单摆Duffing振子系统建模及其非线性特性数值仿真分析

刘 魁，李 欣,孙运其

(兰州交通大学 机电工程学院，甘肃 兰州 730070)

单摆是处理摆动问题的经典模型.李元杰[1]研究了单摆的自由、束缚及界轨运动，并阐明了单摆系统蕴含着随机性，一定条件下可以产生混沌.刘延柱、陈立群[2]详细介绍了非线性振动的研究对象和研究方法，并介绍了关于分岔理论和混沌振动的基础知识.谢柏松[3]用Melnikov方法研究了具有弱阻尼与参数激励的单摆及倒摆运动的同宿轨道分岔、次谐分岔和混沌现象.郎和[4]研究了受保守单摆系统中的KAM环面的变形、扭曲、破裂及混沌出现的过程.杨青勇[5]采用相图方法和庞加莱截面法研究了单摆中分岔、混沌等非线性特征.曹刚等[6]利用雅克比椭圆函数法研究了单摆的线性与非线性运动.何松林等[7]利用平均法研究了弱阻尼条件下的单摆振动.邓永菊等[8]利用Fortran语言编程，研究了大摆角单摆的非线性振动.但是有关单摆的Duffing振子的动力学问题研究较少，对单摆动力系统具体的分岔分析通向混沌道路的研究也较少，本文以单摆关于Duffing振子的动力学模型为研究对象，利用数值法研究振幅和Duffing振子恢复率对系统动态特性的影响.

1 单摆非线性动力学模型及其微分方程

在单摆模型实验中，单摆在空气中来回摆动时，总会受到空气阻力和其他一些外界因素的作用，因此，在考虑实际的单摆模型时，往往需要考虑外界的作用，我们现在讨论小阻尼运动和外加作用力时的情况，当小阻尼运动时，阻力大小和物体速度大小成正比.可以得到运动方程：

两端同除以ml得到

(2)

(3)

讨论非线性振子时，主要讨论含有立方项恢复力的非线性振子，为了方便讨论，称之为Duffing振子.

(4)

将式(4)代入式(3)，可得：

(5)

(6)

在任意大振幅下，方程(1)的解变得十分复杂，下面利用计算机模拟，分别讨论单摆运动随其参数变化的周期运动和其混沌运动.

2 非线性动力学特性的分析

将式(6)转化为状态方程如下：

(7)

2.1 单摆的外激励幅值的影响

利用Matlab软件对单摆的动力学状态方程进行数值求解，系统量纲归一化后转角随振幅f的分岔图如图1所示，其相应的Lyapunov指数如图2所示，由图2可以看出，当f∈[20,34.2]时，其Lyapunov指数小于0，所以单摆为稳定的的周期运动，当f=20时，系统运动为稳定的周期6运动，当f≥20.8时系统发生逆周期倍化分岔变为周期3运动，但是f≥24.3时系统又发生倍化分岔重又变为周期6运动，f≥26.4时发生逆倍周期分岔系统再次恢复为周期3运动，f=30时系统周期3运动的庞加莱截面图如图3(a)所示.当f≥31.5时，系统的周期运动失稳，经周期倍化分岔转变为周期6运动,f=33时系统周期6运动的庞加莱截面图如图3(b)所示.f≥33.9时系统的周期6运动经周期倍化分岔转变为周期12运动直至f=34.2，当f=34时，其庞加莱截面图如图3(c)所示.当f∈[34.2,38.4]时，其Lyapunov指数大于0,系统此时进入了混沌，f=37.5时系统混沌运动的庞加莱截面图如图3(d)所示.但是当f≥38.4时系统的Lyapunov指数小于0，结合分岔图可知系统由混沌运动再次进入稳定的周期运动,f=40时的系统周期9运动的庞加莱截面图如图3(e)所示.总体来说，振幅f不断增大时，系统经历了6-3-6-3-6-12周期直至混沌响应的变化，说明由于受Duffing振子恢复率和阻尼的影响，当振幅变化时，系统由倍周期分岔通向混沌运动.

图1 角位移随振幅f的分岔图

图2 振幅f的Lyapunov指数

2.2 单摆的Duffing振子恢复率影响

其他参数与上节相同，保持参数f=37.5，改变Duffing振子恢复率ξ的值，分析系统动态响应的变化.

Duffing振子恢复率ξ的分岔图和Lyapunov指数图如图4～5所示，从图中可以看到，当ξ∈[0.2,0.83]时，系统的Lyapunov指数小于0，所以系统为稳定的周期运动，ξ=0.2时，系统为稳定的周期3简谐运动，ξ=0.3时系统周期3运动庞加莱截面图如图6(a)所示，ξ>0.43时，系统由周期3运动变为周期6运动，图6(b)为ξ=0.45时系统周期6运动的动态响应图.ξ≥0.51系统发生逆倍周期分岔，系统又有周期6运动变为周期3运动.当ξ≥0.73时，系统又倍化分岔为周期6运动，但是当ξ∈[0.83,1.04]时，系统的Lyapunov指数大于0，系统进入混沌运动，图6(c)是ξ=1时庞加莱截面图.ξ≥1.04时，其Lyapunov指数再次小于0，系统又重新进入稳定的周期运动.如图6(d)所示，当ξ=1.1时处于周期9运动.

图4 Duffing振子恢复率ξ的分岔图

图5 Duffing振子恢复率ξ的Lyapunov指数

3 结论

本试验利用Matlab对单摆关于Duffing振子的动力学模型进行了数值求解，给出了系统随参数变化的分岔图、Lyapunov指数图，并结合庞加莱截面图分析了振幅和Duffing振子恢复率变化时，单摆系统复杂的动力学行为.研究发现，随着系统振幅或者是Duffing振子恢复率的逐渐增大，系统运动经Feigenbaum倍化序列进入混沌运动，然后其混沌运动又退化为周期运动，本试验的研究结果对工程实际中选择合理的振幅和Duffing振子恢复率有一定的指导意义.

图6 庞加莱截面图

参考文献:

[1] 李元杰.单摆的规则运动及混沌运动的研究[J].大学物理,1998，17(9):6.

[2] 刘延柱,陈立群. 非线性振动[M].北京：高等教育出版社,2001：163-169 .

[3] 谢柏松.单摆运动的同宿轨道分叉、次谐分叉和混沌[J].北京师范大学学报:自然科学版,2000,36(5):631.

[4] 郎和.保守单摆系统中的混沌运动[J].西北师范大学学报：自然科学版,2002，38(4)：108-110.

[5] 杨青勇.单摆的混沌运动[J].广西民族学院学报：自然科学版,2003,9(2):21-25.

[6] 曹刚,任晓蓉,王桂珍，等.单摆的非线性运动[J].山东轻工业学院学报,2006,20(2):82-86.

[7] 何松林,戴祖诚,黄炎.弱阻尼非线性单摆的周期研究[J].大学物理,2009,28(8):20-22.

[8] 邓永菊,王世芳,吴涛.非线性单摆运动的计算机仿真[J].湖北第二师范学院学报,2010,27(2):59-61.