含Hardy位势双调和方程解的存在性和多重性

刘春晗，王建国

(齐鲁师范学院数学学院，山东 济南 250013)

含Hardy位势双调和方程解的存在性和多重性

刘春晗，王建国

(齐鲁师范学院数学学院，山东 济南 250013)

利用山路引理及临界群，在共振的情况下讨论含Hardy位势的双调和方程，获得了方程非平凡解的存在性和多重性.

Hardy位势；山路引理；临界群；非平凡解

1 预备知识

文献[1-2]研究了特征值问题

(1)

其中R为常数，0≤q(x)≤1.若

这里Ω⊂R4，λ1是不可达的.

文献[3]利用临界点理论中的喷泉定理讨论了方程

其中Ω⊂R4.得到了方程的非平凡解.

文献[4]讨论了方程

(2)

其中Ω⊂R4.当μ<1时，得到了方程(2)的非平凡解.

本文利用山路引理和临界群，在f满足无穷远处共振的情况下，研究了方程(2)的存在性和多解性问题.此类问题在非共振的情况下研究得较多，而共振的情况研究得很少，而且我们的方法也不同于文献[4-6].

的完备化空间为H.易知H是按内积

首先在空间H中讨论以下的特征值问题非平凡解的存在性：

(3)

第一特征值定义为

其相应的特征函数记作φ1，μ.

第二特征值定义为

其相应的特征函数记为φ2，μ.

第n特征值定义为

其相应的特征函数记作φn，μ.

问题(2)的弱解就是泛函

的临界点，其中

对于任意的φ∈H，

下面简单介绍一下临界群和Morse理论.更多的知识可参看文献[6-8].

设H是Hilbert空间，泛函Φ∈C2(H，R)满足(PS)(或(C))条件，Hq(H，Y)是具有整系数的q阶奇异相对同调群.设u0是Φ的孤立临界点，且Φ(u0)=c∈R.记

Φc={u∈H|Φ(u)≤c}；K={u∈H|Φ′(u)=θ}.

我们称群

Cq(Φ，u)=Hq(Φc，Φc{u0})(q∈Z)

为Φ在u0处的q阶临界群.若设K是有限集，称

Cq(Φ，∞)=Hq(H，Φa)(q∈Z)

为Φ在无穷远处点的临界群，其中a

下面给出一些假设条件：

用到的定义和引理：

定义1[2]设Φ∈C1(H，R)，称Φ关于每一个c∈R满足(C)c条件，若满足

Φ(un)→c，(1+‖un‖)Φ′(un)→0(n→∞)

的任意数列{un}都有收敛子列；称Φ满足(C)条件，如果Φ关于每一个c∈R满足(C)c条件.

引理1[4]若μ<1，特征值问题(3)有一个非平凡解φ1，μ.

引理2[4]若μ<1，当n→∞时，λn，μ→∞.

引理3[4]设H=Y⨁Z，Y=span{φ1，μ，φ2，μ，…，φk，μ}，k≥2，μ<1，Z=Y⊥，则

定理1(山路引理)[9-11]假设φ∈C1(H，R)满足

对某一个α<β，ρ>0，且u1∈H，‖u1‖>ρ.令

Γ={γ∈C([0，1]，H)：γ(0)=0，γ(1)=u1}，

且

则c≥β>0，且存在序列{un}⊂H，使得

φ(un)→c，(1+‖un‖)φ′(un)→0，n→∞.

而且，如果φ满足(C)c条件，则c是φ的临界值.

定理2[9]设H=X+⨁X-，Φ在X+上下方有界，且当‖x‖→∞时，Φ(x)→-∞，∀x∈X-，ν=dimX-<∞.则Cμ(Φ，∞)0.

2 主要结果

定理3 如果F(x，t)满足假设条件(F1)—(F3)，μ<1，则方程(1)至少存在一个非平凡解.

证明 (ⅰ) 证明I满足(C)条件.

首先证明{un}是有界的.假设un满足

vn⇀v与H，vn→v与L2(Ω)，vn→v. a.e.x∈Ω.

(4)

如果v(x)≠0，由假设条件(F2)可得

由在L2(Ω)中，vn→v，有

如果v(x)=0，有

所以对任意的φ∈L2(Ω)，有

再由(4)式可得

由Fatou引理可得

另外

矛盾.故{un}是有界的.

(5)

其中o(1)→0.当n，m→∞时，有

因此{un}在H上强收敛到u，故Φμ满足(C)条件.

(ⅱ)Φμ(u)满足山路引理的条件.由假设条件(F1)，(F2)可得，对任意的ε>0，存在C1>0，使得

取充分小的ε>0，使得A+ε<λ1，μ，利用Pioncaré不等式和Sobolev不等式，有

取‖u‖=r>0足够小，可得Φμ|∂Br≥α>0，其中Br={u∈H：‖u‖≤r}.

取ε>0充分小，使得λk，μ-ε>λ1，μ，我们有

因为∀u∈Y，设u=tφ1，这里φ1相对于特征值λ1的特征函数，‖φ1‖=1，有

则存在e∈H，‖e‖>r，使得Φ(e)≤0.

所以Φμ满足定理1的所有条件，则由定理1可得，方程(1)至少存在一个非平凡解.

定理4 如果f(x，t)满足假设条件(F1)—(F2)，(F3)′，则方程(1)至少存在两个非平凡解.

证明 类似于定理3的证明可得，方程(1)存在非平凡解u1，并满足

Cq(Φμ，u1)=δq1Z.

(6)

另外，易知θ是Φ的局部最小值点，则

Cq(Φμ，0)=δq0.

(7)

类似于定理3的证明可得，在(F2)，(F3)′条件下，泛函Φμ满足(C)条件.

设H=Y⨁Z，Y=span{φ1，μ，φ2，μ，…，φk，μ}，k≥2，μ<1，Z=Y⊥.下面证明泛函Φμ在Z上下方有界.泛函Φm在Ψ上反强制，即当‖u‖→+∞，有Φμ(u)→-∞，∀u∈Y.

取ε>0充足小，使得λk，μ+ε<λk+1，μ，利用引理4，∀z∈Z，我们有

所以泛函Φμ在Z上下方有界.

因此，对任意的N>0，存在RN>0，有

对于t>0，我们有

对上式在[t，s]⊂[T，+∞)积分，可得

由上式，对y∈Y，且‖z‖→+∞，由引理4，有

由定理2可知，

Cν(Φμ，∞)0.

(8)

由(7)，(8)两式可知，Φμ有非平凡临界点u2满足

Cν(Φμ，u2)0.

(9)

因为ν≥2，所以u1≠u2，故u1，u2都是方程(1)的非平凡解.

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(责任编辑：陶 理)

Existence and multiplicity of solutions for biharmonic equation with Hardy potential

LIU Chun-han，WANG Jian-guo

(School of Mathematics，Qilu Normal University，Jinan 250013，China)

By using mountain pass lemma and critical group，biharmonic equations with Hardy potential at resonance are discussed.It proves the existence and multiplicity of nontrivial solutions.

Hardy potential；mountain pass lemma；critical group；nontrivial solution

1000-1832(2014)04-0030-06

10.11672/dbsdzk2014-04-005

2013-06-08

国家自然科学基金资助项目(10971179)；山东省高等学校科技计划项目(J02LI53)；齐鲁师范学院青年教师科研基金资助项目(2013L1306).

刘春晗(1981—)，男，硕士，讲师，主要从事非线性泛函分析及其应用研究.

O 175.25 [学科代码] 110·4710

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