等数学对中学数学的指导作用。这样不仅可以为大学生们树立好的榜样，还可以引导他们寻找中学数学中用初等数学的思想、观点和方法不易解释的问题的例子，帮助他们获得这样的体验。

(3)高中数学教师培训的机构应特别关注高等数学与中学数学的衔接和过渡问题，切实从毕业生的实际出发，结合新课程的要求，有针对性地开设一些专题讲座，帮助他们不断提高自身的思想素质、文化素质和专业素质，只有这样，才能使高师院校数学系的毕业生成为适应中学数学课程教学的合格师资，成为新课程改革的中坚力量。

[1] SHULMAN,L.S.Those who understand：knowledge growth in teaching[J].Educational Reasearcher,1986,15(2):4-14.

[2] 董涛.课堂教学中的PCK研究[D].上海:华东师范大学,2008.

[3] 胡青,刘小强.分离还是融合:教师教育专业化中形式与实质的矛盾——兼谈学科教学知识(PCK)与当前我国的教师教育改革[J].江西社会科学,2005(11):188-192.

[4] 冯茁,曲铁华.从PCK到PCKg:教师专业发展的新转向[J].外国教育研究,2006(12):58-62.

[5] GUDMUNDSDOTTI,S.Values in pedagogical content knowledge [J].Journal of Teacher Education, 1990,41(3):44-52.

[6] GROSSMAN,P.L.The making of a teacher: Teacher knowledge and teacher education[M].New York: Teacher College Press,1990.

[7] 庞雅丽.职前数学教师的MKT现状及发展研究[D].上海:华东师范大学,2011.

[8] 邵光华.教师专业知识发展研究[M].杭州:浙江大学出版社,2011:32.

[9] 吴鲁.新课程视野下的中学数学教师专业知识结构研究[D].长沙:湖南师范大学,2008.

[10] 李三平.高观点下的中学数学[M].西安:陕西师范大学出版社,2013:1.

[责任编辑 张淑霞]

An Examination of a “Missing” From the “Missing Paradigm”

LI San-ping, ZHENG Hai-feng, LIU Jun-jun

(SchoolofMathematicsandInformationScience,ShaanxiNormalUniversity,Xi’an710062 ,China)

On the basis of Lee Shulman’s the “missing paradigm”, this paper suggests another blind spot-not to observe mathematics of middle school from the point of advanced mathematics; many mathematic teachers can not understand the guidance of advanced mathematics to middle school mathematics. They even have forgotten a lot of college level mathematical knowledge, ideas and methods within a short span of time after their graduation. We believe that the “missing point” here is disadvantageous to mathematics teachers in high school. We appeal that normal universities and the middle school teachers’ training institutes should pay more attention to the point.

the missing paradigm; advanced mathematics；high school mathematics teachers’ training.

G451

A

1674-2087(2014)01-0016-03

2013-11-23

陕西师范大学研究生教育教学改革研究项目(GERP-13-09)

李三平，男，陕西周至人，陕西师范大学数学与信息科学学院副教授，主要从事数学课程与教学论研究；郑海峰，男，河北涉县人，陕西师范大学数学与信息科学学院硕士研究生，主要从事数学课程与教学论研究；刘君君，女，河南正阳人，陕西师范大学数学与信息科学学院硕士研究生，主要从事数学课程与教学论研究。