具有 Neumann 边界条件的平均曲率方程解的估计

赵晓阳

(曲阜师范大学数学科学学院,273165,山东省曲阜市)

0 引 言

曲面的平均曲率在几何分析中是非常重要的概念. 假设Ω是n中的光滑且有界区域,u为Ω上的光滑函数,那么就可以得到u的图的平均曲率为

通常情况下,平均曲率方程有两种形式,第一种形式可以表示为

描述的是u(·,t) 的图以平均曲率的大小和方向移动的曲面的演化. 第二种形式可以表示为

描述的是u(·,t) 的图以平均曲率的大小沿着xn+1的方向移动的曲面的演化. 以上两种形式的方程已经有了很多比较关键的研究,可以参考文献[1,6-9]

在本文中,我们研究的是与第一种形式有关的方程

(*)

其中f(x,u) 是定义在 Ω×的光滑函数.

对于方程 (*),Guan[4]研究了当n≥2 时,下面的预定夹角边界值条件的平均曲率方程

Xu[10]考虑的下面的平均曲率方程

其中fz(x,z,p)≥0,Ω⊂n为有界的C3区域,n≥2,T为固定的正常数. 并且得到估计

在 Xu 之前的研究中,fz≥0 是很重要的条件. 在本文中,将借助新的辅助函数,并把条件减弱为fz≥-κ,κ≥0,对n=2 时进行研究.然后利用极大值原理和 Ma-Xu[8]中的方法去得到边界梯度估计.

1 主要结果

定理1.1 设 Ω⊂2是一个有界的C3区域.ν为单位内法向量. 对固定的T>0,假设是方程

(1.1)

(1.2)

(1.3)

fz(x,z)≥-κ,

(1.4)

|fx(x,z)|≤L1,

(1.5)

(1.6)

则存在一个常数μ0使得对固定的T>0,有估计

引理1.2[3]假设对于固定的T>0,u∈C3(Ω)×[0,T] 是方程 (*) 的解,并且有 |u|≤M0,如果f(x,u)∈C1(Ω×[-M0,M0]) 满足 (1.4) 和 (1.5),则对任意的子区域 Ω′⊂Ω,可以得到

定理1.3 设 Ω⊂2是一个有界的C3区域.ν为单位内法向量. 在 (1.4)-(1.6) 的条件下,对α∈(0,1),方程 (*)存在唯一的解.

在第 2 节中将给出一些定义和符号,并且可以得到下面的估计

(1.7)

|Du|≤C′,

(1.8)

其中μ0是一个固定的足够小的正常数.

2 |ut|估计

d(x)=dist(x,∂Ω),Ωμ={x∈Ω:d(x)<μ},

|Dν|+|D2ν|≤C(n,Ω),

νiDjνi=0,νiDiνj=0,|ν|=1.

(2.1)

定义

Cij=δij-νiνj,

(2.2)

对于向量ξ∈2,记ξ′ 表示具有第i分量为Cijξj的向量. 所以

(2.3)

(2.4)

现在开始建立 (1.7). 然后在下一节中得到 (1.8).

引理2.1 对于方程 (1.1)-(1.3),假设fu≥-κ. 则有估计式

先假设t0>0,则有两种可能性: (1)x0∈∂Ω; (2)x0∈Ω.

(1)x0∈∂Ω. 将方程 (1.1) 两边分别对t进行求导,得到

(2.5)

然后可以得到

(2.6)

由于fu≥-k,则 e-ktut满足椭圆方程的强极值原理.然后由边界条件可以得到utν=ψt=0,与 Hopf 引理矛盾. 所以 (1) 不存在.

3 |Du|估计

现在开始证明定理 1.1.

证明根据 Ma-Xu[8]中的方法,令w=u-ψ(x)d,我们选择下面的辅助函数

(3.1)

其中μ0是一个小于μ1的正常数.α,λ是正常数,并将在之后给出.

情形1x0∈∂Ωμ0∩Ω. 通过引理 1.2,可以得到梯度估计.

情形2x0∈∂Ω. 如果 Φ(x) 在 (x0,t0)∈∂Ω×[0,T′] 处达到最大值,那么在 (x0,t0),有

(3.2)

因为

wi=ui-ψxid-ψνi,

(3.3)

(3.4)

在边界 ∂Ω 上有

实习后，很多护生开始对当前高风险、高奉献、低收获的职业困境产生思虑。由于个体间差异及实习经历不同，实习护生对护理行业的情感体验不尽相同。部分护生虽有心理落差，但对护士角色存在认同(“感觉和未来又接近了一步……无愧于‘白衣天使’的称号”[1])；部分护生对护理职业前景产生动摇(“希望能考取公务员，或者做护理教师”[7]，“我要开始做两手准备……有合适岗位，我肯定会转行”[8])。

(3.5)

(3.6)

结合 (2.1),(2.3) 和 (3.6),可以得到

(3.7)

(3.8)

接下来有

(3.9)

将 (3.9) 代入到 (3.7) 中,并结合 (1.2),(3.2),有

(3.10)

根据 (3.3) 可以在边界上得到

|Dw|2=|Du|2-ψ2.

(3.11)

(3.12)

|Dw|2≥50.

(3.13)

将 (3.12) 和 (3.13) 代入到 (3.10) 中,可以得到

|Dw|2log|Dw|2>0,

(3.14)

(3.15)

和 Hopf 引理矛盾,那么可以得到

|Du|(x0)≤C.

(3.16)

情形3x0∈Ωμ0. 在这个假设下,x0是 Φ 的临界点. 在这里,使用w在x0处选择一个特殊的坐标系,使得

w1(x0,t0)=|Dw|(x0,t0)>0,w2(x0,t0)=0.

因为w=u-G,G=ψ(x)d,那么就有

wk=uk-Gxk,

(3.17)

因此在 (x0,t0) 处有

w1=u1-Gx1=u1-ψx1d-ψν1,

0=w2=u2-Gx2=u2-ψx2d-ψν2.

(3.18)

在 (x0,t0) 点,可以假设

(3.19)

否则可以得到 |Du|(x0) 的界限. 那么

(3.20)

通过前面的准备,可以将 |Du|(x0,t0) 的估计分成3个步骤. 正如之前所描述的,所有的计算都是在固定点 (x0,t0) 来进行的.

(3.21)

(3.22)

继续对 Φi求导数,

(3.23)

那么,根据方程 (1.1),

(3.24)

根据下面得到的 |Dw|2的一阶和二阶导数

(3.25)

(3.26)

(3.27)

(3.28)

(3.29)

(3.30)

其中D1f=fx1+fuu1. 根据 (2.4) 可以得到

(3.31)

通过 (3.31) 和 (3.30),可以得到

(3.32)

将 (3.32) 代入到 (3.29),有

(3.33)

通过 (3.33) 和 (3.28),得到

(3.34)

步骤3 将继续对 (3.34) 的每一项进行估计. 然后就结束证明并得到估计(1.5).

根据 Φi(x0,t0)=0 和公式 (3.26),可以得到对i=1,2,

w1i=-αw1logw1νi,

(3.35)

将w1i=u1i-Gx1xi代入到 (3.35) 中,根据选择的坐标系,可以得到对i=1,2,

u1i=-αw1logw1νi+Gx1xi,

(3.36)

通过 (3.35) 和 (3.36),可以得到

(3.37)

并且根据 (1.4) 和 (1.5),可以得到

(3.38)

将 (3.37),(3.38) 代入到 (3.34) 中,最终得到

因此得到了在x0∈Ωμ0点的界限 |Du|(x0,t0).

定理1.3的证明对于T>0,方程 (1.5) 在 Ω×[0,T] 上是一致抛物方程. 由定理1.1,引理1.2 和ut估计,并结合偏微分方程的标准理论可以完成定理 1.3 的证明.