带变量核的分数次极大算子在加权Morrey空间上的有界性

邵旭馗，王素萍，李永玲

(陇东学院数学与统计学院，甘肃 庆阳 745000)

1 引言及主要结果

记Sn-1为Rn(n≥2)中的单位球面，其上装备了Lebesgue测度dσ =dσ(z').设定义在Rn×Rn上的函数Ω∈L∞(Rn)×Lr(Sn-1)(r≥1)，满足‖Ω‖L∞(Rn)×Lr(Sn-1)=

带变量核的分数次极大算子MΩ，α定义为

1971 年，Muckenhoupt和 Wheeden［1］研究了对于幂权 ω(x)=xβ，TΩ，α的加权模不等式.Ding［2］又得到了 MΩ，α和 TΩ，α关于幂权的弱型估计.在此之后，Ding和Lu［3］又考虑了对于更一般的权函数而言，MΩ，α和TΩ，α的加权模不等式.

2009 年，Komori和 Shirai［4］首先定义了加权Morrey空间 Lp，k(ω)，它是 Lebesgue空间的一种推广形式.他们还研究了调和分析中一些主要算子在这些加权空间上的相关性质，类似结果可参见文献［5-8］.受以上研究的启发，本文考虑并证明了带变量核的分数次积分算子MΩ，α在加权Morrey空间Lp，k(ω)上的有界性，从而推广了以往非变量核的结果.下面，先给出一些本文中所用的定义与记号.

设 k∈ Z，令 Bk=B(0，2k)={x∈ Rn:x ≤2k}及Ck=BkBk-1，并记χk=χCk为集Ck的特征函数.

定义1［4］设ω是一个权函数，定义加权Morrey 空间 Lp，k(ω)为

这里

定义2［4］设对两个权函数u和v，定义加权 Morrey 空间 Lp，k(u，v)为:

这里

本文主要结果如下:

定理1 对某个r∈(1，∞］，0＜α＜n，设Ω∈L∞(Rn)×Lr(Sn-1)，若

则MΩ，α是从Lp，k(ωp，ωq)到Lq，kq/p(ωq)的有界算子.

2 定理的证明

证明定理，需要以下引理:

引理1 设Ω∈L∞(Rn)×Lr(Sn-1)(r≥1)是一零阶齐次函数且满足(2)式，如果0＜α＜以及ω∈ A(p，q)，则分数次极大算子 Mα是从Lp，k(ωp，ωq)到Lq，kq/p(ωq)的有界算子.引理1 的证明可参见文献［4］.

定理1的证明:由Hölder不等式可知

令 p1=p/r'，q1=q/r'且ν= ωr'，则对于0 ＜ α ＜

同时注意到

因此由引理1可得:

至此，定理1证毕.

［1］Muckenhoupt B，Wheeden R L.Weighted norm inequalities for singular and fractionalintegrals［J］.Trans.Amer.Math.Soc.，1971，161：249-258.

［2］Ding Y.Weak type bounds for a class of rough operaters with powerweights［J］.Proc.Amer.Math.Soc.，1997，125：2939-2942.

［3］Ding Y，Lu S Z.Weighted norm inequalities for fractional integral operaters with roughkernel［J］.Canad.J.Math，1998，50：29-39.

［4］Komori Y，Shirai S.Weighted Morrey spaces and a singular integral operater［J］.Math.Nachr，2009，282：219-231.

［5］王素萍，岳晓红，邵旭馗.变量核多线性分数次极大算子的一致有界性［J］.安徽大学学报：自然科学版，2013，37(4)：28-31.

［6］邵旭馗，陶双平.带变量核的Marcinkiewicz积分交换子的加权Lipschitz估计［J］.系统科学与数学，2012，32(7)：915-921.

［7］邵旭馗，陶双平，王素萍.带变量核的参数Marcinkiewicz积分在弱Hardy空间上的有界性［J］.应用数学，2013，42(1)：11-17.

［8］闫彦宗，邵旭馗，王素萍.变量核的Marcinkiewicz高阶交换子在Hardy空间的有界性［J］.山东大学学报：理学版，2013，48(2)：67-71.