Feigenbaum吸引子的动力性质

汪 威，朱晓刚，李俊杰，李 健，廖梦兰

(1.吉林农业大学信息技术学院，吉林 长春 130118；2.长春工程技术学院，吉林 长春130117；3.吉林大学数学研究所，吉林 长春 130012)

Feigenbaum吸引子的动力性质

汪 威1，朱晓刚2，李俊杰1，李 健1，廖梦兰3

(1.吉林农业大学信息技术学院，吉林 长春 130118；2.长春工程技术学院，吉林 长春130117；3.吉林大学数学研究所，吉林 长春 130012)

阐述了一类非单谷的Feigenbaum映射的一些主要性质，通过与进位系统建立拓扑共轭关系，证明了该映射限制在其吸引子上具有简单的动力性质，即极小的、唯一遍历的、拓扑熵为零.

Feigenbaum映射；拓扑共轭；进位系统

1 预备知识

Feiganbaum现象的研究涉及很多农业生产中的实际问题，如物种之间的时滞影响，玉米病虫害的分析，神经元网络的研究等等.动力系统中关于Feigenbaum现象的研究主要是针对其解进行的探讨.近些年来，国内外很多学者都以不同方式对该方程的解的存在性及性态进行了研究[1-4].

1984年，J.P.Eckmann等人在文献[5]中引入了p-阶Feigenbaum函数方程

(1)

其中f(x)是闭区间[0，1]上的连续自映射，fp(x)是f(x)的p次迭代.

本文所涉及的Feigenbaum函数方程如下：

(2)

文献[6]给出了该方程的解与方程(1)的解之间有着非常直接的联系，并构造了该方程的可微偶单峰解.

定义1.1[6]设g为闭区间[a，b]上的连续自映射.如果存在α∈(a，b)，使得g在区间[a，α]上严格单调递减，在区间[α，b]上严格单调递增，则称g(x)是单谷的.

以下叙述中，我们用符号I表示区间[0，1].

定义1.2[6]设g为闭区间I上的连续自映射.如果g是方程(1.2)的解，并且满足g(0)=1，以及限制映射g|[λ，1]是单谷的，则称g为p-阶Feigenbaum映射.

如果g本身不是单谷的，则称Feigenbaum映射g是非单谷的.

引理1.1[7]令g0为区间[λ，1]上的连续自映射，其中λ∈(0，1)，令p≥2为整数.如果：

(1) 存在α∈(λ，1)，使得g0(α)=0，并且g0|[λ，α]严格递减，g0|[α，1]严格递增.

(3) 存在α0∈[α，1)使得：

(b) 记J1=[α0，1]以及Ji=gi-1(J1)对任意i∈[1，p-1]，J1，J2，…，Jp-1⊂(λ，1]是两两不交的；

则存在唯一的p-阶非单谷的Feigenbaum映射，使得限制映射g|[λ，1]=g0.

反之，如果g0是p-阶非单谷的Feigenbaum映射在区间[λ，1]上的限制，则g0必满足条件(1)—(4).

2 进位映射

设S={0，1，2，…，p-1}是由p个不同符号组成的状态空间，并且具有离散拓扑使其成为一个紧致拓扑空间.

令

Σp={x=x0x1x2…|xi∈S，i=0，1，2，…，p-1}.

定义2.1 设ρ:Σp×Σp→R，为对任意(x，y)∈Σp×Σp，如果x=x0x1…，y=y0y1…，那么

则ρ是Σp上的度量.

于是(Σp，ρ)构成了紧致度量空间[7]，我们把它称作p-单边符号空间.

在(Σp，ρ)上引进加法运算

取Σp中任意两点x=x0x1…，y=y0y1…，将x+y=(z0，z1，z2，…)定义为：

如果x0+y0

如果x0+y0≥p，则z0=x0+y0-p，在下一位上加1.

3 Feigenbaum吸引子的存在性

有关吸引子的定义有很多，本文使用的是J.Milnor在文献[8]中针对紧致流形的连续映射所给出的定义.

设M为紧致流形(可能带边)，f:M→M连续.

定义3.1[8]如果A的不变闭子集Λ(f)吸引A中几乎所有的点(Lebesgue测度下)，则称Λ(f)是f的一个吸引子.也就是说，A中去掉一个Lebesgue测度为零的子集外，余下的任意x∈M，都有ω(x，f)⊂Λ(f).

令f为p-阶非空谷的Feigenbaum映射，并且存在α∈(λ，1)，使得f(α)=0.

令g=f|[α，1]，如果f在区间[λ，α]和[α，1]上一阶导数连续，并且满足在区间[λ，α]上f′(x)<-(p-1)，在区间[α，1]上f′(x)≥1(这里f′(x)表示f对x的导数，如果x是闭区间的某个端点，则f′(x)表示f(x)在该点的左导数或右导数).

令

Jp=[0，λ]，Ji=fi(Jp).

因为f为p-阶非空谷的Feigenbaum映射，所以由引理1.1可推出Ji⊂[α，1]对任意1≤i≤p-1都成立.

定义

φi:I→I，

φp(x)=λx，

φi(x)=g-(p-i)(φp(x))，i=1，…，p-1，

那么对任意i=1，2，…，p-1，上述定义φi均为压缩映射.

设

由引理1.1可知，对所有i，φi(I)=Ji，并且J1，J2，…，JP是两两不交的.因此，φ满足开集条件[9].由文献[9]中引理2.1和引理2.2可知，存在非空紧子集E，使得

φ(E)=E，

并且

s≤dimE≤t，

其中

以下我们将φi1∘φi2∘…∘φik简记为φi1i2…ik.

引理3.1[9]对任意的x∈I，都有下列等式成立：

f∘φp(x)=φ1∘f(x)，

f∘φi(x)=φi+1(x)，i=1，…，p-1.

引理3.2[9]记φi1，…，ik(I)和φj1，…，jk(I)为I的任意子集，则存在n>0，使得

fn∘φi1，…，ik=φj1，…，jk(I).

引理3.3[9]E是f的吸引子.

4 Feigenbaum吸引子的性质

定理4.1 f|E拓扑共轭于p-进位系统τ.

证明 根据φ的定义

φi(I)两两相交，对任意k>0，用φi1i2…ik作用等式两端，可得

是一无交并.于是，集合{φi1…ik(I)}中的任意两个元素不相交，或其中一个包含另外一个.因此，由引理3.1及

可知，对于任意

若令

另一方面，如果令δk>0表示pk个区间φb1…bk(I)中任意的两个集合间的最小距离，那么，当x∈φα(I)，y∈φβ(I)以及|x-y|<δ时，便有ρ(α，β)

由于拓扑共轭的系统具有相同的动力性质，并且已知进位映射是极小的、唯一遍历的，并且拓扑熵为零，所以可以直接得出f在其吸引子E上的动力性质.

推论4.1f|E是极小的、唯一遍历的，并且拓扑熵为零.

[1] YNAG LU，ZHANG JINGZHONG. The second type of feigenbaum’s functional equations[J].Science in China：A，1985，12: 1061-1069.

[2] WANG LIJUAN. Likely limit sets of 3-order Nonsingle-valley Feigenbaum’s maps[J]. Acta Mathematica Sinica，2007，50(3):577-582.

[3] 刘国清，关志强，迟艳辉.Feigenbaum映射的周期点[J].哈尔滨师范大学自然科学学报，2010，26(2):22-24.

[4] 张敏，司建国. 一类推广后的Feigenbaum函数方程的光滑解[J]. 中国科学：数学，2011，41(11): 981-990.

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(责任编辑：陶 理)

Dynamical properties for Feigenbaum’s attractors

WANG Wei1，ZHU Xiao-gang2，LI Jun-jie1，LI Jian1，LIAO Meng-lan3

(1.Information Technology College，Jilin Agricultural University，Changchun 130118，China；2.The Institute of Changchun Engineering Technology，Changchun 130117，China；3.Institute of Mathematics，Jilin University，Changchun 130012，China)

In this paper，we introduce some important properties of a kind of non-univallecular Feigenbaum’s map. By proving that Feigenbaum’map is topologically conjugate to adic map，we have concluded that Feigenbaum’map is minimal，strictly ergodic and has 0 topological entropy.

Feigenbaum’map；topological conjugate；adic system

1000-1832(2014)04-0048-04

10.11672/dbsdzk2014-04-008

2014-07-02

吉林省科技发展计划项目(20140204045NY，20130522110JH);吉林农业大学科研启动基金资助项目(201310)；吉林省教育厅“十二五”科学技术研究项目(2014第468号)；2014年度吉林农业大学本科生科技创新基金资助项目.

汪威(1981—)，女，博士，讲师，主要从事拓扑动力系统研究.

O 189 [学科代码] 110·31

A