Cartan-Eilenberg绝对clean和level复形研究

张 丽 英

(兰州交通大学 数理学院，甘肃 兰州 730070)

Verdier引入了Cartan-Eilenberg(以下简记为CE)投射和内射复形并证明了任意复形G具有CE投射和内射分解[1]。此后，国内外许多学者对CE复形做了进一步研究[2-5]。Bravo等引入了绝对clean模和level模，并由此定义和研究了Gorenstein AC-内射模和Gorenstein AC-投射模[6]。2014年，Bravo等将绝对clean模和level模推广到复形上[7]。2017年，Gillespie对绝对clean模做了进一步研究[8]。受此启发，本文主要研究CE绝对clean复形和level复形。

1 预备知识

以下给出一些基本概念和记号。

定义1[6]称R模F是超有限表示模，如果F具有投射分解…→P2→P1→P0→F→0，其中每个Pi是有限生成投射模。

定义5[2]称复形的序列(*)…→C1→C0→C-1→…是CE正合列，如果以下序列均正合:

…→C1→C0→C-1→…

(1)

…→Z(C1)→Z(C0)→Z(C-1)→…

(2)

…→B(C1)→B(C0)→B(C-1)→…

(3)

…→H(C1)→H(C0)→H(C-1)→…

(4)

…→C1/Z(C1)→C0/Z(C0)→C-1/Z(C-1)→…

(5)

…→C1/B(C1)→C0/B(C0)→C-1/B(C-1)→…

(6)

显然(*)是CE正合的当且仅当序列(1)和(2)正合。

定义6[3]称复形的CE正合列0→A→B→C→0是CE纯正合列，如果对于任意的CE有限表示复形P，序列0→Hom(P,A)→Hom(P,B)→Hom(P,C)→0是正合的。

给定一个Abel范畴C，令H是C中的一类对象。记H的右正交为H⊥(H的左正交为⊥H)，即H⊥={X|Ext1(H,X)=0,∀H∈H}(⊥H={X|Ext1(X,H)=0,∀H∈H})。称(A,B)是余挠对，如果A⊥=B，且A=⊥B。称余挠对(A,B)是遗传的，如果A关于满态射的核封闭或者B关于单态射的余核封闭。称余挠对(A,B)是完全的，如果它有足够多的投射和内射对象，也就是对于任意的X∈C，存在正合列0→X→B→A→0和0→B′→A′→X→0，其中B,B′∈B，A,A′∈A。

2 Cartan-Eilenberg 绝对clean 和level 复形

除非特别说明，本文中的模均是左R-模。

定义7[2]设F是R-模类。称复形A为CEF复形，如果A、Z(A)、B(A)和H(A)都属于C(F)，其中C(F)表示由F中的模构成的复形的全子范畴。

特别地，若F(P,A,L,N)是所有超有限表示模类(有限生成投射模类，绝对clean模类，level模类，cospiral类)，则CEF复形就是CE超有限表示(CE有限生成投射，CE绝对clean，CE level，CE cospira)复形。

(7)

(8)

定理1 设A是R-模的复形，则：

(1)A是CE绝对clean复形；

(2)A和Z(A)属于C(A)；

(3)B(A)和H(A)属于C(A)。

证明：(1)⟺(2)⟺(3)由文献[6]可知绝对clean模类是余可解的。再根据文献[5]可知结论显然成立。

(1)⟹(4)设A是CE绝对clean复形，X是CE超有限表示复形，则对于任意的CE正合列0→A→U→X→0，有如下正合列

0→An→Un→Xn→0

(9)

0→Zn(A)→Zn(U)→Zn(X)→0

(10)

0→Bn(A)→Bn(U)→Bn(X)→0

(11)

0→Hn(A)→Hn(U)→Hn(X)→0

(12)

考虑如下行正合可裂，列正合的交换图

考虑如下行正合可裂，列正合的交换图

命题1 设R是环，则：

(1)CE绝对clean复形的类关于直和、直积、直和项、正向极限封闭；

(2)CE绝对clean复形的类关于纯子复形和纯商复形封闭；

(4)CE绝对clean复形的类关于CE纯子复形和CE纯商复形封闭。

证明：由文献[6]可知绝对clean模的类关于直和、直积、直和项、正向极限、纯子复形和纯商复形封闭。再根据文献[5]可知(1)、(2)显然。

定理2 设L是R-模的复形，则：

(1)L是CE level复形；

(3)B(L)和H(L)属于C(L)。

证明：(1)⟺(2)⟺(3) 由文献[6]可知level模类是可解的。再根据文献[5]可知结论显然成立。

命题2 设R是环，则：

(1)CE level复形的类关于直和、直积、直和项、正向极限封闭；

(2)CE level复形的类关于纯子复形和纯商复形封闭。

证明：由文献[6]可知level模的类关于直和、直积、直和项、正向极限、纯子复形和纯商复形封闭。再根据文献[5]可知结论显然成立。

推论1 设R是右凝聚环，则L是CE level复形当且仅当L是CE平坦复形。

证明：由文献[6]可知若R是右凝聚环，则M是level模当且仅当M是平坦模，所以结论显然成立。

命题3 设M是复形，则：

(1)M是CE绝对clean复形当且仅当M+是CE level复形；

(2)M是CE level复形当且仅当M+是CE绝对clean复形。

证明(1)：由定理1可知M是CE绝对clean复形当且仅当…→P2→P1→P0→X→0和Pi属于C(A)。由文献[6]可知B-n-1(M)是绝对clean模，当且仅当(B-n-1(M))+是level模。再根据文献[4]可知Bn(M+)是level模，当且仅当(B-n-1(M))+是level模。同理，Hn(M+)是level模当且仅当(H-n(M))+是level模。由定理1可知M是CE绝对clean复形，当且仅当M+是CE level复形。

(2)同(1)。

证明：由文献[6]可知(L,N)是完全余挠对。因为L是可解的，所以(L,N)是遗传余挠对。由文献[2]可知(CE(L)、CE(N))是遗传余挠对，再根据文献[4]可知(CE(L)、CE(N))是完全余挠对。

3 结 语

本文首先给出了CE超有限表示复形的充分必要条件是存在复形的CE正合列…→P2→P1→P0→X→0，其中Pi是CE有限生成投射复形。其次给出了CE绝对clean复形和CE level复形的等价刻画。接着给出了CE绝对clean复形的示性是CE level复形。最后给出了CE绝对clean复形和CE level复形关于直积、正向极限、纯子复形和纯商复形封闭的性质。