执行器和和传感器同时发生随机故障的 网络切换系统的鲁棒H∞控制

刘永慧， 苏庆堂

(1. 上海电机学院 电气学院, 上海 201306; 2. 鲁东大学 信息与电气工程学院， 山东 烟台 264025)

执行器和和传感器同时发生随机故障的 网络切换系统的鲁棒H∞控制

刘永慧1， 苏庆堂2

(1. 上海电机学院 电气学院, 上海 201306; 2. 鲁东大学 信息与电气工程学院， 山东 烟台 264025)

考虑了状态不可测时一类网络切换系统的鲁棒H∞控制。 控制系统的执行器和传感器同时故障，且每个通道的数据丢失概率由区间[0,θ](θ≥1)上满足随机分布的一个随机变量来描述, 因此，故障模型更具有一般性。 设计一个基于状态观测器的反馈控制器； 运用平均驻留时间方法, 给出了系统均方指数稳定并满足给定H∞性能的充分条件。 数值仿真验证了该设计方法的有效性。

切换系统；H∞控制； 执行器/传感器故障； 平均驻留时间

伴随着计算机网络技术的迅速发展, 越来越多的信息采用网络进行传输, 这是由于网络传输具有成本低、安装维护简易等优点。 然而, 控制系统中网络的介入也带来了丢包、时间滞后以及数据量化等问题。 因此, 网络控制一直备受关注[1-3]。 需要注意的是，上述结果是在系统完全实现的条件下得到的, 即所有元件正常工作， 但是，由于元件磨损老化等原因, 执行器或传感器故障不可避免, 从而破坏系统的性能甚至导致系统失稳。 因此, 设计一个能够承受执行器和传感器故障以及数据丢包的容错控制器很有必要。

过去10年中, 没有网络介入的系统的可靠控制已经得到了深入研究[4-6]。 需要注意的是，上述结论中考虑的故障模型都是静态的且仅考虑了执行器故障, 对传感器故障的研究则相对较少[7-8]。 然而, 网络控制系统中执行器/传感器故障大都是随机动态的[9-12]。 文献[9-10]中在传感器故障满足0～1分布的情况下研究了离散系统的数据丢失问题； 之后, 文献[11]中进一步讨论了随机离散系统的鲁棒H∞滤波控制，并将随机变量的分布推广到区间[0,1]； 文献[12]中对故障模型作了进一步的推广, 同时考虑了执行器和传感器故障，并且每个通道的随机故障由满足[0,θ](θ≥1)分布的一个随机变量给出。

另一方面, 在过去20年中, 切换系统备受关注。这主要有两个原因：① 很多实际系统模型，如电机、航空系统和网络控制系统等[13]可以由切换系统来描述；② 为了克服传统的单一控制器的缺点, 很多基于切换思想的智能控制方法得到广泛应用。 近期, 没有网络介入的切换系统的可靠控制开始受到研究人员的关注[14-17]。 然而, 上述结果中也仅考虑了执行器故障。 此外, 由于切换系统的特殊结构以及执行器和传感器同时发生随机故障, 现有的结论不能简单地推广到网络切换系统。

基于上述考虑, 本文考虑了一类网络切换系统的鲁棒H∞控制。 本文的创新点主要有以下两方面: ① 假设随机故障在执行器和传感器中同时发生， 此外, 每个通道的数据丢失概率由区间[0,θ](θ≥1)上满足随机分布的随机变量θ描述;θ既表示执行器/传感器故障，还表示丢包现象。 ② 运用多Lyapunov函数以及平均驻留时间方法, 分析了切换系统的均方指数稳定性和H∞控制问题。

1 系统描述

考虑如下离散切换系统:

(1)

式中，x(k)∈Rn为系统状态；u(k)∈Rm为控制输入；y(k)∈Rp为可测输出；z(k)∈Rr为控制输出；w(k)∈Rq为外部扰动； {Aσ,Bσ,Gσ,Cσ,Dσ,Eσ,Fσ}为一组取决于指标集Γ={1,2,…,s}的已知矩阵,σ:Z+→Γ是分段常值函数, 称作切换信号。

当σ(k)=i,i∈Γ时, 系统的参数简记为

实际系统中, 由于物理条件的限制或成本问题, 系统状态通常不可测。 因此，本文将针对系统式(1)设计基于状态观测器的控制器保证其H∞性能。 为此, 引入以下假设条件和引理。

假设1矩阵Bi列满秩, 即rank(Bi)=m。

注1对于列满秩矩阵Bi, 存在正交矩阵Ui和Vi，使得

(2)

式中，Hi=diag(hi1,hi2,…,him),hij(i=1,2,…,si;j=1,2,…,m)为Hi的非零特征值,其中，diag(·)为对角矩阵；Ui1、Ui2为正交矩阵Ui的分块矩阵。

引理1[18]对于列满秩矩阵Bi, 若满足矩阵

其中，Pi1>0,Pi2>0, 则存在非奇异矩阵Xi，使得PiBi=BiXi。

为便于推导, 给出以下定义。

定义1[19]对于任意的T2>T1>0, 若σ在区间(T1,T2)上的切换次数为

Nσ≤N0+(T2-T1)/Tσ

则Tσ称作平均驻留时间；N0为初始的切换次数。

不失一般性, 本文亦假设N0=0。

定义2考虑随机系统为

xk+1 =Axk+Cwk

(3)

式中，A为系统矩阵；C为扰动系数；x(k)为系统状态；wk为一维的白噪声。 系统式(3)的平衡点x*=0是均方指数稳定的, 其解x(k)满足

E{‖x(k)‖2}≤εe-ρ(k-k0)‖x(k0)‖2

其中, 参数ε≥1，ρ>0；x(k0)为初始状态。

定义3系统式(3)称为带有扰动衰减指数γ鲁棒H∞稳定, 满足以下两个条件:

(1) (均方指数稳定)对于切换信号σ, 式(3)的平衡点x*=0在w(k)=0的条件下满足均方指数稳定。

(2) (H∞性能)对于切换信号σ, 在零初始条件下，有

(4)

2 控制器设计

系统传感器故障描述为

(5)

式中Λi=diag(αi1,αi2,…,αil,…,αip),αil(i=1,2,…,s；l=1,2,…,p) 为p个不相关的随机变量。 假设随机变量αil(i=1,2,…,s;l=1,2,…,p) 在区间[0,θ]上满足随机分布, 其中，θ≥1；

为估计式(1)的状态, 引入状态观测器为

(6)

带有随机故障的执行器描述为

(7)

式中，Ωi=diag(βi1,βi2,…,βij,…,βim),βij(i=1,2,…,s；j=1,2,…,m)为m个不相关的随机变量, 且

注2值得注意的是随机故障在传感器到控制器式(5)以及控制器到执行器式(7)中同时发生。 另外, 执行器/传感器每个通道的故障由区间[0,θ](θ≥1)上满足随机分布的一个随机变量进行描述； 随机变量θ不仅表示执行器/传感器发生的故障，且表示了网络控制系统中的丢包现象, 因此，故障模型更为一般。 系统式(1)的结构如图1所示。

图1 系统(1)的结构图

将式(7)代入系统式(1)，得到

(8)

误差估计系统为

(9)

记η(k)=[xT(k)eT(k)]T, 得如下闭环系统:

(10)

式中，

注3由于执行器和传感器中的随机故障的影响，闭环系统式(10)是一个随机切换系统。 然而,由于切换系统的特殊结构, 本文的结果不是文献[15]中的简单推广。

3 主要结论

3.1H∞性能分析

本文运用平均驻留时间方法分析闭环系统式(10)的稳定性。

定理1考虑满足假设1的系统, 给定矩阵Ki、Li以及参数γ>0,μ≥1, 0<ζ<1, 若存在矩阵Pi>0,Qi>0，满足以下线性矩阵不等式(Linear Matrix Inequalities, LMIs):

(11)

Pi≤μPj,Qi≤μQj,i,j∈Γ

(12)

式中，*表示矩阵中对称部分；

其中，I为单位矩阵。则当平均驻留时间满足

(13)

时, 闭环系统式(10)在衰减指数γ下满足鲁棒H∞稳定，且系统状态满足

E{‖η(k)‖2}≤ερ(k-k0)‖η(k0)‖2

(14)

式中,

证明(1) 在初始状态η(0)=0时，分析闭环系统式(10)的均方指数稳定性。 假设w(k)=0，并选择第i个子系统的Lyapunov函数为

Vi(x(k))=xT(k)Pix(k)+eT(k)Qie(k)

故由式(10)得

(15)

注意到

(16)

(17)

式中，d=1,2,…,p;t=1,2,…,m。

因此, 由式(16)、(17)可知, 有以下公式成立:

(18)

(19)

将式(18)、(19)代入式(15)，可得

(20)

式中，

Σi<0可由式(11)推导得到, 结合式(20)可进一步得

E{Vi(x(k+1))}≤ζE{Vi(x(k))}

因此, 对于任意的k∈[kj,kj+1),有

E{Vσ(k)(x(k))}≤ζ(k-kj)E{Vσ(k)(x(kj))}

(21)

由式(12)、(21)可得到

(22)

由式(13)可进一步得到

(23)

由式(14)可知

(24)

成立。结合式(22)～(24)可得

E{‖η(k)‖2}≤a-1E{Vσ(k)(η(k))}≤

a-1bρ(k-k0)‖η(k0)‖2

因此, 闭环系统式(10)均方指数稳定。

(2) 分析闭环系统式(10)的H∞性能

为便于推导, 引入以下定义:

综上, 可得到

式中，

由Shur’s引理[21]可知，Πi<0可由式(11)推导得到, 式(11)等价于J<0, 故可知

E{zT(k)z(k)-γ2wT(k)w(k)}

(25)

假设切换序列为{(i0,k0),(i1,k1),…,(ij,kj),…∣ij∈Γ},由式(25)易知

(26)

将式(26)由0～kn依次累加，可得

因此, 当零初始条件η(0)=0时,

成立。证毕。

3.2H∞控制器设计

定理2考虑满足假设1的式(1), 给定参数γ>0,μ≥1,ζ>0, 若存在矩阵Pi1>0,Pi2>0,Qi>0,Mij,Nil>0,εi>0,γ>0, 满足下列LMIs:

(27)

Pi≤μPj,Qi≤μQj,i,j∈Γ

(28)

式中，

Ui1和Ui2的定义如引理1, 则在切换信号式(13) 作用下, 闭环系统式(10)鲁棒稳定且满足给定的H∞性能。 此外,

(29)

证明由引理1可知存在矩阵Pi1>0,Pi2>0,Xi>0,使得

成立, 并且

PiBi=BiXi

这意味着

(30)

式(30)可重新写为

故可得到

由定理1可见，若存在矩阵Pi、Qi、Ki和Li满足式(11)和式(12), 则闭环系统(10)关于参数γ鲁棒H∞稳定。 另外, 需要注意的是

(31)

(32)

(33)

将式(31)～式(32)代入式(11), 由Schur’s引理可进一步得到

(34)

式中，

令Mij=XiKij,Ni=QiLi。 可见式(34)可以由式(27)推出。 证毕。

注4定理2中分析了系统(1)的鲁棒H∞控制。 在随机执行器/传感器故障以及外部扰动的情况下, 设计了基于状态反馈的控制器，使得系统满足给定的H∞性能。 可见, 只要式(27)、(28)可解, 则控制器设计问题可解。

4 数值仿真

考虑含有两个模态的切换系统式(1), 系统参数如下:

(1) 子系统1

G1=[0.5 0.2 -0.2]T

F2=[0.2 -0.5 -0.4]T

G2=[0.5 -0.4 -0.4]T

假设外部扰动为w(k)=0.01sin(0.01k), 传感器故障式(5)和执行器故障式(7)中的随机变量αil和βij满足如下的随机分布:

选定参数γ=5.5,μ=1.2,ζ=0.65, 解式(27)和(28)可得

由定理1可知, 满足

因此, 设计取Tσ=0.5 s。

(a) 切换信号σ(k)

(c) 误差估计e(k)

(d) 控制信号u(k)

图2仿真结果

Fig.2 Simulation result

5 结 语

本文在系统状态不可测的情况下研究了一类网络切换系统的鲁棒H∞控制, 建立了更一般的随机执行器/传感器故障模型, 其中, 控制系统的执行器和传感器同时故障而且每个通道的数据丢失概率由区间[0,θ](θ≥1)上满足随机分布的一个随机变量来描述. 运用平均驻留时间方法设计切换信号, 基于线性矩阵不等式方法给出了系统鲁棒H∞控制的充分条件。

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RobustH∞Control for Networked Switched System with Simultaneous Random Faults in Sensor and Actuator

LIUYonghui1，SUQingtang2

(1. School of Electrical Engineering， Shanghai Dianji University， Shanghai 201306， China; 2. School of Information and Electrical Engineering, Ludong University, Yantai 264025, Shandong, China)

In this paper, robustH∞control is considered for a class of networked switched systems with unknown state. The random faults are assumed to occur from the sensor to the controller and from the controller to the actuator, simultaneously. Moreover, the missing probability of each channel is governed by a random variable satisfying certain probabilistic distribution in the interval [0,θ] (θ≥1), which is a more general form of the fault model. An observer-based feedback controller is first designed. By using the average dwell time method, a sufficient condition for the mean-square exponential stability and a guaranteedH∞performance of the system are obtained. An example of the numerical simulation is given to show effectiveness of the proposed method.

switched systems；H∞control； sensor/actuator fault； average dwell time

TP 273

A

2017 -06 -06

国家自然科学基金项目资助(61771231)；山东省自然科学基金项目资助(ZR2017MF010)

刘永慧(1986-)，女，讲师，博士，主要研究方向为切换系统、滑模变结构控制和容错控制等， E-mail：liuyh@sdju.edu.cn

2095 - 0020(2017)04 -0187 - 09