一类离散双线性系统的改进H∞控制

李 阳

（福建师范大学 协和学院，福州350117）

0 引言

双线性系统是形式上最简单且最接近线性系统的一类非线性系统。工程、社会经济、生态、生物等过程中的很多对象都可以利用双线性系统进行描述，这就使得双线性系统的研究变得很重要。关于双线性系统的稳定性分析及控制问题已取得不少研究成果[1-4]。其中常见的为利用线性矩阵不等式及李雅普诺夫方程得到控制系统二次稳定的条件[5-6]，但大多计算量较大。为此，文献[7]提出一种控制器设计方式，但所选取的李雅普诺夫矩阵为固定阵，导致保守性高，求解过程可能出现无解情况，且此问题在后续研究中一直没有得到有效解决。本文在此基础上，提出一种改进型的李雅普诺夫矩阵的设计方法，增大求解自由度。利用凸优化技术，结合一种矩阵变换方式，将非线性矩阵不等式转换成线性矩阵不等式，使得只需利用Matlab的LMI工具箱进行求解线性矩阵不等式，就可以获得保守性低的寻优参数。

1 问题描述与准备

考虑一类离散双线性系统为：

其中，x（k）∈Rn为系统状态，z（k）∈Rp为系统评价输出，u（k）∈R为控制向量，w（k）∈Rr为外部扰动信号，且w（k）∈l2[0，∞），系统矩阵A，B，C，N，D1，D2，为具有合适维数的已知常数矩阵。

对于离散双线性系统(1)设计状态反馈控制器[8]：

2 主要结论

因此，V（x（k+1））-V（x（k））<0。由定义1可知系统(4)二次稳定的充分条件即为式(9)成立。

注2：若选择Q1=Q2=P=V1=V2，式(6)即为文献[7]中给出的二次构架的充分条件。可以看出定理1通过引入新变量，增大了求解的自由度，因此比二次方法具有更低的保守性。但由于式(9)中包含不属于LMI式，无法利用Matlab LMI Toolbox来求解，因此对式（9）应用引理1，并令，可得定理2。

定理2 系统(4)是二次稳定的充分条件是存在矩阵Qj>0，及正定对称阵Vi1，Vi2和矩阵Mi使得：

其中，j<0，即zT（k）z（k）<γ2w（k）Tw（k），证毕。

注3 由于式(17)中包含ViTBK，采用定理2一样的处理办法，可得定理4。

定理4 考虑如式(1)所示的双线性离散系统和如式(2)和式(3)所示的状态反馈方程，存在矩阵Qi，Qj>0,及正定对称阵Vi1，Vi2，和矩阵Mi，使得

3 数值仿真

为了说明本文方法的有效性，做如下仿真。

考虑如下离散系统：

设计状态反馈控制器，其中控制器参数ρ已知，利用Matlab LMI Toolbox 对传统的二次分析法及定理4提出的式（24）进行仿真寻优比对。表1为根据两种方法在不同的ρ下获得的保证H∞的γmim寻优数值对照表。

表1 γmim寻优数值对照表

可以从表1看出，ρ取值超过0.9时，传统的二次分析法寻优无解，而本文提出的方法仍旧有解。因此，所提出的方法具有降低保守性，使得求解的自由度增加的优点。

4 结论

本文提出了一种降低保守性的李雅普诺夫函数设计方法，给出系统二次稳定的条件，所设计的控制系统具有更小的H∞性能指标,数值仿真结果验证了所述方法的有效性。