赋广义Orlicz范数Orlicz序列空间的k-端点和k-强端点

张 静，段丽芬，左明霞

(1.通化师范学院数学学院，吉林 通化 134002；2.哈尔滨理工大学应用科学学院，黑龙江 哈尔滨 150080)

赋广义Orlicz范数Orlicz序列空间的k-端点和k-强端点

张 静1，段丽芬1，左明霞2

(1.通化师范学院数学学院，吉林 通化 134002；2.哈尔滨理工大学应用科学学院，黑龙江 哈尔滨 150080)

给出了由N-函数生成赋广义Orlicz范数的Orlicz序列空间中k-端点和k-强端点的判据，得到了该空间关于广义Orlicz范数k严格凸和中点局部k一致凸的条件.

广义Orlicz范数;Orlicz序列空间;k-端点;k-强端点

k-端点和k-强端点是Banach空间几何学的重要概念，它们在微分方程、逼近论、控制论等数学分支中都有应用[1-4].Orlicz空间作为一类具体的Banach空间，因为它所包含内容的丰富性和应用的广泛性，受到广大数学工作者的青睐[5-8].赋Orlicz范数和Luxemburg范数Orlicz空间的k-端点和k-强端点的判据早已获得[9-11]，赋广义Orlicz范数Orlicz函数空间的k-端点和k-强端点的条件也已找到[12].本文对赋广义Orlicz范数Orlicz序列空间的k-端点和k-强端点进行了讨论，得到了由N-函数生成赋广义Orlicz范数的Orlicz序列空间中k-端点和k-强端点的判别方法，同时给出了Orlicz序列空间关于广义Orlicz范数k严格凸和中点局部k一致凸的条件.

1 预备知识

设X是Banach空间，X′表示其对偶空间，S(X)表示X的单位球面.

其中

若单位球面S(X)上每一点都是k-强端点，则称X是中点局部k一致凸的.

设p+(u)是M(u)的右导数，N(v)是M(u)的余函数，

N(v)=sup{u|v|-M(u):u≥0}.

在线性集

及其闭子空间

上赋Orlicz范数

Luxemburg范数

‖x‖M=inf{λ>0:ρM(x/λ)≤1}，

及广义Orlicz范数

在Orlicz空间lM，p中，M∈Δ2指存在常数C>0和x0>0，当|x|≤x0时，满足M(2x)≤CM(x).

引理1 设M是N-函数，则对任何1

证明 按文献[13]定理4的证明过程，可得(hN，q)′=lM，p，所以对任何x=(x(i))∈lM，p，有

引理2 设M是N-函数，则对任何1

证明 首先，利用引理1

2 主要结果

于是

且

即

由M的凸性可得，对任何i∈N，

(1)

已知μ{i∈N:h0x0(i)∈RSM}≤k，不妨设{i∈N:h0x0(i)∈RSM}={1，2，…，k}.由(1)式知，当i≥k+1时有

h1x1(i)=h2x2(i)=…=hk+1xk+1(i).

(2)

另外，利用Minkowsky不等式等号成立的条件，有

从而

(3)

注意到齐次线性方程组

(4)

有非零解(α1，…，αk+1).不妨设αk<0，αk+1>0，则

且当1≤i≤k-1时，

结合(3)式，可得

由于h1x1(k)，h2x2(k)，…，hkxk(k)在同一个线性区间上，有

(5)

类似的

若假定(5)式中不等号成立，可导出矛盾M(hkxk(k))>M(hkxk(k))，因此

考虑到h1x1(k)，h2x2(k)，…，hk+1xk+1(k)在同一个线性区间及0∈SM，有

结合(2)，(4)两式立即可得

但

定理2 设M是N-函数，则对任何1

πM，p(α)=inf{t>0:(α+1)pM(t)·N(p+(t))>1}.

证明 必要性 假设结论不成立，则存在a∈(0，πM，p(k))，使a∉SM.

显然

(k+1)pM(a)·N(p(a))≤1.

记

b=sup{u:[(k+1)M(a)+M(u)]p-1·[(k+1)N(p+(a))+N(p+(u))]≤1}≥0，

定义

则由b的定义，

由定理1知x不是k-端点，这与lM，p(1

于是

这与由h的定义得到的结论

矛盾，因此x是k-端点.再利用定理1可得，lM，p(1

定理3 设M是N-函数，则对任何1

证明完全类似文献[11]定理2，过程冗长，略.

利用定理2和定理3，立即可得下面的结论.

定理4 设M是N-函数，则对任何1

πM，p(k)=inf{t>0:(k+1)pM(t)·N(p+(t))>1}.

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[12] 姜镕泽，王俊明，刘复生.赋p-Amemiya范数Orlicz空间的k-端点和k-强端点(1≤p≤∞)[J].哈尔滨理工大学学报，2011，16(2):90-93.

[13] 李小彦，崔云安. 赋p-Amemiya范数Orlicz空间的对偶空间[J].哈尔滨理工大学学报，2011，16(1):110-112.

(责任编辑：陶 理)

k-extreme points andk-strongly extreme points in Orlicz sequence spaces endowed with the generalized Orlicz norm

ZHANG Jing1，DUAN Li-fen1，ZUO Ming-xia2

(1.School of Mathematics，Tonghua Normal University，Tonghua 134002，China;2.School of Applied Sciences，Harbin University of Science and Technology，Harbin 150080，China)

For the Orlicz sequence spaces generated by aN-function endowed with the generalized Orlicz Norm，criteria ofk-extreme points andk-strongly extreme points are given. And by it both sufficient and necessary conditions are presented to make them bek-rotund and mid-point locallyk-uniformly rotund.

generalized Orlicz norm；Orlicz sequence space;k-extreme point;k-strongly extreme point

1000-1832(2014)04-0042-06

10.11672/dbsdzk2014-04-007

2014-03-20

国家自然科学基金资助项目(11226127);吉林省教育厅“十二五”科技项目(2014-400);黑龙江省教育厅科研项目(12531137).

张静(1978—)，女，硕士，讲师，主要从事Orlicz空间几何理论研究；段丽芬(1967—)，女，硕士，教授，主要从事Orlicz空间几何理论研究.

O 177.3 [学科代码] 110·57

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