指数母函数在数学期望计算中的应用

王丰效

(喀什师范学院数学系，新疆 喀什 844000)

随机变量的分布函数全面反映了随机变量的统计规律性，特征函数和母函数也是描述随机变量概率分布的有力工具.随机变量的数学期望是反映随机变量取值平均水平的一个重要数字特征，方差是反映随机变量取值的分散程度的数字特征.许多文献都讨论了数学期望和方差的计算问题［1-4］.文献［5］引入了描述随机变量分布的新函数，并称之为指数母函数，讨论了指数母函数的性质，并给出了利用指数母函数计算随机变量数学期望和方差的方法.本文在文献［5］的基础上进一步讨论利用指数母函数计算数学期望和方差的方法.

1 指数母函数及其性质

定义1［1］设X为随机变量，如果随机变量X的函数期望g(t)=E(etX)存在，则称g(t)为随机变量X的指数母函数.

由定义1可知，随机变量的指数母函数具有下列性质:

1)g(0)=1．

2)如果随机变量 X与 Y相互独立，则gX+Y(t)=gX(t)gY(t)，即独立随机变量和的指数母函数等于各个随机变量指数母函数的乘积.

3)如果随机变量X的k阶原点矩为νk，则有 νk=g(k)(0)，k=1，2，… .

4)如果随机变量X的指数母函数为g(t)，则E(X)= ν1=g'(0)D(X)=g″(0)-(g'(0))2．为了计算方便，令h(t)=lng(t)，则有:

定理1 随机变量X与aX(a≠0)的指数母函数满足下列关系

gaX(t)=gX(at)

定理2 如果随机变量X1，X2，…，Xn相互独立同分布，且X1的指数母函数为g1(t)，则X1+X2+… +Xn的指数母函数为:

g(t)=(g1(t))n

定理3 如果随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，则

D(X1+…+Xn)=D(X1)+…+D(Xn)

证明 设随机变量Xi的指数母函数为gi(t)(i=1，2，…，n)，令X=X1+X2+ … +Xn，其指数母函数为g(t)，由于随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，所以

因此

上式中令t=0可得:

上述定理及其证明实际上是给出随机变量方差性质的另外一种证明方法.

下面给出几个常用分布的指数母函数:

(1)二项分布g(t)=(pet+q)n;

(2)泊松分布 g(t)=eλ(et-1);

定理4 (正态分布的可加性)设X1，X2，…，Xn是相互独立的服从正态分布的随机变量，即Xi～ N(μi，σ2i)，i=1，2，…，n，则Sn=X1+X2+

证明 由于随机变量Xi的指数母函数为

从而随机变量Sn的指数母函数为

进一步可得:

因此

定理5 利用指数母函数说明了独立正态变量的和是正态分布，即独立正态随机变量具有可加性.

2 随机变量期望和方差计算

下面利用指数母函数的数学期望和方差计算公式(1)，给出几个随机变量数学期望和方差计算的实例.

例1 设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立同分布，且 P(X1=k)=pqk-1(k=1，2，…;p+q=1;0＜p＜1)．求Sn=X1+X2+… +Xn的数学期望和方差.

解 由例1可知随机变量Xi的指数母函数量Sn的指数母函数为:

故

h(t)=lng(t)=n(lnp+t+ln(1-qet))

因此

例2 流水作业线上生产出的每个产品为不合格品的概率为p，当生产出k个不合格品时即停工检修一次.求两次检修之间产品数的数学期望和方差.

解 设第i-1个不合格品出现后到第i个不合格品出现时的产品数为Xi，i=1，2，…，k.又假设两次检修之间产品数为X，则X1，X2，…，Xn相互独立，且Xi的分布列为:

P(Xi=j)=pqj-1，j=1，2，…，p+q=1因而Xi的指数母函数为:

从而随机变量X的指数母函数为:

故h(t)=lng(t)=n(lnp+t+ln(1-qet))

因此

［1］魏宗舒.概率论与数理统计教程［M］.第2版.北京：高等教育出版社，2008.

［2］周概容.概率论与数理统计［M］.北京：高等教育出版社，1985.

［3］刘成.随机变量数学期望的解法新探［J］.赤峰学院学报，2009，25(3)：6-8.

［4］张福阁，杜志涛.一个随机变量数学期望的计算［J］.高师理科学刊，2005，8(3)：12-13.

［5］王丰效.描述随机变量分布的新函数［J］.沈阳师范大学学报，1996，14(4)：8-10.

［6］李春丽，何晓霞.一类随机变量函数数学期望的求法及其应用［J］.高师理科学刊，2013，33(2)：44-46.

［7］邓春亮.一个离散型随机变量数学期望的计算［J］.广西科学，2012，19(3)：234-235.