分数布朗运动下具有机制转换的欧式期权定价

李雨珊,薛 红

(西安工程大学 理学院,陕西 西安 710048)

0 引 言

1 金融市场数学模型

1.1 标的资产价格模型

假设标的资产价格{S(t),t≥0}满足随机微分方程

(1)

μt=<μ,Xt>,μ:=(μ1,μ2,…,μN)∈RN

σt=<σ,Xt>,σ:=(σ1,σ2,…,σN)∈RN

其中<·,·>表示向量的内积,{Xt,t≥0}为连续时间Markov链,表示不同市场经济状态之间的转换。{Xt,t≥0}的取值空间为{e1,e2,…，eN},其中ei=(0,…,1,0,…,0)∈RN;(μi,σi)为第i个状态时的标的资产期望收益率和波动率。Markov链的一步转移概率矩阵为

(2)

式中：pij(t)=P{σ(s+t)=σj|σ(s)=σi}。

根据Wick积分[20]，求得随机微分方程(1)的解为

(3)

当{Xt,t≥0}为单状态Markov链时,即退化为文献[9]中分数Black-Scholes定价模型,此时标的资产价格满足

(4)

式(4)的解为

(5)

式(4)、(5)中标的资产期望收益率μ、波动率σ均为常数。

1.2 参数估计

(6)

极差为

(7)

Hurst建立如下关系:

(R/S)n=KnH

(8)

式中：K为常数；H为Hurst指数。对式(8)两端取对数，并进行最小二乘回归分析，即可求出H的估计值。

1.2.2 期望收益率与波动率 依据标的资产价格的历史数据,采用移动平均模型估计日波动率，即用过去M天的收益率动态地估计下一天的波动率σd，

(9)

式中：

(10)

(11)

将σd、μd转化为年波动率。假设每年交易天数为252 d,故

(12)

μy=252μd

(13)

2 欧式期权定价

2.1 欧式期权保险精算价格

设C(K,T,Xt),P(K,T,Xt)分别为到期日为T,执行价格为K的欧式看涨和看跌期权的保险精算价格,由文献[21]知：

C(K,T,Xt)=E[(exp(-μt(Xt)T)S(T)-

exp(-rt(Xt)T)K)+]

(14)

P(K,T,Xt)=E[(exp(-rt(Xt)T)K-

exp(-μt(Xt)T)S(T))+]

(15)

其中风险资产S(T)的贴现值为

exp(-μt(Xt)T)S(T)

执行价格K的贴现值为

exp(-rt(Xt)T)K

特别地,在分数阶Black-Scholes模型中,到期日为T、执行价格为K的欧式看涨和看跌期权的保险精算价格[22]为

C(K,T)=S(0)N(d1)-

exp(-rT)KN(d2)

(16)

P(K,T)=exp(-rT)KN(-d2)-

S(0)N(-d1)

(17)

式中：

2.2 蒙特卡洛模拟法

一般情形下,式(16)、(17)无法得到具体计算表达式,因此选择蒙特卡洛模拟法对期权价格进行数值模拟计算。具体模拟计算步骤如下:

1) 将距到期日时间[0,T]划分成n个小区间[ti,ti+1],i=0,1,…,n-1；

2) 确定分数布朗运动的有限维分布

其中Cn=(σij)n×n,

|ti-tj|2H),i,j=1,2,…n

3) 对Cn进行Cholesky分解[23],分解因子矩阵为

4) 生成一组服从标准正态分布的随机数列向量G，G=(G1,G2,…Gn)T～N(0,In×n)。

6) 由式(3)知标的资产价格过程的离散形式为

S(ti)=S0exp(μti(Xti)ti-

(18)

其中S(ti)表示ti时刻标的资产的价格；

7) 根据式(14)、式(15)计算该条路径下期权零时刻价格；

8) 重复步骤2)到步骤7),通过模拟m条样本轨道,计算零时刻看涨期权及看跌期权价格的平均值Cmc、Pmc：

(19)

(20)

图 1 标的资产价格样本轨道Fig.1 Sample tracks of underlying asset price

例2欧式看涨期权价格模拟计算:采用例1标的资产数据,考虑一个3个月后到期的欧式看涨期权,执行价格K=2.6。利用蒙特卡洛模拟方法计算该期权价格，结果见表1。

表 1 不同模拟次数下欧式看涨期权的模拟价格Tab.1 European call option price under different simulation times

由表1可知,当模拟次数达到1 600次以上时,期权模拟价格趋于稳定。

3 实证分析

3.1 数据选取

选取上证50ETF期权交易数据作为样本进行实证分析,数据来源于Wind,中国债券信息网。

1) 选取标的资产50ETF样本数据,区间为2015年2月11日—2020年11月13日(1 401个交易日),获取每日收盘价进行统计分析,确定波动率等参数。

2) 选取2018年3月12日上市的不同到期日、不同执行价格的上证50ETF看涨期权合约样本数据进行隐含波动率分析。

3) 选取2020年10月9日上市,到期日分别为2020年11月25日、2020年12月23日及2021年3月24日的上证50ETF期权合约(看涨期权合约39份，看跌期权合约39份)进行期权数值模拟分析。

3.2 数据检验

运用Matlab软件,分析上证50ETF价格的自相关系数及看涨期权隐含波动率,结果如图2、3所示。

图 2 上证50ETF价格自相关系数Fig.2 Autocorrelation of SH50ETF

图 3 看涨期权隐含波动率曲面图Fig.3 Implied volatility surface of call options

从图2可看出，自相关系数衰减的速度很慢,且没有落入2倍标准差范围内,因此上证50ETF价格序列具有长记忆性。利用1)中的上证50ETF样本数据,采用1.2.1中R/S估计法，得到Hurst指数估计值为0.618 6,进一步说明了上证50ETF的收益率序列具有长相依性。

从图3可看出,标的资产价格波动率并不是常数,而是呈现出明显的“波动率微笑”现象。

分别用分数布朗运动环境下具有机制转换的期权定价模型(F-RM模型)、几何布朗运动环境下具有机制转换的期权定价模型(B-RM模型)、分数Black-Scholes期权定价模型(F-BS模型)对3)中选择的期权样本数据进行实证分析。

3.3 参数确定

选取2019年1月2日到2019年12月31日的上证50ETF价格,利用Matlab软件,模拟标的资产价格收益率序列概率密度曲线,如图4所示。图4(a)、(b)、(c)依次为几何布朗运动环境下具有机制转换的资产价格收益率概率密度曲线、分数布朗运动环境下资产价格收益率概率密度曲线、分数布朗运动环境下具有机制转换的资产价格收益率概率密度曲线。

(a)几何布朗运动+机制转换 (b)分数布朗运动 (c)分数布朗运动+机制转换图 4 不同环境下模拟标的资产价格收益率序列概率密度Fig.4 Probability density of underlying asset price return rate in different environments

由图4可以看出,分数布朗运动环境下具有机制转换的数学模型较好地拟合了真实标的资产价格收益率概率密度曲线。

3.4 上证50ETF期权价格数值模拟

利用2.2蒙特卡洛模拟方法,模拟计算3.1中样本数据3),分别得到分数布朗运动环境下具有机制转换的期权定价模型(F-RM模型)、几何布朗运动环境下具有机制转换的期权定价模型(B-RM模型)和分数Black-Scholes期权定价模型(F-BS模型)的数值模拟结果,如表2所示。

表 2 不同模型下上证50ETF期权的模拟价格Tab.2 SH50ETF option simulation prices in different models

到期日看涨期权实际价格F-RMF-BSBS-RM看跌期权实际价格F-RMF-BSBS-RM2020-12-230.263 6 0.276 6 0.297 1 0.297 7 0.058 8 0.031 1 0.021 0 0.024 92020-12-230.198 4 0.201 5 0.234 1 0.231 2 0.092 7 0.074 4 0.048 1 0.052 9 2020-12-230.142 2 0.140 8 0.155 9 0.151 8 0.137 0 0.094 3 0.078 0 0.085 6 2020-12-230.101 3 0.089 9 0.123 0 0.135 9 0.193 6 0.145 6 0.130 2 0.141 2 2020-12-230.070 6 0.059 0 0.049 1 0.057 5 0.264 9 0.213 1 0.190 1 0.203 6 2020-12-230.048 8 0.040 7 0.028 9 0.030 5 0.346 0 0.268 4 0.233 7 0.282 6 2020-12-230.035 7 0.026 3 0.012 7 0.019 5 0.431 9 0.379 8 0.364 5 0.371 2 2020-12-230.026 4 0.015 4 0.006 1 0.008 3 0.514 4 0.476 1 0.448 0 0.456 6 2020-12-230.020 0 0.009 3 0.005 4 0.006 7 0.609 3 0.584 2 0.570 4 0.557 1 2021-03-240.418 1 0.437 8 0.455 8 0.441 6 0.060 4 0.036 8 0.021 2 0.036 2 2021-03-240.371 3 0.390 2 0.422 8 0.430 5 0.071 8 0.043 0 0.033 4 0.039 5 2021-03-240.308 7 0.327 2 0.349 6 0.351 4 0.086 0 0.059 6 0.041 1 0.051 5 2021-03-240.253 8 0.263 1 0.284 6 0.281 3 0.119 1 0.072 6 0.055 9 0.065 4 2021-03-240.208 0 0.209 7 0.224 4 0.233 1 0.160 5 0.112 7 0.106 0 0.117 9 2021-03-240.162 4 0.153 4 0.146 9 0.186 2 0.211 2 0.162 7 0.148 7 0.154 4 2021-03-240.128 9 0.136 2 0.103 1 0.162 8 0.268 4 0.214 5 0.189 8 0.196 5 2021-03-240.101 3 0.110 0 0.081 2 0.115 3 0.334 0 0.313 8 0.283 1 0.273 8 2021-03-240.080 0 0.071 9 0.063 2 0.068 7 0.408 7 0.353 8 0.322 0 0.335 2 2021-03-240.448 0 0.462 6 0.490 5 0.486 9 0.477 3 0.396 5 0.376 2 0.407 7 2021-03-240.065 1 0.059 5 0.032 9 0.072 1 0.563 1 0.495 2 0.465 7 0.477 1

3.5 误差分析

平均相对误差(EMAPE)为

均方误差(EMAE)为

EMAE注重测量模型定价偏离实际价格的方向及幅度,EMAPE注重测量定价误差的相对幅度,EMSE注重测量定价误差的绝对幅度。由表2可计算出不同期权定价模型的平均绝对误差、平均相对误差及均方误差,结果如表3所示。对于上证50ETF期权而言,分数布朗运动环境下具有机制转换的期权定价模型各种误差均较小,优于其他模型,因此能更好的适用于实际金融市场。

4 结 语

本文考虑标的资产价格的长程相依性及“波动率微笑”现象,建立了分数布朗运动环境下具有机制转换的期权定价模型,利用保险精算方法和蒙特卡洛模拟对欧式期权价格进行数值模拟分析,并选取上证50ETF样本数据进行统计分析和实证模拟计算。研究结果表明:分数布朗运动环境下具有机制转换的期权定价模型优于其他传统的期权定价模型,其数值模拟价格与真实市场价格偏差较小。因此，该模型更适用于实际金融市场,为投资者提供决策依据。