一类切换系统的模型参考自适应控制分析

周厚云

(兰州交通大学数理学院，甘肃 兰州 730070)

切换系统作为一类特殊而又重要的混杂系统，受到越来越多的学者的青睐［1-2］.切换系统是由一组微分或差分方程描述的子系统及一个切换规则组成.这种特殊的系统在控制理论及工程实践中都得到了广泛应用.波波夫于20世纪60年代提出的超稳定性理论是研究自适应控制系统的重要理论［3-4］.

本文根据超稳定性方法研究系统参数可调切换系统的模型参考自适应控制问题，得到稳定的自适应控制律［5］.结果表明:系统的状态变量很好地跟踪了参考状态变量，跟踪误差趋近于零.

1 问题描述与基本理论

假设切换系统的参考模型为

x(t)∈Rn为x 的理想参考状态，Ami∈Rn×n是系统矩阵，Bmi∈Rn×n是输入矩阵.σ(t):［x，∞)→M = {1，2，…，m}是一个依赖于时间t 或状态x(t)的一个右连续的分段常值函数，是系统(1)的切换信号，r ∈Rm是有界输入信号.

考虑两类线性切换系统，第一类系统是

其中:x(t)∈Rn是状态矢量，Ai∈Rn×n，Bi∈Rn×n是相应维数的可调节矩阵，r 和σ 跟系统(1)保持一致.

第二类切换系统是

其中:x(t)∈Rn是状态矢量，Ai∈Rn×n为系统的未知常数矩阵，Bi∈Rn×m为已知输入矩阵，u为控制输入，σ 为与系统(1)一致的切换信号.

本文的目标是设计自适应律［6-8］(自适应控制器)和系统(2)、系统(3)的切换信号，令状态跟踪误差e(t)= xm(t)- x(t)满足0，使切换系统达到或接近模型参考的期望状态．考虑切换线性系统

其中:x(t)∈Rn是状态矢量，u(t)∈Rm为控制输入，y(t)∈Rp为输出，σ 为切换信号，Ai∈Rn×n，Bi∈Rn×n，Ci∈Rp×n，Di∈Rp×m为相应维数的系数矩阵.

定义1 如果输入u(t)满足不等式(5)

存在正常数K ＞0 和r ＞0 ，使得(4)式的所有解x(t)满足以下不等式:

则称系统(4)为超稳定的.

定义2 切换系统(4)渐进超稳定，如果

(1)它是超稳定的;

(2)对于所有满足不等式(5)的u(t)均有(7)式成立:

令Vi(x(t))，(i ∈Λ)为第i 个子系统的储能函数，对任意x(t)≠0 和Vi(0) = 0 ，有Vi(x(t))＞0 .tk和tk+1(k = 1，2，…)为满足tk+1-tk≥δ ＞0 的两个相邻的切换瞬间.根据文献［1］中定义，有

其中，tk≤s ≤t ≤tk+1，σ(s)= σ(t)= σ(tk)=为第i 个子系统被激活时的自供给率，ωij(x(t)，u(t)，y(t)，t)为第j 个子系统被激活时的交互供给率.

定理1 当系统(4)所有的子系统是正实的并且系统的交互供给率ωij(x(t)，u(t)，y(t)，t)对任意i，j ∈Λ(i ≠j)和0 ≤t1≤t2满足

2 系统参数可调切换系统的模型参考自适应控制

由系统(1)和系统(2)，得到误差闭环动态系统

定义vi= Pie，且正定矩阵Pi满足

其中，Pi= ΓijPj(i ≠j)对若干Γij= diag［λkij］，系统(11)变为

这里，ϖσ和vσ分别是系统的输入和输出.

假设1 存在凸组合

因此，选择切换规则为

为了避免由公共状态引起的估计参数的耦合，设计自适应律为

其中，αkji，βkji＞0 .

定理2 自适应律(16)和切换规则(15)适用于切换系统(2)和模型参考系统(1)，保证状态跟踪的渐进稳定性，即

证明 注意(12)式和系统(13)满足正实引理且严格正实.

令Vi= eTPie 是系统(13)的子系统的储存函数，那么Vi沿(13)的导数为

如果自供给率2ϖTivi和交互供给率eT(ATmσPi+PiAmσ)e+2ϖTσvi分别满足(5)和(10)式，那么误差闭环系统(13)是渐进超稳定的.

记

由(18)式，ωi的第k 部分是

有

那么不等式(5)可转化为

满足不等式(21)的充分条件是(21)式中的积分满足下面的形式

由不等式(22)、(23)也可以得出，切换自适应率确保系统(23)的每一个子系统的自供给能量是有限的.笔者证明系统(22)的交互供给率在切换率(15)的调节下也是有限的.交互供给率的第一部分eT(ATmσPi+ PiAmσ)e 在(15)式的切换律下永远是小于零的.第二部分ϖTσvi，在Pi=ΓijPi时，第i 个子系统的交互供给率为

又由

和(21)、(22)式，有:

定理2 的所有条件都满足，则切换误差系统(13)是渐进超稳定的，即跟踪误差收敛到0.

3 结论

本文主要针对一类切换系统应用超稳定性理论研究了自适应控制，首先根据Lyapunov 函数讨论一类切换系统的模型参考自适应控制，得出系统的控制器和切换策略与切换系统在切换策略下渐进稳定的自适应率.结果表明，系统的状态变量很好地跟踪参考状态变量，跟踪误差趋近于零.

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