非光滑复杂网络的混沌同步

李 亮，王建军，毛北行

(郑州航空工业管理学院数理系，河南 郑州 450015)

自Pecalo 和Carroll 提出驱动—响应同步方法以后，混沌控制与混沌同步及其应用已成为研究的热点并取得了丰富的成果［1-6］.自然界和人类社会存在着各种各样的复杂网络，自从Erdös提出著名的随机图模型以来，复杂网络引起了人们的高度关注.人们对复杂网络的研究已经渗透到物理、生物、计算机、医学、控制以及保密通信等领域.最著名的复杂网络模型包括随机图、小世界网络、无标度网络以及广义复杂动力学模型等.文献［7］研究了时滞和非时滞耦合的驱动响应动态网络的函数投影同步问题.文献［8］研究了复杂网络的线性广义同步问题.文献［9］研究了全局耦合网络的参数辨识与时空混沌同步，但上述系统都是光滑系统，而关于非光滑复杂网络系统的混沌同步问题的报道还很少见.另一方面，在实际工程系统中存在着大量的非光滑系统，如Chua 电路、干摩擦系统和碰撞系统等.本文主要研究非光滑复杂网络混沌系统的同步控制问题，消除了非光滑项，得到了光滑的误差系统，利用Lyapunov 稳定性理论得到了误差系统渐近稳定的充分条件.

1 主要结果

考虑如下非光滑系统:

其中，f 为非光滑的.通过广义哈密顿系统，方程(1)重新被写为:

其中，H(xi)为能量函数，J1(xi)+ J1T(xi)=0，S(xi)= ST(xi)，J1(xi)和S(xi)是光滑的，而F1(xi，t)是非光滑的.方程(2)可以进一步表示为:

上式中，F(xi，t)为非光滑函数．

以下考虑如下系统:

则xi+ xi*是如下复杂网络混沌系统的解

方程(5)可以重新写为:

利用观测器，方法(6)被重新设计为:

其中:yi(t)是系统的输出，C 是常数矩阵，F(yi，t)为非光滑函数.

令ei(t)= xi(t)- ξi(t)，eiy(t)= yi(t)-ηi(t).其中K 是常数矩阵，ui(t)是控制输入，ξi、ηi分别为xi、yi的扰动.以方程(7)为驱动系统，取相应的响应系统为:

(7)、(8)式中都含有非光滑函数F(yi，t)，两式相减得到光滑的误差系统:

定理1 如果满足下述条件:

则误差系统(9)的零解渐近稳定.

证明 构造Lyapunov 函数

由已知条件，J(xi(t))为反对称矩阵，满足J(xi(t))+ JT(xi(t))= 0

所以

2 数值算例

以如下系统为例:

以两阶节点N = 2 为例:

则xi+ xi*是如下复杂网络混沌系统的解:

上述系统为Duffing 振子方程，该系统是非光滑的．

3 结语

本文研究了一类具有不确定参数和外部扰动的非光滑复杂网络混沌系统，通过广义哈密顿系统和观测器方法重新设计了复杂网络系统，得到了光滑的误差系统，利用Lyapunov 稳定性理论得到了误差系统渐近稳定的充分条件.

［1］Pecora L M，Carroll T L.Synchronization in chaotic systems［J］.Phys Rev Lett (S0031 -9007)，1990，64(8):821 -824.

［2］Pecora L M，Carroll T L.Driving systems with chaotic signals［J］.Phys Rev A (S0277 -786X)，1991，44(4):2374 -2383.

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［5］付士慧，魏红军，刘洋.具有双向耦合的混沌系统的完全同步［J］.郑州大学学报:理学版，2012，44(3):29 -33.

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［7］李德奎，张建刚.时滞和非时滞耦合的驱动响应动态网络的函数投影同步［J］.太原理工大学学报，2013，44(2):162 -168.

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［9］Popp K，Stelter P.Nonlinear oscillation of structures induced by dry friction［C］.In:Schiehlen Wed.Non -linear Dynamics in Engineering Systems.New York:Springer，1990.