蓝藻生长时变系统非线性动力学分析及水华预测方法

王立，高崇，王小艺，刘载文



蓝藻生长时变系统非线性动力学分析及水华预测方法

王立，高崇，王小艺，刘载文

（北京工商大学计算机与信息工程学院，北京 100048）

为解决现有蓝藻生长动力学模型难以有效描述实际水体中蓝藻生长时变系统的非线性动力学特性，导致水华预测准确性不高的问题，构建蓝藻摄食和营养盐循环模型，并考虑水温、光照等主要影响因素随时间变化对蓝藻生长的影响，进一步建立蓝藻生长时变系统非线性动力学模型，对其常值参数采用遗传算法与数值算法结合的方法进行优化率定，对其时变参数采用多元时序方法进行建模预测，根据分岔理论及时变系统理论分析水华暴发行为的非线性动力学机理，实现对蓝藻生长时变系统的水华预测。通过太湖流域监测实例表明，与现有研究相比，引入时变参数的蓝藻生长动力学模型更能反映蓝藻生长时变系统下水华暴发行为的非线性动力学特性，其水华预测结果更为准确。

蓝藻；时变系统；水华；非线性动力学；预测；模型

引 言

由于我国工业化、城镇化进程快速推进，导致河湖水体富营养化程度日益严重，带来的一个突出的问题是蓝藻水华的暴发[1]。大规模的蓝藻水华降低了水资源利用效能，引起严重的生态破坏及巨大的经济损失，给公众健康带来极大隐患[2-4]，已经成为我国水环境污染的主要问题之一。国家环境保护部发布的《水污染防治行动计划》（简称“水十条”）提出“以改善水环境质量为核心，全力保障水生态环境安全”作为国家环境保护重点工程。

在蓝藻水华污染防治工作中，水华预测一直是个难点。目前的蓝藻水华预测模型主要分为数据驱动模型和机理驱动模型。其中，数据驱动模型又包括人工智能模型[5-12]和数理统计模型[13-16]，能够从大量数据信息中挖掘隐藏于系统中的内在规律，但无法解释蓝藻的暴发性生长即水华暴发行为的本质机理。机理驱动模型是对蓝藻生长过程进行生态动力学模拟，目前已从考察单一的总磷浓度发展到模拟水体中整个磷系统的循环[17-19]；从单纯考虑水体本身的营养盐循环发展到考虑底泥和水体界面的营养盐交换过程[20-22]；从对蓝藻生长过程的线性动力学模拟发展到非线性动力学模拟[23-24]。

然而，现有机理驱动模型大多将蓝藻生长动力学系统视为时不变系统[25-30]，其参数均为不随时间变化的常值，忽略了实际水体中水温、光照等影响因素随时间变化对蓝藻生长率和死亡率参数的影响，无法有效描述实际蓝藻生长时变系统的非线性动力学特征，从而难以实现蓝藻水华的准确预测。

本文将机理驱动建模与数据驱动建模方法结合，在蓝藻摄食和营养盐循环模型基础上，考虑水温和光照两类主要影响因素的时变特性，进一步提出蓝藻生长时变系统非线性动力学模型，采用智能优化算法和多元时序方法确定其常值参数和时变参数，分析蓝藻生长时变系统下水华暴发行为的分岔机理及水华暴发条件，解决蓝藻水华预测问题。

1 蓝藻生长时变系统非线性动力学建模

1.1 蓝藻生长非线性动力学建模

考虑蓝藻生长过程中蓝藻对营养盐的摄食行为和营养盐的循环特性，以叶绿素a浓度表征蓝藻生物量，根据Lotka-Volterra公式[21]，构建蓝藻摄食模型和营养盐循环模型如下

式中，a为叶绿素a浓度，为蓝藻生长率，为营养盐浓度，为蓝藻死亡率，0为营养盐浓度初值，N为营养盐吸收率，N为营养盐耗损率。

在实际水体中，蓝藻生长率和死亡率由水温、光照等影响因素决定，其关系如下

式中，T()、I()分别为水温和光照对蓝藻生长率的影响函数，max为蓝藻最大生长率，I为光照半饱和浓度，max为蓝藻最大死亡率。

1.2 时变系统非线性动力学建模

式(1)中所定义的蓝藻生长动力学系统是时不变系统，其参数蓝藻生长率和死亡率不随时间变化，但在实际中，由于水温和光照等影响因素随时间变化，由这些影响因素决定的蓝藻生长率和死亡率也随时间变化，因此，实际情况中蓝藻生长动力学系统是时变系统，将时变参数蓝藻生长率()和蓝藻死亡率()引入式(1)，构建蓝藻生长时变参数非线性动力学模型如下

其中，时变参数蓝藻生长率()和蓝藻死亡率()的模型为

(4)

式中，()、()分别为时刻的水温和光照。

2 时变系统模型参数确定

2.1 常值参数智能优化率定

蓝藻生长时变系统非线性动力学模型式(3)包含两个时变参数和众多常值参数。对于常值参数，可采用遗传算法进行智能优化率定。但目前基于遗传算法的参数率定主要针对单变量的一元微分方程，而式(3)为含有两个变量的多元微分方程组，无法直接应用。因此，本文将遗传算法与数值算法相结合，实现对式(3)的常值参数智能优化率定，具体步骤如下。

（1）设定初始化条件及初始化种群个体。

（2）适应度值评价。建立适应度函数

式中，为适应度值，at为叶绿素真实值，a()为叶绿素函数值，N为营养盐真实值，()为营养盐函数值。

由于多元微分方程组式(3)的结构复杂，无法得到a()和()的解析表达式，采用数值算法中的4阶Runge-Kutta算法，其数值积分表达为

其中，参数k具体表达式如下

参数m具体表达式如下

（3）选择、交叉、变异、重插入运算。

（4）遗传算法终止。根据个体的适应度值不断重复步骤（2）、步骤（3）形成新个体，当重复次数达到最大的遗传代数或适应度函数值不大于适应度阈值时，获得最优参数组合。

2.2 时变参数多元时序预测

对于时变参数，其影响因素水温()和光照()随时间变化，则监测数据为二元时间序列。

考虑实际水体中两个影响因素自身的时间累积趋势、季节的周期性变化和环境的随机干扰，将该二元时间序列进行特征项分解如下

式中，T()、I()为趋势项，T()、I()为周期项，T()、I()为随机项。

对趋势项建立二元回归模型

式中，T()、I()为二元回归函数。

对周期项建立二维潜周期模型

式中，Ti、Ii、Ti、Ii为幅值，Ti、Ii为角频率。

对随机项建立二元自回归模型

式中，(T,T)j、(T,I)j、(I,T)j、(I,I)j为自回归系数，T()、I()为白噪声。

考虑两个影响因素各特征项间的相关性，将3个模型参数联立求解，构建二元时间序列模型

由式(5)得到水温()和光照()预测值，由式(4)得到蓝藻生长率()和死亡率()预测值，再由式(3)得到叶绿素a浓度预测值。

3 时变系统水华暴发机理及水华预测

3.1 时变系统水华暴发机理分析

蓝藻水华预测的关键问题之一在于通过分析水华暴发行为确定其暴发的条件，而蓝藻水华暴发行为是由蓝藻的暴发性生长导致的一种典型分岔行为，因此根据分岔理论和时变系统理论分析蓝藻水华暴发行为的非线性动力学机理。

对式(1)求解蓝藻生长系统的平衡点

对两个平衡点进行动力学稳定性分析，首先对式(1)进行坐标变换。令，将其代入式(1)后，得到其线性部分Jacobin矩阵

由于第1个平衡点的叶绿素a浓度恒为零，无物理意义，因此研究第2个平衡点。第2个平衡点（*a2,*2）的Jacobin矩阵的特征值为

根据分岔理论，系统有如下特性。

当0-N<0时，1<0,2<0，平衡点不稳定；当0-N=0时，1<0,2=0，系统发生跨临界分岔；当0-N>0时，1<0,2>0，该平衡点稳定。

由于0-N>0时，叶绿素a浓度大于零，具有物理意义，因此对该情况做进一步分析。

引入时变参数蓝藻生长率()和死亡率()后，蓝藻生长时变系统的平衡点变为

相应地，Jacobin矩阵也变为

同样，第1个平衡点无物理意义，仅研究第2个平衡点（a2*(),2*()），Jacobin特征值为

时变系统产生振荡即蓝藻水华暴发条件为

(6)

由式(6)可知，蓝藻生长率和死亡率随时间变化，将会导致系统平衡点和蓝藻水华暴发的条件亦随时间变化。因此，时变系统的振荡过程不会收敛于某一平衡点，系统相轨迹将随时间不断偏离原先轨迹，导致系统达到水华暴发条件的次数并不唯一，出现水华多次暴发的行为。

3.2 时变系统水华预测

时变系统下蓝藻水华预测流程如图1所示。步骤如下：

（1）建立蓝藻生长时变系统非线性动力学模型；

（2）监测蓝藻水华相关指标数据及预处理；

（3）确定该模型的常值参数和时变参数；

（4）通过机理分析确定蓝藻水华暴发条件；

（5）重复步骤(2)～步骤(4)分析下一时刻数据,当所有参数达到水华暴发条件时，以此时叶绿素a浓度表示水华暴发程度，实现蓝藻水华预测预警。

4 实例验证

（1）数据监测及预处理

对江苏省太湖流域2010～2012年的叶绿素a浓度、营养盐（总氮）浓度、水温、光照数据进行监测，验证本文提出的蓝藻生长时变系统动力学分析及水华预测方法。共监测784 d的数据，每2 d监测1次。为方便分析，对叶绿素a浓度的原始监测数据进行了去异常值及标准化等预处理，如图2所示。

（2）蓝藻生长时变系统动力学模型参数确定

对常值参数进行智能优化率定，结果见表1。率定时水温、光照采用实际监测数据，常值参数率定后的模型对叶绿素a浓度拟合结果如图2所示。

对时变参数中的影响因素水温和光照进行多元时序建模，预测结果如图3和图4所示。

表1 常值参数率定结果

（3）时变系统水华暴发机理分析

将蓝藻生长率作为分岔参数，叶绿素a浓度随蓝藻生长率变化的跨临界分岔行为如图5所示。

由图5可知，当蓝藻生长率=0.0524时，满足0-N=0，系统发生跨临界分岔。

对蓝藻生长率取不同常值，时不变系统相轨迹见图6，系统相应的时间历程如图7、图8所示。

由图6～图8可知，当蓝藻生长率=0.0525时，满足，系统无振荡过程直接收敛于平衡点，即无水华暴发行为。

当蓝藻生长率和死亡率为时变参数时，将水温和光照的多元时序预测值代入蓝藻生长率和死亡率中，则蓝藻生长时变系统相轨迹如图9所示，其叶绿素a浓度和营养盐浓度的时间历程如图10所示。

由图9、图10可知，在时变参数影响下，系统平衡点随时间变化并不唯一，相轨迹呈不规则曲线且闭合成环，其与时间历程均具有显著的随机性和周期性，不再收敛于某一平衡点，导致系统多次达到水华暴发条件而出现多个叶绿素a浓度峰值。可见，时变系统模型可以解释蓝藻水华的多次暴发行为，以及其暴发频率的季节性和暴发程度的不确定性等特征。

（4）时变系统水华预测结果分析

为说明本文方法有效性，对叶绿素a浓度分别采用神经网络（BP算法）、深度学习（DBN算法）及时间序列方法预测，并将结果和时变系统预测进行对比，如图11所示。

由图11可知，根据时变系统水华暴发条件，在监测次数分别为60、257和316处发生3次水华暴发行为，其时变参数及叶绿素a浓度峰值见表2。

由表2可知，在3个水华暴发点处，蓝藻生长率和死亡率预测值均达到水华暴发条件，且时变系统模型对叶绿素a浓度达到峰值时刻的预测与监测数据一致，而其他方法则存在一定差距，因此，本文方法对水华暴发点的预测更为准确。

表2 水华暴发点时变参数及叶绿素a浓度峰值预测结果

对于整个蓝藻生长过程而言，其叶绿素a浓度预测结果的归一化均方误差如表3所示。

表3 蓝藻生长过程的叶绿素a浓度预测归一化均方误差

由表3可知，采用时变系统预测方法对整个蓝藻生长过程中叶绿素a浓度预测的归一化均方误差相比其他方法更低，因此，本文方法对蓝藻生长过程的预测精度也相对更高。

5 结 论

本文建立了蓝藻生长时变系统非线性动力学模型，提出了模型常值参数和时变参数的确定方法，通过对时变系统的分岔分析确定蓝藻水华暴发条件并实现水华预测。通过江苏太湖流域监测数据的实例验证，得出以下结论。

（1）针对现有方法不适用于确定时变系统模型参数的问题，由图2～图4及表1可知，所提出的智能优化率定和多元时序方法，实现了对时变系统模型的参数确定，且具有较高的适用性和有效性。

（2）与时不变系统非线性动力学模型相比，由图6～图8可知，时不变系统模型只能说明水华的单次暴发机理，而由图9、图10可知，时变系统模型可以解释水华的多次暴发机理，反映蓝藻生长过程的周期性和随机性特征，与实际情况中水华暴发的季节性和不确定性等特征更为相符。

（3）与现有数据驱动预测方法相比，由图11及表2、表3可知，由于时变系统模型结合了机理驱动模型和数据驱动模型的优势，不仅能够挖掘监测数据的相关关系，而且能够体现蓝藻生长各指标与水华暴发行为的因果关系，因而对水华暴发和蓝藻生长过程的预测结果更具有科学性和准确性。

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Nonlinear dynamics analysis and water bloom prediction of cyanobacteria growth time variation system

WANG Li,GAO Chong,WANG Xiaoyi,LIU Zaiwen

(1School of Computer and Information Engineering, Beijing Technology and Business University, Beijing 100048, China)

In order to solve the problem that the actual description of the water bloom behavior is not entirely conform to reality and water bloom prediction is not accurate enough by existing algae growth dynamics model due to the neglect of model parameters change with time, this paper builds cyanobacteria feeding and nutrient cycling model, and proposes algae growth dynamics model with time-varying parameters based on time variation influences of water temperature and illumination on model parameters. The calibration method for constant parameters of the model is optimized based on genetic and numerical algorithm. And the model time-varying parameters is modeled and predicted by multivariate time series method. Nonlinear dynamic mechanism of cyanobacteria bloom behavior is analyzed by bifurcation theory and time varying system theory, and then a new method of cyanobacteria bloom prediction is put forward. The monitoring data analysis of the Taihu River Basin in Jiangsu shows that cyanobacterial growth dynamics model with time-varying parameters can reflect nonlinear dynamic characteristics of cyanobacteria bloom behavior in cyanobacteria growth time-varying system. The model is more consistent with the actual situation, and cyanobacteria bloom prediction result is more accurate.

cyanobacteria; time varying system; water bloom; nonlinear dynamics; prediction; model

10.11949/j.issn.0438-1157.20161622

TQ 019

A

0438—1157（2017）03—1065—08

国家自然科学基金项目(51179002)；北京市市属高校创新能力提升计划项目(PXM2014_ 014213_000033)；北京市教委科技计划重点项目(KZ201510011011)；北京市教委科技计划一般项目(SQKM201610011009)。

2016-11-16收到初稿，2016-11-17收到修改稿。

联系人及第一作者：王立（1983—），女，博士，副教授。

2016-11-16.

WANG Li, wangli@th.btbu.edu.cn

supported by the National Natural Science Foundation of China(51179002), theInnovation Ability Promotion Project of Beijing Municipal Colleges and Universities (PXM2014_014213_000033), the Major Project of Beijing Municipal Education Commission Science and Technology Development Plans (KZ201510011011) and the General Project of Beijing Municipal Education Commission Science and Technology Development Plans (SQKM201610011009).