一种PCM Buck变换器多频模型

李 菲 王 飞 王 蒙

(安徽机电职业技术学院 互联网与通信学院， 安徽 芜湖 241000)

为了节省空间、缩小体积，如何用较小的输出电容满足较快的瞬态响应成了电压调制器亟需解决的难题。研究表明，电路带宽的大小对瞬态响应的快慢起着至关重要的作用。通常，带宽越大，满足瞬态响应所需的输出电容就越小[1]。对于具有固定工作频率的电源系统，应提高系统带宽，以缩小体积[2]。

脉宽调制器(PWM)是Buck变换器的重要组成部分，传统的PWM设计建立在状态空间平均模型的基础之上[3]。峰值电流模(PCM)Buck变换器的状态空间平均模型中考虑了系统的寄生参数，如开关管的导通电阻、MOSFET管的死区时间等[4]。但在建模过程中，消除了电源变换器的采样特性，状态空间平均模型的精确度不会超过1/2开关频率[5]。对于工作在固定频率下的开关电源系统，随着带宽的增加，状态空间平均模型的精确度将不断降低[6]。电压模(VM)Buck变换器是常采用的多频模型，其中考虑了PWM比较器的非线性特性，故精确度较高。本次研究是将将多频模型应用于PCM Buck变换器中，设计一种PCM Buck变换器多频模型。模型在整个开关频段范围内均能与Simetrix/Simplis软件的仿真数据很好吻合，且可以准确地反映PCM Buck变换器系统的频域特性行为。

1 PCM Buck变换器的状态空间平均模型

通过状态空间平均模型，可搭建出PCM Buck变换器的系统模型，如图1所示。Simetrix/Simplis软件是一款专门针对电源电路开发的仿真软件，具有仿真结果精准、小信号AC分析速度较快的优点，因此通常将其仿真结果视同于实际测量结果。对于工作频率为2 MHz的PCM Buck电源变换器，其系统参数如表1所示。对此PCM Buck变换器，采用状态空间平均模型计算出频域特性曲线；同时，在Simetrix/Simplis软件中搭建PCM Buck电路，并通过仿真得到AC频域特性曲线，用以代替实际测量值。将计算的理论频域特性曲线与软件仿真结果进行对比，以此分析传统状态空间平均模型的精确度。

当PCM Buck变换器的带宽为600 kHz时，状态空间平均模型的幅频特性与仿真结果在带宽2 MHz范围内可以很好地拟合。但是，其中相频特性曲线与仿真结果吻合之处却带宽只达到了100 kHz，而与带宽600 kHz处存在15°的相位差。如果设计人员采用传统的状态空间平均模型来设计较大带宽开关电源，则模型将不能很好地预测较高频段范围内的频域特性，过大的相位差将会导致异常的瞬态或稳态问题。

2 VM Buck变换器的多频模型

电压模(VM) Buck变换器的模型如图2所示。在误差放大器的输出端Vc处接入一个扰频信号fp，对fp进行傅里叶分析可得传递函数。在理想状态下，PWM比较器的2个输入端信号分别为Vc和VR，占空比为常数d。当Vc端接入扰频信号fp后，占空比d则成为了一个变量。然而，PWM比较器属于非线性器件，存在边带效应，即在比较器的输入端有一个扰频信号fp，它在PWM比较器的输出端Vd处则会出现很多边频分量，如-fp、fp、fs-fp、fs+fp、-fs-fp、-fs+fp等。而边频分量fp、fs-fp又会通过回路反馈到比较器的输入端，导致扰频信号和边频信号在PWM比较器中相互耦合，进而产生了边带效应。

Vin — 输入电压；Vo — 输出电压；fs — 开关频率；Rc1、Re — 补偿电阻；

表1 设计参数

图2 VM Buck变换器模型

若在误差放大器的输入端Vc处插入扰频信号fp，经过傅里叶分析，则有：

(1)

式中：vd是PWM比较器输出端Vd的小信号波形；ws是开关频率fs的角频率表达形式；wp是扰频信号fp的角频率表达形式。

若VM Buck变换器的开关频率为2 MHz，输入电压为3.6 V，输出电压为1.2 V，则电感和电容等效为一个低通滤波器，高频分量经过低通滤波器将被衰减。若扰频信号fp小于系统的开关频率fs，电源系统中就会存在2个主要频谱分量：fp和fs-fp。若fp足够小，则fs-fp会足够大，经过低通滤波器时fs-fp会被衰减，系统中主要的频谱分量就是fp；若fp足够大时，fs-fp会很小，边频分量fs-fp将不会被衰减。而且，由vc到输出端vo的传递函数可知其开环增益为一个变量，故输出端的电压纹波也因频谱分量的不同而不同。

由于非线性PWM比较器的存在，VM Buck电源变换器也会出现边带效应[7]，因而建立VM Buck变换器多频模型的关键就是建立非线性PWM比较器模型。图3所示为VM Buck变换器的PWM比较器模型，其中VR是PWM比较器另一个输入端锯齿波的幅值。

图3 VM Buck变换器的PWM比较器模型

其中各变量关系如下：

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：d(wp)是占空比d所携带的扰频小信号；d(ws-wp)是占空比d所携带的边频小信号分量；vc(wp)是误差放大器输出端Vc所携带的扰频小信号；vc(ws-wp)是误差放大器输出端Vc所携带的边频小信号分量。

3 PCM Buck变换器的多频模型

为了较准确地预测电源系统高频段范围内的频域特性，设计了一种PCM Buck变换器多频模型。多频模型多用于较为简单的电压模控制的电源变换器。PCM Buck变换器控制回路较为复杂，具有2个控制回路：内部的电流环控制回路和外部的电压环控制回路。内部电流环存在采样保持效应，外部电压环存在边带效应，采样保持效应和边带效应均会影响电源系统带宽大小[8-10]。

对于PCM Buck变换器，若忽略斜波补偿波形，则电感电流采样电压(iL·Ri)与运算放大器的输出Vc经过PWM比较器，所产生的电压脉冲信号可控制开关管的关断。若在误差放大器的输出端Vc处接入一个扰频信号fp，则在PWM比较器的输出端Vd处将会产生无限多的频谱分量，主要的频谱分量是fp和fs-fp。对于PCM Buck变换器，Vd处的频谱分量又会通过反馈环到达PWM比较器的2个输入端：一方面可通过内部电流环到达VR处，另一方面可通过外部电压环到达Vc处。这2个环路的频谱分量通过非线性PWM比较器耦合在一起，又会产生新的扰频分量信号，如此循环往复。

根据图1，计算输出端的小信号vo到误差放大器输出端的小信号vc的频域传递函数：

(6)

式中：gm—— 误差放大器的跨导。

由于vc=vo·Tc，vR=iL·Ri，故有：

(7)

通过式(7)可知，vc处扰频信号的幅值比vR处扰频信号的幅值大很多。通过理论分析及仿真验证可知，误差放大器的输出端电压Vc携带扰频及边频信号，电感电流的采样电压所携带的频谱分量较小，可忽略不计。因此，PCM Buck变换器的PWM比较器可以等效为VM Buck变换器的PWM比较器。

在开关电源变换器建模过程中，有2个重要的性能指标：一是开环传递函数幅频特性曲线中的低频增益；二是开环传递函数相频特性曲线中穿越频率处的相位裕度。PCM Buck变换器的开环模型如图4所示。

Tc— 误差放大器的传输函数；Tpv— 占空比d到输出端电压Vo的传输函数；Tpi— 占空比d到电感电流iL的传输函数；He— 采样保持效应函数；Ri— 电感电流iL的采样因子；Kr— 反馈系数；Fm— 调制解调器增益

根据图4，计算vc(s)到d(s)的频域传输函数：

[(vc(s)-d(s)·Tpi(s)·Ri·He(s))+

d(s)·Tpv(s)·Kr]·Fm=d(s)

(8)

(9)

PCM Buck变换器的系统频域开环传递函数Tav(wp)可表示为：

Tav(wp)=Em(wp)·Tpv(wp)·Tc(wp)

(10)

增加边带效应模型，可得PCM Buck变换器的多频模型，如图5所示。

根据图5推导得到：

[vc(wp)·Em·e2πjD+vc·(ws-wp)·Em]·

Tpv(ws-wp)·(-Tc(ws-Tp))·Em·

e-2πjD+vc(wp)·Em=d(wp)

(11)

化简可得：

(12)

其中Tav(ws-wp)为平均模型的开环传递函数，频谱分量由wp替换成了ws-wp。

图5 PCM Buck变换器的多频模型

式(12)中分母包含两部分：一部分是常数1；一部分是包含边带效应的函数Tav(ws-wp)。当不考虑边带效应时，分母为1，式(12)则等效于PCM Buck变换器平均模型的开环传递函数。当扰频信号fp处于低频段范围时，fs-fp处于高频段范围，则包含边带效应的Tav(ws-wp)较小，式(12)的分母可以等效为1，式(12)依旧可以等效于PCM Buck变换器平均模型的开环传递函数。当扰频信号fp足够大时，fs-fp处于低频段范围，则式(12)的分母可以忽略1而等效为Tav(ws-wp)。此时，式(12)与传统的平均模型不同，其中引入了边带效应。由于Tav(ws-wp)的存在，导致系统开环增益及相位在开关频率fs处出现大幅下降。

图6 PCM Buck变换器多频模型与Simetrix/Simplis软件仿真拟合曲线

4 结 语