模的Auslander投射维数*

何东林, 李煜彦

(陇南师范高等专科学校数学与信息科学学院，742500，甘肃省陇南市)

半对偶双模在交换代数的对偶理论中扮演着重要角色.Foxby[1],Vasconcelos[2]和Golod[3]分别研究了交换Noether局部环上的半对偶模.White[4]讨论了关于半对偶模的 Auslander类和Bass类.随后,Holm和White[5]将半对偶模的概念推广到任意一对结合环R和S上,并研究了半对偶双模RCS的Auslander类和Bass类,分别记作AC(S)和BC(R).Tang 和Huang[6]讨论了模的关于Bass类BC(R)的内射维数.基于以上研究背景,本文主要研究模的关于Auslander类AC(S)的投射维数,给出左S-模M的Auslander投射维数AC(S)pd(SM)≤n的若干等价刻画.

1 定义与引理

定义1[5]称满足下列条件的左S-模组成的类为关于半对偶双模RCS的Auslander类,记为AC(S).

定义2 设M是左S-模.若存在正合列0→An→…→A1→A0→M→0,其中Ai∈AC(S)(0≤i≤n),则称模M的Auslander维数小于等于n,记作AC(S)pd(SM)≤n.并记AC(S)pd(SM)=inf{n|AC(S)pd(SM)≤n}.若这样的非负整数n不存在,那么记AC(S)pd(SM)=+∞.

引理1 模类AC(S)包含所有投射左S-模且关于扩张和满同态的核封闭.

证明由文献[9]中定理6.2易证.

引理2[5]设RCS是半对偶双模,则模类IC(S)={HomR(C,I)|I是内射左R-模}关于直积和直和因子封闭.

引理3[9]设x,y是Abel范畴A上的子范畴,x是y的余生成子且x关于直和因子封闭,则y∩y⊥⊆x.

2 主要结论

证明不妨设AC(S)pd(SM)=n<+∞.下面对n用数学归纳法.

当n=0时,有AC(S)pd(SM)=0.易知M∈AC(S),结论成立.

(1)

(2)

假设结论对于n-1成立,下面讨论对n的情形.由AC(S)pd(SM)=n知,存在正合列

0→An→…→A1→A0→M→0,

(3)

(4)

综上所述,M∈AC(S).

定理2 设M是左S-模,AC(S)pd(SM)<+∞且n为非负整数,则以下条件等价：

(1)AC(S)pd(SM)≤n；

(2)对任意m≥n有Ωm(M)∈AC(S)；

可得正合列

0→Ωn(M)→Pn-1⊕An→Pn-2⊕An-1→…→P0⊕A1→M⊕A0→M→0.

(5)

因为0→A0→A0⊕M→M→0可裂,所以序列

0→Ωn(M)→Pn-1⊕An→Pn-2⊕An-1→…→P0⊕A1→A0→0.

(6)

由引理1知,Pi∈AC(S)(0≤i≤n).又因为AC(S)关于有限直和及满同态的核封闭,所以Ωn(M)∈AC(S).而在正合列0→Ωn+1(M)→Pn→Ωn(M)→0中Pn∈AC(S),由引理1知Ωn+1(M)∈AC(S).依次类推可得,对任意m≥n都有Ωn(M)∈AC(S).

(7)

(8)

又因为AC(S)pd(SM)<+∞,所以AC(S)pd(K)<+∞.根据定理1可得K∈AC(S).因此AC(S)pd(SM)≤n.

命题1 IC(S)是AC(S)的内射余生成子.

(9)

另一方面,对任意HomR(C,I)∈IC(S)和任意i≥1,有同构

(10)

命题2 AC(S)∩AC(S)⊥⊆IC(S).

证明由引理2知,IC(S)关于直和因子封闭.又由命题1知,IC(S)是AC(S)的内射余生成子.根据引理3可得AC(S)∩AC(S)⊥⊆IC(S).

定理3 设0→U→V→W→0是左S-模正合列,

(1)若V∈AC(S),则AC(S)pd(W)≤AC(S)pd(U)+1.

(2)若U∈AC(S),则AC(S)pd(V)≤AC(S)pd(W).

(3)若W∈AC(S),则AC(S)pd(U)≤AC(S)pd(W).

证明(1)设V∈AC(S).若AC(S)pd(U)=+∞,则AC(S)pd(W)≤AC(S)pd(U)+1显然成立.若AC(S)pd(U)<+∞,不妨设AC(S)pd(U)=n,则存在长度为n的正合列0→An→…→A1→A0→U→0,其中Ai∈AC(S)(0≤i≤n).将上式与序列0→U→V→W→0拼接可得正合列

0→An→…→A1→A0→V→W→0,

(11)

因为Ai∈AC(S)(0≤i≤n)且V∈AC(S),所以AC(S)pd(W)=n+1,即AC(S)pd(W) ≤AC(S)pd(U)+1成立.

(2)设U∈AC(S).若AC(S)pd(W)=+∞,则AC(S)pd(V)≤AC(S)pd(W)显然成立.若AC(S)pd(W)<+∞,不妨设AC(S)pd(W)=m,则存在正合列

(12)

(3)设W∈AC(S),若AC(S)pd(V)=+∞,则AC(S)pd(U)≤AC(S)pd(V)显然成立.若AC(S)pd(V)<+∞,不妨设AC(S)pd(V)=l,则存在正合列

(13)

图2U→V和A0″→V的拉回图