BS 疲劳寿命分布序-恒试验的统计分析★

徐晓岭，王蓉华，顾蓓青

（1.上海对外经贸大学统计与信息学院，上海 201620；2.上海师范大学数理学院，上海 200234）

0 引言

Birnbaum-Saunders 模型是概率物理方法中的一个重要失效分布模型，这个模型是Birnbaum 和Sauders 在1969 年在研究主因裂纹扩展导致的材料失效过程中推导出来的，这一模型在机械产品可靠性研究中应用广泛，主要应用于疲劳失效研究，对于电子产品性能退化失效分析也有重要意义。

设某产品的寿命T服从两参数Birnbaum-Saunders 疲劳寿命分布BS（α，β）（简称BS 疲劳寿命分布），其分布函数F（t）与密度函数f（t）分别为：

式（1）中：α——形状参数，α>0；

β——刻度参数（或者称为尺度参数），β>0；

由于Birnbaum-Saunders 疲劳寿命分布是从疲劳过程的基本特征出发导出的，因此它比常用寿命分布如威布尔分布、对数正态分布更适合描述某些由于疲劳而引起失效的产品寿命规律。此分布已经成为可靠性统计分析中的常用分布之一。

关于两参数Birnbaum-Saunders 疲劳寿命分布BS（α，β）的统计分析已有众多的文献做了研究，在此不一一列举，而其中涉及其加速寿命试验统计分析的文献并不多。1996 年王炳兴与王玲玲在文献[1]中假设刻度参数满足对数线性模型下给出了BS 疲劳寿命分布恒定应力加速寿命试验参数的拟最小二乘估计。2000 年W Jason Owen 和William J Padgett 在文献[2]中假设刻度参数满足逆幂律模型下研究BS 疲劳寿命分布步进应力加速寿命试验，给出了参数估计方法，并分析了从铝片切下的矩形条在最大应力的3 个水平试验下失效的疲劳寿命数据。2016 年Sun Tianyu 和Shi Yimin 在文献[3]中假设刻度参数满足逆幂律模型下给出了BS 疲劳寿命分布步进应力加速寿命试验参数的极大似然估计与贝叶斯估计。

1 逆幂律模型和Nelson 假定

逆幂律模型是指以电压为加速应力时，根据物理原理和实验的经验总结，发现有些产品（如绝缘材料、电容器、微型电机和某些电子器件等）的刻度参数β（单位：h）和电压（单位：V）之间有如下的逆幂律关系：，其中d>0，c>0 都是常数。当产品是电子元器件时，物理实验表明c仅与元器件的类型有关，而与其规格无关。

对上式两边取对数后，即β满足对数线性关系：是应力V的函数。

关于步进应力或序进应力加速寿命试验的统计分析大多是建立在Nelson 假定（简称CE 模型）基础上的。

Nelson 假定其实就是一种“时间折算”，即如果持续在一个恒定应力，未失效产品会根据该应力下的分布函数来失效，但是要从以前累积失效的部分开始。

设在恒定应力Vi，i=1，2 下产品的寿命Ti服从两参数BS（α，β），其分布函数为：

由Nelson 假定知：

2 BS 疲劳寿命分布在序进-恒定应力加速寿命试验下的失效模式

我们考虑序进-恒定应力加速寿命试验，即将n个产品在序进应力V（t）=Kt+V1，V1>0 下做加速寿命试验，考虑到应力过大会造成产品的失效机理的改变，故产品在序进应力V（t）=Kt+V1下试验持续到时间τ后（其间共有r个产品失效）将试验应力稳定在Kτ+V1继续做试验，直至产品全部失效为止。

此时应力水平可表示为：

首先，考虑产品在序进应力V（t）=Kt+V1，V1>0 下的加速寿命试验，到时间τ共有r个产品失效。假定在应力V1下产品的寿命分布服从两参数BS 疲劳寿命分布BS（α，β1），而刻度参数β1满足逆幂律模型β1=

由文献[5] 可知：在应力V（t）=Kt+V1，V1>0 下工作了t时间，相当于在恒定应力V1下工作的时间为：

则产品在序进应力V（t）=Kt+V1，V1>0 下的寿命分布为：

特别地，当V1=0 时，即产品在序进应力下的寿命分布为：

其次，产品在序进应力V（t）=Kt+V1下试验持续到时间τ后，未失效的产品在恒定应力Kτ+V1下继续做试验，直至余下的n-r个产品全部失效为止。

在恒定应力Kτ+V1下产品工作的时间记为t-τ（都是从时刻0 算起），其“相当于”在应力V1下的工作时间为：

由此在时刻τ未失效的产品，其工作至t时刻时的工作时间“相当于”在应力V1下的工作时间为：

此时，产品的寿命分布为：

特别地，当V1=0 时，此时，产品的寿命分布为：

3 BS 疲劳寿命分布产品在序进-恒定应力（V1=0）加速寿命试验下的可靠性统计分析

考虑序进-恒定应力加速寿命试验。将n个产品在序进应力V（t）=Kt下做加速寿命试验，试验持续到时间τ后（其间共有r个产品失效，次序失效时间记为t（1），t（2），…，t（r））将试验应力稳定在Kτ+V1对未失效的产品继续做试验，直至产品全部失效为止，次序失效时间记为t（r+1），t（r+2），…，t（n）。

似然函数为（其中C+为正常数）：

注意到：

例：取样本容量n=20，K=4，而参数真值取为d=2，c=1，α=3，τ=1，此时m=4，通过Monte-Carlo 模拟产生20 个序进-恒定应力下的随机数如下：

4 结束语

论文基于刻度参数满足逆幂律模型和Nelson假定，详细地推导了Birnbaum-Saunders 疲劳寿命分布产品在序进-恒定应力加速寿命试验下的失效分布，并在V1=0 的情况下给出了参数的极大似然估计，通过Monte-Carlo 模拟算例说明了该方法的可行性。