利用弹性张量解析表达式识别任意空间取向TI介质

陈文康 姚 陈 郝重涛

(中国地震局地质研究所，北京 100029)

利用弹性张量解析表达式识别任意空间取向TI介质

陈文康 姚 陈 郝重涛

(中国地震局地质研究所，北京 100029)

利用任意空间取向横向各向同性介质(ATI)的弹性张量解析表达式，分析ATI弹性常数之间的内在关系，得到一个判断ATI介质的必要条件。假若介质弹性矩阵满足这个ATI必要条件，可做ATI假设，确定可能的ATI对称轴空间取向。此时，如果通过坐标变换得到的是VTI弹性矩阵，就说明介质确实是ATI介质，这就完整地解决了从包含21个非零元素的弹性矩阵判断介质是否ATI的问题。数值算例验证了这种方法在剔除非ATI弹性矩阵时的便捷与识别ATI介质时的可靠。

横向各向同性 ATI 弹性张量 对称轴

0 引言

地震波在地下介质传播，当经过的介质并非完全各向同性时，就会在宏观上表现出地震波的传播速度随方向的不同而有所变化的现象，即地震波传播的各向异性。通常都认为，无论是地壳中的裂隙(Crampin et al.，1984)，还是从地壳浅部的各类沉积岩(Thomsen，1986)到上地幔的橄榄岩等各向异性(Hess，1964;Crampin，1966;Bamford，1977)，介质中有个各向同性面，地震波速度在该平面内一致，但却不同于法向的速度。这种各向异性被称为横向各向同性(Transvesely Isotropy，TI)。至今，TI被认为是不同深度地球介质各向异性的主要特征。

以往对TI介质的研究主要集中在具有水平或垂直对称轴的TI介质，即HTI或VTI，还有在波传播入射面内的TI对称轴倾斜(TTI)的模型。但是TI介质的对称轴不可能都是垂直或水平的或TTI的。裂隙可能是倾斜的;由于构造变形，TI沉积层未必有垂直对称轴;上地幔的橄榄岩层在整个变形中形成的晶体定向排列未必都有水平对称轴，这些要求在观测解释中需要突破以往VTI和HTI几个简单模型的限制，而将TI模型扩展到任意空间取向的TI，即ATI(姚陈等，2004)。

单就弹性常数而言，ATI弹性矩阵有21个非零且互异的分量，这与三斜介质弹性矩阵具有的非零弹性常数个数相同。在地震的各向异性反演中，如果不对模型人为地增加限制条件，可以从具有最低对称性的三斜模型出发得到21个弹性常数。如果地下介质确实是三斜各向异性的，那么应该有相应的地质解释;但是，如果得到的21个弹性常数是ATI的，其地质解释与三斜介质的显然不同。为此，在理论上需要解决从反演的21个弹性常数进一步确认各向异性是否是ATI的问题。

Cowin等(1987)从理论上提出并解决了根据弹性矩阵确定各向异性镜像对称面，从而确定各向异性所属对称系的问题，但涉及的问题较多，计算也比较复杂。

本文将针对ATI介质弹性矩阵的识别问题，从ATI弹性张量解析表达式(Spies，1994;姚陈等，2009)出发，分析各ATI弹性常数之间的内在联系，从中提取判断各向异性是否ATI的一个必要条件;给出确定ATI对称轴方向的方法，通过坐标变换将ATI弹性矩阵转换为VTI的弹性矩阵，完成ATI的识别。最后对方法的可行性进行数值验证。

1 利用ATI弹性张量解析表达式获得ATI必要条件

用大写字母C表示对称面坐标系O－lmn下的弹性张量，小写字母c表示在非对称面坐标系O－xyz下的弹性张量;另外，还同时使用4个角标的4阶弹性张量Cijkl、cijkl和2个角标的Voigt形式的弹性矩阵CJK、cJK。弹性张量(以非对称面坐标系下的为例)满足对称性cijkl=cjikl=cklij，cJK=cKJ。对于三斜以外的各向异性介质，对称面坐标系(三斜介质无对称面)下的弹性张量有最少的非零元素。

因为有一个各向同性平面，TI介质是具有轴对称性的。当TI对称轴与直角坐标系的一个坐标轴重合时，TI弹性张量仅有5个独立的弹性常数。取C11、C33、C13、C55和C66为VTI的5个独立弹性常数，其它非零 VTI弹性常数为 C22=C11、C23=C13、C44=C55、C12=C11－ 2C66。

当TI有任意空间取向时(ATI)，TI弹性张量一般具有21个非零弹性常数，这与三斜、在非对称面坐标系下的单斜、正交各向异性相似，难以看出对称性。但由于ATI的弹性张量只依赖对称轴空间取向和VTI弹性常数，它的21个弹性常数有以下统一的解析表达式(Spies，1994;姚陈等，2009)

其中，cijkl是ATI的弹性张量，用大写字母C及2个角标表示的C12等是VTI弹性常数，δij是Kronecker符号，ni是ATI对称轴。

为了分析ATI各个弹性常数之间的关系，先定义以下VTI弹性常数之间的3个绝对偏离:

展开ATI弹性张量解析表达式以分析各元素之间的关系。

以上对21个ATI弹性常数进行了分组，其中第1组9个元素对应着对称面坐标系下的非零元素，即VTI弹性常数，而第2组12个元素对应着对称面坐标系下的零元素。在非对称面坐标系下，第1组元素通常仍有较大的数值，而第2组元素虽然不为零却也相对较小。

这些展开式的好处是方便分析21个ATI弹性常数对VTI弹性常数及对称轴空间取向的依赖性，从而便于进行组合以突显它们之间内在的联系。从上面给出的ATI弹性常数的解析表达式，容易得到

该式只包含ATI对称轴的信息，而与5个VTI弹性常数无关。根据此式，还可以消去对称轴的影响，得到以下不依赖于对称轴空间取向的等式

以上6个元素在弹性矩阵中的位置用下划线标示，其中左侧3个元素带1条线，右侧3个元素带2条线

式(6)对任意各向异性强度、任意空间取向的TI介质都成立，是判断介质是否ATI介质的一个必要条件，本文“ATI必要条件”专指此式。如果ATI必要条件不能满足，那么就说明介质不可能是ATI的。这样可以很方便地排除一些非ATI的弹性矩阵。

2 确定ATI对称轴

如果ATI必要条件可以满足(包括在误差范围内近似成立)，可假设介质为ATI介质。那么根据式(5)，两两组合，可以得到

于是，利用式(7)右侧任意一个比例式，均可方便地确定ATI的对称轴空间取向，即ni的值。比如，利用式(7)右侧第1个比例式，得到

这里有3种不同的4元素组合可用于确定ATI对称轴空间取向;ATI必要条件就相当于要求这3种组合确定的ATI对称轴空间取向相一致(可以相差一个负号)。

3 从ATI到VTI

在假设介质为ATI并确定了ATI对称轴空间取向后，还需要通过坐标变换，转换到以该轴为第3个坐标轴的坐标系O－lmn(由于只关心TI介质，本文称之为VTI坐标系)下，看弹性矩阵能否变成VTI的弹性矩阵。在ATI必要条件满足时，只有通过这一步的变换，才能最终确定介质是不是ATI的。

因为TI介质有关于n^轴的轴对称性，若介质确实是ATI的，则l^、m^的选取不会影响VTI坐标系下的弹性矩阵。于是，O－lmn的另外2个坐标轴可以在垂直于n^的平面内任取，只要保证的正交性及右手性。不妨取l^同时也垂直于非对称面坐标系的z轴，即

式(9)中，×表示矢量叉乘，1/|z^×n^|是单位化因子。在确定以后，也就确定了从非对称面坐标系到VTI坐标系的坐标变换矩阵。这个3×3的坐标变换矩阵不能直接用于6×6弹性矩阵的坐标变换，但可以根据它写出用于6×6弹性矩阵的坐标变换的Bond矩阵(Auld，1975)，进而进行Bond变换得到VTI坐标系下的弹性矩阵。

4 数值算例

除TI介质以外，正交各向异性也是地震波传播各向异性的研究中比较常用的各向异性介质模型，而它在非对称面坐标系下的弹性矩阵，也与ATI弹性矩阵一样，有21个非零元素，难以直观地分辨出介质所属对称系;本节就采用来进行反演，用本文的方法判断它们是否蕴含着TI对称性。

4.1 正交各向异性

这里将对称坐标系下的正交各向异性弹性常数取为Anderson等(1995)文章中橄榄岩Fo90Fa10在1 500K测得的实验数据(单位GPa):

在非对称面坐标系下的弹性矩阵为

该矩阵是反演的基础，即我们要根据此弹性矩阵来判定介质是否ATI。

为此，首先将所给的弹性常数代入ATI必要条件，即c34c26c15=c35c24c16一式(式中元素在弹性矩阵cJK中的位置用下划线标出，其中左侧元素带1条线而右侧元素带2条线)，看是否成立。因为左边=(11.4991)*(－0.2398)*(－0.3636)=1.0026，而右边=(9.3732)*(2.1453)*(－2.7122)=－54.5378，等式不成立，亦即ATI必要条件不成立，此介质一定不是ATI介质。事实上，我们知道这是正交各向异性介质。

这里我们只用一个非常简单的等式，就识别出介质的弹性常数矩阵并不是我们关心的TI介质的，有效避免了不必要的计算。

4.2 ATI介质

VTI弹性常数CJK选择郝重涛等(2007)文中模型6的气饱和页岩质煤的实验数据(单位GPa):

从矩阵元素C11与C33之间，C12与C13之间的巨大差别(各向同性则差别为零)，容易看出，这是一种各向异性很强的TI介质。

为获得ATI弹性矩阵，将ATI对称轴空间取向即n^的坐标取为

利用ATI弹性张量解析表达式式(1)可以得到ATI弹性矩阵，即TI介质在非对称面坐标系下的弹性矩阵:

与4.1节一样，该矩阵是反演的基础，即我们要根据此弹性矩阵来判定介质是否ATI。

为此，同样先将所给的弹性常数代入ATI必要条件，即c34c26c15=c35c24c16一式(式中元素在弹性矩阵cJK中的位置用下划线标出，其中左侧元素带1条线而右侧元素带2条线)，看是否成立。因为左边=(－1.3033)*(－1.6942)*(－3.2779)=－7.2377，而右边=(－0.9775)*(－3.7648)*(－1.9668)=－7.2377，等式成立，即ATI必要条件可以满足，此介质有可能是ATI介质。

于是，可以假设介质为ATI，获取其对称轴空间取向，利用公式(8.1)计算得

进一步确定VTI坐标系的另外2个坐标轴的坐标

于是，从非对称面坐标系到VTI坐标系的坐标变换矩阵为

其中角标T表示转置。相应的Bond矩阵为

利用Bond变换得到VTI坐标系下的弹性矩阵为

其中，(M)表示Bond矩阵M，(c)表示在非对称面坐标系下的弹性矩阵cJK。CinversedJK符合对VTI弹性矩阵的要求，也与最初给出的VTI弹性矩阵CJK完全一致，这就说明VTI坐标系下介质弹性矩阵确实是VTI的，而在非对称面坐标系下的弹性矩阵cJK确实代表着ATI介质。至此，ATI介质的识别最终完成。

5 结论

(1)从ATI弹性张量表达式出发，ATI弹性常数之间必然存在一定的关系。理论上，这些内在的关系应该是不受TI各向异性的强弱以及ATI对称轴空间取向限制的，是具有普遍适用性的。本文提取了这样一个关系式，即“ATI必要条件”。

(2)如果介质的弹性矩阵不能满足ATI必要条件，说明介质一定不是ATI介质。根据这一点可以方便地排除许多有21个非零元素而没有TI对称性的弹性矩阵。

(3)对于满足ATI必要条件的弹性矩阵，为最终确定是否ATI，还需走以下流程:先确定可能的ATI对称轴，再进行坐标变换得到VTI坐标系下弹性矩阵，并与VTI弹性矩阵进行比较。

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IDENTIFYING A TIMEDIUM WITH ARBITRARY ORIENTATION BY USING THE ANALYTIC EXPRESSION OF ITS ELASTIC TENSOR

CHENWen-kang YAO Chen HAO Chong-tao
(Institute of Geology，Chinese Earthquake Administration，Beijing 100029，China)

Transverse isotropy(TI)symmetry is widely applied to the study of seismic anisotropy.It can model almost all kinds of observed anisotropy，including stress-aligned cracks in the crust，a variety of sedimentary rocks and anisotropic minerals such as olivine in the uppermost mantle.TI anisotropy represents themain characteristics of different kinds of anisotropymedia at various depths.

TImedia are not always horizontal(HTI)or vertical(VTI)，but could be with an arbitrary orientation of symmetry axis.Cracksmay be vertical or nearly vertical，but they could also be tilted;sedimentary rocks that underwent tectonic deformation may not retain vertical axis;the lattice preferred orientation of upper mantle olivine could also differ from horizontal.These ask for the breaking of usual hypothesis of VTIor HTI，and solving the problems concerningwave propagation and data interpretation through a TImedium with arbitrary orientation(ATI).

In terms of elasticity matrix，the ATImedium is similar to the triclinic medium，both of which have 21 nonzero and distinct components.Given the elastic matrix of the medium，it’s important to determine the symmetric system it belongs to.Considering the prevalence of TIsymmetry in the study of anisotropy，it’s especially important to decide whether themedium is an ATIone.

Due to the rotational invariance of the TImedium about its axis，the 21 components of the ATI elastic coefficientmatrix are notmutually independent at all.In fact，they can be expressed by five mutually independent elasticity constantsmeasured in its innate symmetric coordinate system and the orientation of the symmetry axis.In light of the analytical expression for the ATI elastic tensor，it is possible to analyze the relations between the ATI elastic coefficients and find a way to identify ATI elastic matrix.

transverse isotropy，ATI，elastic tensor，symmetry axis

P315.72

A

0253－4967(2011)03－0684－09

10.3969/j.issn.0253 － 4967.2011.03.017

2010－08－02收稿，2011－05－12改回。

国家自然科学基金(40874028)资助。

陈文康，男，1983年生，2007年毕业于北京大学地球物理系，获得学士学位，同年进入中国地震局地质研究所攻读硕士学位，研究方向为地震波各向异性，电话:010－62009185，E－mail:dukang_lc@qq.com。