一类具有对数非线性项的伪抛物方程的初边值问题*

陈 文, 李傅山

(曲阜师范大学数学科学学院,273165,山东省曲阜市)

0 引 言

近年来,生物数学、数学物理等交叉应用学科蓬勃发展,以及非线性偏微分方程在经济工程等领域中的广泛应用,使得非线性偏微分方程受到越来越多的国内外学者的高度关注.非线性抛物问题的解的整体存在性[1]和爆破现象[2-6]成为研究热点.

国内外学者们对下述非线性伪抛物方程[7]进行了大量研究

ut-div(|∇u|p-2∇u)-Δut=f(u), (x,t)∈Ω×(0,T).

(0.1)

受上述研究工作的启发,本文主要讨论如下一类非线性伪抛物方程的初边值问题

(0.2)

1 预备知识

现在给出问题 (0.2) 的弱解的基本定义如下.

(ut,v)+(∇u,∇v)+(∇ut,∇v)=(|u|p-1uln|u|,v)

(1.1)

(1.2)

其次,将方程(0.2)两边同时乘以ut,并在Ω上积分,利用分部积分得到

(1.3)

受(1.2)和(1.3)式启发,定义Nehari泛函I(u)和能量泛函J(u)如下

由上述泛函定义,可知

(1.4)

此外,定义与问题(0.2)的稳定状态相关的Nehari流形为

并定义势阱集和势阱深度如下:

对于δ>0,引入

2 主要结果及其证明

现在,给出本文的主要结果.

(2.1)

接下来,我们给出以下几个重要引理及命题,它们在主要结果的证明中起重要作用.

引理2.3 (ⅰ)对任意的μ>0,y≥1,则不等式y-μlny≤(eμ)-1成立;

(ⅱ)对任意的ν>0,0

‖u‖p≤C(p,q,n,Ω)‖∇u‖q

(ⅱ)存在λ*>0使得J(λu)在(0,λ*)上单调递增,在(λ*,+∞)上单调递减,在λ=λ*处取得最大值;

证明(ⅰ)对于λ>0,由J(u)的定义可知

由于‖u‖p+1≠0,则知结论(ⅰ)成立.

(ⅱ)经计算,得到

(2.2)

(ⅰ)如果0<‖∇u‖20；

(ⅱ)如果Iδ(u)<0,则‖∇u‖2>r(δ);

证明利用引理2.3和引理2.4,可得

(ⅰ)若I(u0)>0,则有I(u(t))>0,对任意的t∈[0,T);

(ⅱ)若I(u0)<0,则有I(u(t))<0,对任意的t∈[0,T),T为u(x,t)的最大存在时间.

证明将等式(1.3)两端同时在(0,t)上积分,由J(u)的定义,可得

(2.3)

用反证法.当I(u0)>0时,若存在t1∈(0,T)使得I(u(t1))<0,由I(u)的连续性及零点存在定理,可知存在t0∈(0,t1)使得I(u(t0))=0,I(u(t))>0,0

I(u(t))=-(ut,u)-(∇ut,∇u)>0, 0

(2.4)

另外,由I(u(t0))=0可知‖∇u(t0)‖2≥r(1)≠0,由d(δ)的定义,可知J(u(t0))≥d,t>t0,这与(2.4)式矛盾.

当I(u0)<0时,若存在t2∈(0,T)使得I(u(t2))=0,I(u(t))<0,0

另外,由引理2.6及I(u(t))<0,0≤t

现在,证明本文的主要结果.

定理2.1的证明

第1步:当 0

(2.5)

使得

(2.6)

且当m→∞时,

(2.7)

(2.8)

(2.9)

且

(2.10)

由等式(2.8)可推知,

(2.11)

(2.12)

由引理2.3和引理2.4,可得

(2.13)

联合 (2.12),(2.13)式,可以推导出

从而可得

(2.14)

|u(m)|p-1u(m)ln |u(m)|→|u|p-1uln |u|,几乎处处收敛于Ω×[0,T).

当m→+∞,固定j,对 (2.6)式求极限,可得

(ut,wj)+(∇u,∇wj)+(∇ut,∇wj)=(|u|p-1uln |u|,wj),

(ut,v)+(∇u,∇v)+(∇ut,∇v)=(|u|p-1uln |u|,v),t>0.

此外,当m→+∞,对 (2.7)式求极限,可得u(x,0)=u0(x).

综上可知u是问题 (0.2) 的一个整体弱解.

(2.15)

且

综上,类似于第1步中的证明可知，当J(u0)=d时问题 (0.2) 有整体弱解.

第3步:问题 (0.2) 弱解的唯一性.假设问题(0.2)有两个弱解u1和u2,令z=u1-u2,则z满足问题

(2.16)

其中f(u)=|u|p-1uln |u|.

将(2.16)式的方程两端同时乘以z,并在Ω上积分,利用中值定理得到

其中0<θ<1.对上述等式两端同时在(0,t)上积分,注意到z(x,0)=0,可得

(2.17)

由引理2.3,引理2.4和(2.9)式,得到

由上述不等式,利用Höolder不等式和Young不等式,可得

(2.18)

(2.19)

将不等式 (2.18) 和 (2.19) 代入到 (2.17)式中,易得

(2.20)

利用Gronwall不等式,可知‖z‖2=0.因此,z=0几乎处处收敛于Ω×[0,∞).

第4步:能量不等式. 令η(t)∈C[0,T]为关于t的非负函数,由(2.6)式可推出

定理2.2的证明用反证法.假设在定理 2.2 的条件下,问题 (0.2) 的弱解u(x,t)是整体解.

构造辅助泛函

(2.21)

直接计算得到

(2.22)

另外,由 (1.2)、(1.4)式、I(u)的定义和能量不等式 (2.1),得到

G″(t)=2(uτ,u)+(∇uτ,u)=-2I(u(t))=

(2.23)

由I(u0)<0及命题2.7可知I(u(t))<0,t>0.根据引理2.5 (ⅲ)知存在λ*∈(0,1)使得I(λ*u)=0,即知λ*u∈⊥N. 故由d的定义可知

(2.24)

结合 (2.23) 和 (2.24) 式,则有

(2.25)

由G″(t)=-2I(u(t))及I(u(t))<0,t>0,可知G″(t)>0,t>0,从而可得

(2.26)

由 (2.22)式,利用Hölder不等式和Young不等式,可得

(2.27)

联立(2.21)、(2.25)和(2.27)式,得到

(2.28)

由 (2.26)式可知G(t)是关于t的单调递增函数,固定某一时刻0

(2.29)

由(2.28)与(2.29)式,可知

(2.30)

M(t)≥G(t)>0,M′(t)=G′(t)-G′(0)>0,M″(t)=G″(t)>0.

由(2.30)式可推出

(2.31)

故知Y在区间[t0,T]上为凹函数. 由于

3 总 结