非规则结构电容层析成像填补法测量的敏感场特性及重构算法改进

陈昭，陈猛，王江江，常家兴，刘马林

（清华大学核能与新能源技术研究院，北京100084）

引 言

电容层析成像法（electrical capacitance tomography, ECT）作为一种多相体系中典型非侵入式测量相含率的方法，在化工流化床[1-4]、石油管道流[5]、颗粒包覆反应器[6]、医疗[7]等领域得到广泛应用。针对特定应用场合，已开发出适用于煤粉燃烧、石油催化裂化等的高温测量探头[8]，圆锥料仓测量的倾斜探头[9]和Wurster导流管式喷动流化反应器的双层探头[10]等。目前测量对象多是规则圆柱[11]、四方[12]或圆台结构[13]，对于不规则结构中的相含率测量较少涉及。ECT 测量过程包括电极探测、数据采集和图像重构等步骤，电极板布置不同，其应用场合不同[14]。电极极板覆盖率影响很大[15]。若电极太长则因“三维弱化效应”，得到的数据不能真实地体现管道轴向上各相介质相含率分布的变化；若电极太短，虽然得到的电容值能很好地反映管道轴向上相含率的变化，但极板长度变小造成测量电容值减小，增加了实际电容测量难度[16]。另外，电极的激发策略也会影响ECT测量和图像重构的质量[17-18]，因此电极安装布置和尺寸选择对于ECT测量非常重要。

针对不规则几何结构以及所测体系为高温或强腐蚀性的相含率测量，ECT 电极难以直接布置在管壁上，因此无法实现直接测量。例如由于流化床-化学气相沉积生产工艺的限制，核燃料包覆颗粒的生产中极易发生孔口沉积现象[19]。为减轻此现象，流化床的入口结构设计为小倾角、自冷却的多环斜孔式复杂结构[20]。同时由于核燃料颗粒的高密度特性以及核临界限制，颗粒一次性装填量较少。因此，核燃料包覆颗粒在流化床中处于浅层、密相、流化高度较低的多孔协同喷动流化状态。入口处附近的流态化流型分布和颗粒浓度测量对沉积过程研究非常重要，但常规的电极布置无法满足测量要求。

本文提出通过填补法将复杂结构转化成规则圆柱结构后进行测量，即将复杂结构的测量问题转化为规则结构ECT 成像的拟厚壁问题，扩大ECT 的测量范围。此问题中填充介质的介电常数及填充区形状可根据需要调整，因此又与一般的厚壁问题不同。有关ECT 的图像重构算法文献较多，主要分为线性反投影算法（LBP）、Landweber 迭代算法、Tikhonov 正则化法、更新敏感场矩阵的迭代法等[21-24]。这些方法各有优缺点，需针对填补法进行分析，并发展合适的重构方法。本文首先通过有限元软件进行填补法测量建模，正向求解填充区敏感场并比较填充区敏感场与标准敏感场特征。然后研究填补法重构成像特征，分别从敏感场特性、归一化电容、填充区介电常数大小以及图像重构算法四个方面进行比较分析。进一步基于填补法特性，提出新型图像重构算法及其优化方向，比较各种算法在填补法重构成像中的重构效果和计算时间，最后给出了本文研究成果在一般性非规则结构中相含率测量中的应用。

1 填补法电容层析成像模型建立

1.1 填补法测量原理

一般非规则几何结构中，ECT 电容探头无法直接布置在容器壁上，如图1（a）所示的测量区。对于一些特殊结构的流化床，例如用于制备核燃料包覆颗粒的小倾角、复杂角度和结构的多环斜孔式流化床，如图1（b）所示，ECT 测量也受到限制。入口附近的颗粒浓度分布对整个包覆过程十分关键，因此ECT 测量面应位于入口处附近，但传统ECT 电极探头因尺寸限制，无法直接安装（150 mm 内径流化床一般需要50 mm 长的测量电极）。可借鉴数值模拟中为减少计算量，将非结构网格转换为结构网格的“多重网格法”思想，设置填充区并添加合适的介质，将复杂几何结构转化成规则圆柱进行测量。与传统测量区相比，填补法对应的测量区增加了填充介质区，与结构体增厚类似，但此填充区的介电常数及形状（一般填充为圆柱，也可以为四方或者圆台结构）可根据需要改变，可称为“伪厚壁”问题。

图1 不规则结构填补法ECT测量一般性原理(a)及填补法应用于多环斜孔式流化床入口处测量示意图(b)Fig.1 General schematic diagram of ECT measurement of irregular structure with filling method (a)and instrumentation plan of filling method applied to multi-ring slope-hole fluidized bed inlet(b)

1.2 填补法ECT建模

本文建立的填补法ECT 测量模型如图2（a）所示。测量区为直径150 mm的圆，测量区内两相物质的介电常数分别为ε1和ε2，填充区为直径150～200 mm 的圆环，填充物质的介电常数为ε3，屏蔽层为直径220 mm 的圆。本文基于有限元软件COMSOL@进行数值模拟。首先建立12电极的ECT 传感器模型，接着进行材料属性设置，设定物理场接地与循环电极激励等边界条件[15]，然后进行有限元网格划分，典型网格划分如图2（b）所示。整个传感器区域划分为1073 个节点和2064 个三角单元。对敏感场进行计算时提取64×64 的网格数据，其中电极内有效网格点为3228个。

ECT数学模型可简化为线性方程进行求解

式中，λ 为所有电极对间的归一化电容值，由高斯散度定理积分求得[23]；S 为归一化敏感场矩阵，可通过定义法[23]或电场法[25]得到；G为重构图像中每个像素点位置对应的归一化介电常数矩阵。为将电容信号转化成相含率分布图像，需通过算法进行图像重构。图像重构问题是一个欠定问题，不能直接求解敏感场矩阵的逆，需通过迭代或者其他构造算法对真实解进行逼近。电容层析成像算法主要分为迭代算法与非迭代法。迭代算法主要有Landweber 迭代、更新敏感场矩阵的迭代法等，非迭代法有线性反投影算法、奇异值分解法、Tikhonov 正则法[26]等。其中关于经典的Landweber 算法研究较多，从多个角度进行了优化[27-30]。为更精确地比较图像重构算法的适用性，采用图像误差与相关系数进行定量化比较[23]。

图2 ECT测量几何建模及网格划分Fig.2 Schematic diagram of simplified geometric modeling and mesh generation

2 敏感场比较分析

采取电场法计算敏感场S。敏感场随着测量截面介电常数分布变化。一般全部填充为低介电常数物质的敏感场为标准敏感场S标。由于激励边界条件的周期性和电极分布的对称性，电极对1-2、1-3、1-4、1-5、1-6与剩余电极的敏感场地图呈现相同分布。因此列出前5 张敏感场地图和1-7 对角线敏感场地图，即可复现单激励模式下所有电极对的敏感场地图，如图3 所示。Ramli 等[31]利用有限元模拟对不同背景下的敏感场进行了图像重构，其中标准敏感场与图3（a）类似。

图3 不同背景下敏感场计算结果对比Fig.3 Comparison of sensitivity map of different background

由图3 可知，与激励电极的相对位置不同，敏感场S标呈现不同的变化趋势。与激励电极相对位置越远，敏感场S 的马鞍形分布越向中心靠近。这说明中心灵敏程度较弱，对电容的反应不灵敏，成像灵敏度差。填充区填满后，填充区的介电常数增大，利于电场线的传播，电容绝对值变大，测量信号增强，同时背景信号也增强，因此在带填充区的敏感场中信噪比降低，即归一化的标准敏感场的敏感度数量级高于填充区敏感场。在带填充区的敏感场S填中，相邻电极敏感场呈现负值，非相邻电极敏感场地图中的平台区开始呈现非对称趋势，这是因为填充介质导致信号增强，抬升了灵敏度。

3 填补法ECT 重构成像影响因素研究

在填补法中，填充区的介电常数分布ε填可作为已知的边界条件来优化重构成像。为提高填补法下的成像质量，本文拟从敏感场、归一化电容值及图像重构算法三个方面对图像重构进行探究，如表1 所示。另外还对填充区介电常数ε填的影响进行了分析。

表1 本文研究案例定义Table 1 Case definition in this study

3.1 不同背景敏感场的影响

由图3 知，S填与S标呈现相似的马鞍形变化，均表现为中间低四周高的敏感度趋势。S填的敏感度数量级与S标不同。为探究敏感场特性对图像重构质量的影响，对1-a-乙、2-a-乙、3-a-乙的图像进行比较。分别计算了半管流、核心流与环状流的图像误差与相关系数，结果如图4所示。

由图4 可知，1-a-乙与3-a-乙结果接近，2-a-乙与前两者在半管流与核心流的重构上差异不大，但在环状流的重构上差异十分明显，且2-a-乙环状流成像质量增强。这表明，本案例中的S填对环状流有增强成像的趋势。总体而言，不同敏感场对成像的影响差别不大。文献[31]指出，基于空背景的通用敏感场适用于大多数图像的重构，与本文结论类似。因敏感场2 能加强环状流成像，因此选择此敏感场作为后续探究的前提条件。

图4 不同敏感场下成像质量和重构图像Fig.4 Imaging quality and reconstruction images under different sensitivity maps

3.2 归一化电容值影响

归一化电容的目的是消除噪声对图像重构的影响。在填补法问题中，人为引入的填补区也是一种噪声信号。因此可通过几何建模时考虑填充区计算出电容，然后在电容归一化时去除填充区结构噪声的影响。为探究归一化电容对成像的影响，对2-a-乙、2-b-乙的图像进行比较，如图5所示。可以看出，2-b-乙中所有流型的成像效果均略优于2-a-乙。这表明在进行电容归一化时，去除填充区结构噪声有利于提高图像重构质量。

图5 不同归一化电容下成像质量和重构图像Fig.5 Imaging quality and reconstruction images under different normalized capacitance

3.3 填充区介电常数对成像的影响规律

填充区介电常数ε填的分布会影响整个测量区的电势分布。对ε填的影响规律进行探究，选择填充合适的介质使其成像最佳，具有重要意义。模型中测量物体的介电常数ε测量体为27，空气介电常数为1，对ε填进行梯度模拟实验，结果如图6 所示。不论半管流还是核心流，当ε填与ε测量体相同时，重构图像表现最佳的成像质量，因此在采用填补法电容层析成像方法测量相含率时，ε填应与测量区中较高的ε测量体相近或者一致。

图6 半管流和核心流在不同填充区介电常数下的图像重构效果Fig.6 Reconstruction images of half-tube flow and core flow with different permittivity in filling area

3.4 填补法图像重构算法改进

填补法测量时，填充区会占据电容信号的一定比例，导致真正的成像信号较弱。但填充区介电常数分布已知且可调，因此可通过固定或去除填充区信号的方式减少求解的维度，从而改善图像重构质量。据此，本文提出两种改进思路，即变换矩阵和拆分矩阵的Landweber 算法。前者在算法迭代过程中固定填充区介电常数矩阵，后者在迭代前在重构方程中把填充区分离。

对于本文几何模型和网格划分，ECT 测量模型为

矩阵的形式表达如下

Δε(k)理论上是对应标准图像(0,1)间的排布，即归一化介电常数矩阵，反映的是图像像素分布。

3.4.1 基于变换矩阵改进的Landweber 算法 建立变换矩阵P1、P2，将ε填与测量区的介电常数ε测量区对应的矩阵分离。ε填矩阵作为已知条件在Landweber迭代中保持不变，ε测量区矩阵则随迭代过程逐渐靠近真实解。

如式(4)所示，P1代表填充区区域，P2代表测量区域。P1、P2分别为与填充区排列点位置、测量区排列点位置相同者为1，其余位置为0的列向量作为对角阵的矩阵，维度为3228×3228。

由式(3)可知

变换矩阵的Landweber算法推导如下

保持填充区部分不变

测量区部分进行迭代

令填充区

其中，f(x,y)为与填充区位置相关的介电常数分布函数。ε填已知，将其代入归一化电容计算公式中，理论上可得f(x,y) = I，I 为单位矩阵。考虑到填充区全为单位矩阵时，迭代限制较为严格，会降低测量区的重构质量，则f(x,y) = H,H 为在Landweber算法下填充区作为测量成像的介电常数矩阵。此时，带有填充区的成像可以看作填充区与测量区待测形状的复合成像。ε填的分布会直接影响到待测图形的重构，因此在固定填充区时，需考虑填充区与测量区之间的相互关系，引入松弛因子调节两者的相互作用

其中，c1、c2、c3为松弛因子。以上为变换矩阵改进的Landweber 算法。此算法是在固定填充区矩阵的前提下进行搜索的，f(x,y)的选择影响较大。各表达式重构结果如图7 所示。通过松弛因子调节后，半管流重构效果良好，核心流重构效果较弱，此方法中的松弛因子与重构的关系值得进一步研究。

图7 不同函数下的变换矩阵重构结果Fig.7 Reconstruction results of transformation matrix with different functions

3.4.2 拆分矩阵改进的Landweber算法 由于ε填分布已知，在图像重构中可预先将其去除，以减少不适定问题的未知数个数，降低填充区带来的非线性影响，提高重构精度。由式（3）可知

因此，可通过拆分ε填矩阵与ε测量区矩阵重新构造求解公式，以降低求解的维度。

其中，a 表示填充区数据点的个数，S1表示填充区对应的敏感场，S2表示测量区对应的敏感场，G1表示ε填分布，G2表示ε测量区分布，b 表示去除填充区引起的电容变化值后的电容值，即仅由测量区物体引起的电容变化值。式（8）和式（9）即为拆分矩阵的Landweber重构算法。

3.4.3 图像重建结果比较 LBP、Landweber 迭代算法与Tikhonov正则化算法是目前ECT图像重构中应用广泛的算法。为探究不同算法在填充条件下的作用效果，对以上三种算法与变换矩阵改进的Landweber 算法、拆分矩阵处理的Landweber 算法结果进行对比，即2-b-甲，乙，丙，丁，戊。图8 是进行重构比较的图形结果，同时统计出了各算法重构所需要的时间，如表2所示。

图8中白色表示空气，黑色表示流体，灰色表示填充区。用上述算法分别对半管流、核心流、环状流、双管流和三管流进行图像重构。对于半管流，普遍存在不同程度的凹陷变形，变换矩阵-Landweber 方法一定程度上抑制了这种变形。对于核心流，重构效果普遍偏弱，这是敏感场的敏感度边壁强、中心弱的特性导致中心信号变化不强造成的。变换矩阵针对半管流成像效果较好。拆分矩阵在一定程度上增强了中心信号的显像，边缘较其他图像锐化。对于环状流，Landweber 算法与拆分矩阵-Landweber 方法重构质量较好。但是对于双管流和三管流复杂的流型，仅Landweber 算法、Tikhonov 算法和拆分矩阵算法能够重构有效图像，其中基于拆分矩阵算法的Landweber 算法重构质量较优。

图8 不同算法针对填补法成像的结果Fig.8 Results of different algorithms for thick wall imaging

图9 和图10 分别为以上算法的图像误差与相关系数的比较。由图可知，变换矩阵法在半管流的成像中图像误差最小，相关系数最大，优于其他算法。而在环状流的成像中，Landweber 算法与Tikhonov 算法成像较优。而拆分矩阵算法在以上流型的重构中处于中间效果，但图像成像清晰，失真程度在可接受范围内。针对复杂的双管流和三管流，Landweber 算法与拆分矩阵算法表现较优。综合比较计算时间（表2）和成像质量，基于拆分矩阵算法的Landweber 算法是一种最佳选择。接下来对此算法进行进一步优化研究。

表2 各重构算法的计算所需要的运行时间Table 2 Running time of each reconstruction algorithm

图9 不同算法的图像误差Fig.9 Image error of different algorithms

图10 不同算法的相关系数Fig.10 Correlation coefficient of different algorithms

3.4.4 拆分矩阵算法的优化策略 在Landweber 算法中，选择合适的α 才能获得较为逼近的成像效果[32]，类似地，可采用添加合适的松弛因子，改变搜索方向的步长来优化拆分矩阵法。

其中，c1和c2为松弛因子。c2控制最速下降方向上的步长长度，可用来改变图形分化的程度。c1控制原图保留的程度，调节c1值即调节原图的占比来弥补搜索方向上图形的失真。图11（a）为不同c1下用拆分矩阵法对半管流进行重构的图像。随着c1的增加，图像重构质量先变优后下降，即存在一个c1值使图像重构质量最佳。图11（b）为不同c2下用拆分矩阵法对双管流进行重构的图像。c2越大，图像越锐化，成像部分面积越小。这说明c2的物理意义是通过牺牲成像面积来增强图像清晰程度的。针对未知的流型，可先进行一系列的预实验，判断流型大致趋势，经过测试，可以给出同类型流型（如层流、环状流、气泡流等）的c1和c2的值，供实际测量时参考使用。图11（c）给出图8 中三管流成像在推荐参数下的优化成像。

图11 不同c1下的半管流成像、不同c2下的双管流成像及三管流优化过程Fig.11 Half-tube flow at different c1,double tube flow at different c2 and optimization of triple tube flow

4 一般非规则结构的填补法测量ECT技术应用

填补法可应用于ECT 探测在复杂结构或苛刻环境等不适宜直接在反应器壁上安装电极的情况。采用一般非规则结构，对上述填补法测量算法进行验证。选择：①填充区敏感场（填充区形状非规则）；②去填充区噪声的归一化电容值；③填充介质介电常数和测量区高介电常数一致；④基于拆分矩阵和松弛因子改进的Landweber 重构算法，对非规则结构进行不同高度层流下的图像重构。结果如图12 所示。由图可知，对浅层流、半管流和近满管流的图形重构精度较好。图像相关系数90%左右，重构时间在毫秒级，可满足一般化工过程测量及流动检测要求。

图12 针对非规则结构的填补法下的图像重构结果和图像重构评价指标Fig.12 Image reconstruction based on filling method for irregular structure and evaluation of image reconstruction

5 结 论

本文提出填补法ECT 技术用于测量不规则结构中的两相体系相含率。文中首先对ECT 敏感场特性进行比较，然后详细研究了不同背景的敏感场强度、归一化电容值矩阵、填充区介电常数大小以及图像重构算法对重构图像的影响，并提出了改进重构算法，优化了图像重构质量。总结上述研究，得出主要结论如下。

（1）填补法会增加敏感度，电容信号绝对值增强，非线性程度增加，信噪比降低。不同背景的敏感场对电容层析成像影响不大，但填充区敏感场可强化环状流成像。

（2）去除填充区结构噪声的电容值归一化处理有利于提高图像重构质量。

（3）当填充区介电常数与待测区两相中高介电常数一致时，图像成像质量最佳。

（4）变换矩阵法与拆分矩阵法均可在一定流型下改善成像。对于半管流，变换矩阵成像最优，但具有方向性，值得进一步深入优化研究；对于各种流型，综合计算速度和成像质量，拆分矩阵法是填补法成像的最优选择，并可通过选择松弛因子使重构图像更加准确。对同类型的流型可给出先验性的松弛因子提高成像质量。

（5）本文提出测量建议：采用填充区敏感场，采用去填充区噪声的归一化电容值，填充介质介电常数和测量区高介电常数一致，基于拆分矩阵和松弛因子改进的Landweber 重构算法，可用于不规则结构相含率测量中，还可用于因高温、腐蚀等无法直接进行电极安装的工业场合中，具有改进多相流测量方法的普遍意义。

致谢：感谢中国科学院工程热物理研究所王海刚研究员和英国曼彻斯顿大学杨五强教授在本文涉及的电容层析成像算法研究方面的帮助。

符 号 说 明

a——填充区单元数

b——剔除填充区引起的电容变化值后的归一化电容值

c1,c2,c3——变换矩阵和拆分矩阵的松弛因子

G,G1,G2——分别为归一化真实图像介电常数矩阵，拆分后的厚壁区、测量区归一化介电常数分布矩阵

H——在Landweber 算法下填充区作为测量成像的归一化介电常数矩阵

I——单位矩阵

P1,P2——分别为厚壁区、测量区对应的变换矩阵

S,S1,S2,S标,S填——分别为归一化敏感场矩阵，拆分后的厚壁区、测量区归一化敏感场矩阵，标准敏感场，带有填充区的敏感场

αk——Landweber算法里的松弛因子

ε0,εr,ε1,ε2,ε3,ε填,

ε测量区,ε测量体——分别为真空介电常数，传感器截面的介电常数分布，模型中测量区低介电常数，模型中测量区高介电常数，模型填充区物质的介电常数，泛指填充区介电常数变量，泛指测量区所有介电常数分布，泛指测量区中的测量物体的介电常数，C2/(N·m2)

λ——电极对归一化电容值

下角标

k——迭代次数