弦振动的可视化研究

巩建辉，王晨丰，姚 静，任 健，吴承启

(商洛职业技术学院，陕西 商洛 726000)

在物理学研究中，要经常面对一些复杂的数学表达式，有的时候很难搞清其实际意义，这样给研究工作带来诸多不便。这里以物理学中经典的“弦振动”为例，对弦的自由振动进行了理论分析，并运用MATLAB工具对弦的振动规律进行了可视化。可视化结果清晰地展现了弦的振动规律，真可谓“一图值千言”。通过研究体现了可视化方法的强大优势，也表明了在物理学研究中可视化的重要性，为今后对其他物理学模型的研究提供了借鉴。

1 弦振动的理论分析

1.1 弦振动方程的求解

弦是大家所熟悉的，常见的弦乐器如提琴、二胡，吉他等就是依靠张紧在这些乐器上面的几根弦发声的。假设有一长为理想弦，两端固定并被张紧，其密度与横截面积均匀，密度为ρ，横截面积为S，静止时弦处于水平平衡位置，仅有张力使其保持平衡，如某瞬间突然受到一外力扰动，弦的各部分将在外力的作用下开始进行与弦长垂直方向的往返振动[1]。

由弹性理论知道弦的振动方程为：

(1)

采用分离变量法得该方程的解为：

(2)

其中A、B、φ是待定常数，假如弦两端固定，将边界条件η(x=0)=0，η(x=l)=0，代入上式，并用ωn=2πfn来代替μ，则得：

(3)

该式为弦的第n次振动方式，或简正振动方式，弦的总振动效果应是各种振动方式的叠加，所以弦的总位移为：

(4)

考虑到一般情况，假设初始条件为：

(5)

则弦振动的总位移为：

(6)

其中的系数是：

(7)

1.2 初位移不为零初速度为零时弦振动的分析

设初位移为：

(8)

(9)

将式(8)、(9)代入(6)中，即可得到弦振动的解[2]。

1.3 初位移为零初速度不为零时弦振动的分析

(10)

将式(10)代入(6)中，即可得到弦振动的解[2]。

2 可视化实现

可视化实现是基于MATLAB的软件强大的绘图功能，首先根据研究对象建立一个物理模型，然后将物理模型转化为数学模型，即数学表达式，依据此表达式利用MATLAB语言将数学表达转化为计算机可识别的信息，即利用MATLAB命令进行编程，将程序送入计算机，借助MATLAB平台转化为图形或图像信息，提供给人们做分析和研究[3-8]。

(i) (j) (k) (l)

2.1 两端固定初位移不为零，初速度为零时弦自由振动的可视化

从弦振动动画中依时间顺序截取的8幅图分别为(a)、(b)、(c)、(d)、(e)、(f) 、(g)、(h)，从图1可以清晰看出，在弦运动开始时，初始位移平均分为两半向正、负方向传播，在到达边界之前，相当于波在无限长弦上的传播；到达边界以后，发生反射，产生半波损失；从边界反射回来的波，相向运动，相遇后产生叠加，然后继续传播。

(a) (b) (c) (d)

(e) (f) (g) (h)

(a) (b) (c) (d)

(e) (f) (g) (h)

2.2 两端固定初位移为零，初速度不为零时弦自由振动的可视化

图2是从弦振动动画中依时间顺序截取的12幅图，从图2可以清晰看出，在弦运动开始时，从平衡位置先向上振动，到达最大位移处，然后向下振动到达反向最大位移处，再向上振动，此后不断重复，和图1弦振动的情况进行对比，可以看出初始条件不同，弦振动的方式有很大的差异。

3 结论

通过对弦振动方程的求解及可视化分析，得出了弦的振动规律：当两端固定初位移不为零，初速度为零时，弦的初始位移平均分为两半向正、负方向传播，在到达边界之前， 相当于波在无限长弦上的传播，到达边界以后，发生反射，产生半波损失，从边界反射回来的波，相向运动，相遇后产生叠加，然后继续传播。当初位移为零初速度不为零时，弦从平衡位置先向上振动，到达最大位移处，然后向下振动到达反向最大位移处，再向上振动，此后不断重复。这些表明在不同的初始条件，弦振动的方式差别很大。由此可以看出，该可视化方法极具优势，使复杂、冗繁的理论表达式转变为简单、直观的图形，从而使抽象、深奥的物理学原理变得浅显、易懂。该方法也可以运用于其他物理问题的研究，有一定的参考价值。