基于神经网络的应力盘数据驱动建模研究

沈 颖

(重庆科技学院机械与动力工程学院，重庆 401331)

0 前言

在大口径非球面镜类大型光学器件抛光加工过程中，计算机控制应力盘抛光技术显示了其巨大的优越性［1］。为了匹配镜面各处不同曲率，应力盘可连续进行弯曲控制。根据应力盘在镜面上的位置和角度不同，控制系统能将应力盘面形变成相应的离轴非球面形状。由于应力盘曲率大小跟其在非球面镜上的位置和方向有关，因此当应力盘在镜面上移动和旋转时，采用传统加工技术的大型抛光盘面形无法与理想非球面镜面形保持一致。相对于传统抛光方法，采用计算机控制应力盘抛光技术的能动应力盘抛光能够大大提高产品加工效率和成品率，可保证非球面镜表面光滑度和边缘完整性［2］。

但由于应力盘模型的不确定性和高度非线性，特别是对大离轴非球面镜在光学抛光加工中的高性能要求，在控制过程中还面临许多难题需要解决。在计算机控制抛光加工过程中，建立精确的应力盘表面模型并用于其面形控制是整个控制过程中的一个关键环节。

为实现应力盘抛光计算机控制，本次研究重点讨论应力盘面形建模问题。首先，提出一种用于应力盘抛光加工计算机控制系统，讨论面形控制系统结构及面形数据测量方法;其次，建立基于RBF神经网络的应力盘面形模型，利用该模型能精确地反映在驱动力输入信号作用下应力盘的动态变形过程。在应力盘建模过程中，通过改变弯矩电机产生的驱动力大小来连续改变应力盘面形，采集建模所需要的数据集，并进行了仿真实验。实验结果表明，基于RBF神经网络的模型能精确拟合应力盘面形，相对于采用传统Zernike多项式面形表示法［3－4］，本模型更加准确有效。

1 应力盘面形测量及控制

1.1 应力盘面形控制

在大口径非球面光学镜应力盘抛光加工中，应力盘是一块直径60 cm的铝制圆盘，背面放置有一组力矩电机，12个电机产生的力矩作用于圆盘，从而用于控制抛光压力及压力分布，抛光面覆盖有一层沥青。应力盘俯视图见图1。

图1 应力盘俯视图

应力盘在一组对称分布于应力盘上力矩电机产生的驱动力作用下能够连续地进行变形。当应力盘在镜面上移动和旋转时，力矩电机在计算机程序控制下根据需要改变驱动力矩，从而改变应力盘面形，使其能很好地拟合镜面各处面形［5］。应力盘面形控制系统基本结构如图2所示。控制器的任务是输出适当的驱动力控制信号，通过控制弯矩电机，就能够始终保证应力盘面形与理想镜面面形保持一致，从而使得实际应力盘面形能精确跟踪给定的理想面形。同时当应力盘覆盖到镜面边缘时，可根据面形误差和平衡力大小，利用力矩电机改变驱动力，从而在加工过程中保证镜面边缘的完整性。

图2 应力盘面形控制系统基本结构图

1.2 面形位移测量方法

为了测量应力盘表面位移，使用由60个均匀分布的位移传感器构成的位移测量平台。应力盘放置于一组位移传感器阵列上，通过传感器测量应力盘变形，从而用于应力盘面形测试和校准，传感器对称均匀地分布在一组同心圆上。由此可以用来测量应力盘表面的任何变化，通过对测量数据进行插值处理，反映应力盘面形变化。应力盘表面位移传感器位置分布如图3所示。

图3 应力盘表面位移传感器位置分布图

2 基于神经网络的应力盘建模

应力盘面形控制过程中，建立起反映驱动力和应力盘面形变化关系的精确模型至关重要，用传统方式描述应力盘面形变化相当困难。由于在环形区域内应力盘是连续平滑地变化的，因此可以用一组独立的基函数对面形进行描述。在光学加工领域，常常采用Zernike多项式来描述镜面形状，首先将测量到的面形数据投影到单位圆，然后选择基函数，而多项式系数通常采用正交最小二乘算法或经神经网络训练得到。为了提高应力盘面形建模效率和准确性，在此提出一种直接从面形测量数据建立应力盘面形的RBF神经网络模型。

RBF径向基函数方法［6］是在高维空间进行插值的一种技术，RBF神经网络是一种前馈反向传播网络，包含一个由非线性神经元组成的单隐层，及一个线性输出层。RBF神经网络模型结构如图4所示。理论上 ，RBF网络能逼近任意连续非线性函数，Xu等人就利用RBF网络作为万能函数逼近器问题进行了相关理论研究，并获得了一系列研究成果［7］。

给定N组输入输出对P(x，y)及相应的模型误差ε ＞ 0，则存在一个RBF网络模型f(c，σ，w，P)，当最优化隐单元数s和参数组(c，σ，w)时，则误差函数 E= ‖y-f‖ 满足不等式 E(c，σ，w，P) ＜ ε。

图4 RBF神经网络模型结构

对于应力盘面形模型，输入变量是由电机产生的驱动力F，输出变量是应力盘表面位移D，则可建立应力盘面形RBF网络模型:

此处径向基函数Φi定义为:

其中:wij是输出层权值;ci是第i个径向基单元中心值;σi代表单元宽度，反映了在输入空间域的作用范围。

可以采用不同方法确定中心向量，常用的包括K－均值算法、Kohonen自组织映射算法［8］、模糊聚类算法等。在本文中径向基单元数量根据驱动力数量选择，为提高RBF网络模型逼近精度，所有网络参数ci、σi、wij通过 BP算法进行训练，且训练误差函数采用公式:

其中:dj是第j个期望输出;Dj是第j个实际输出。则参数学习算法如下:

其中:i=1，2，… s;j=1，2，… n;k=1，2，… m;β为学习速率;γ为动量速率;k为迭代次数，ej=Dj-dj。为加快BP算法收敛速度，提高其学习效率，在此采用了自适应整定算法自动调整学习速率β和动量速率γ，从而获得最优RBF网络模型参数。

3 仿真实验

为了验证神经网络模型的有效性，进行了各种MATLAB［10］仿真实验。通过采集由12个电机产生的驱动力和对应由60个位移传感器测量到的应力盘面形变化量组成的输入输出数据集进行仿真。在这些数据集中，包括轮流由每个电机产生1～3个单位驱动力而其余电机不产生驱动力所得到的面形位移测量数据，以及12个电机同时产生一个单位驱动力所得到的面形位移测量数据。

在RBF网络训练中，驱动力数据作为输入样本，由微位移传感器阵列测量得到的原始数据作为输出样本，利用100组实验数据对RBF网络模型进行训练，另外采用了20组原始数据对神经网络进行测试。

图5 应力盘面形图1

经过训练就得到基于RBF网络的应力盘面形模型，图5显示了在2号电机产生一个单位驱动力作用下由经过训练后的RBF网络模型产生的应力盘面形仿真图，而用对应的应力盘面形测量数据来测试模型精度，则模型预测的均方误差小于10－2μm。图6显示了残余拟合误差分布图，对于其他几种面形，所得模型精度相类似。

图6 残余误差分布图

图7(a)和(b)分别显示了1号电机和4号电机产生一个单位驱动力时的应力盘面形图。由图可知，由1号电机驱动力引起的面形变化与由4号电机驱动力引起的面形变化方向几乎相反，而1号电机和4号电机在位置上相差90o。由RBF网络模型获得的不同面形说明，不同电机驱动力对应力盘面形变化产生的影响是不同的，从而有助于深入研究电机驱动力与面形变化之间的内在关系。

图7 应力盘面形图2

图8 应力盘面形图3

图8显示了12个电机同时产生一个单位驱动力时的面形。在12个均匀分布驱动力作用下应力盘变成一个抛物面。仿真实验显示，本文提出的应力盘面形RBF网络模型能够精确有效地反映应力盘面形及其变化，通过RBF网络模型能够建立起电机驱动力和应力盘面形变化之间的关系，从而有助于应力盘控制系统的设计。

4 结语

本文提出了一种应力盘控制系统，并建立了描述应力盘面形的基于RBF网络的多输入多输出模型，相对于传统的Zernike多项式模型，RBF网络模型简单、有效，更加容易实现。仿真实验结果显示，本文提出的神经网络模型不仅能够精确反映应力盘面形，而且能够反映不同电机驱动力对面形变化的影响。对于应力盘控制系统设计，研究在不同驱动力组合情况下应力盘面形动态变化与驱动力间耦合关系，是今后进一步要做的工作重点。

［1］杨力，姜文汉.计算机控制抛光大口径高陡度非球面技术研究［J］.光电工程，1999，26(1):9 －15.

［2］杨力.先进光学制造技术［M］.北京:科学出版社，2001.

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［4］单宝忠，王淑岩，牛憨笨，等.Zernike多项式拟合方法及应用［J］.光学精密工程，2002，10(3):318 －322.

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［7］Xu L，Kryzak A，Yuille A.On radial basis function nets and kernalregression:Statistical consistency，convergence rates，and receptive field size［J］.Neural Networks，1994，7(4):609－628.

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