关于广义Ramanujan-Nagell方程x2-D=3n的解数

瞿云云，曹 慧，牟全武

(1.贵州师范大学数学与计算机科学学院，贵州 贵阳 550001；2.湖北科技学院数学与统计学院，湖北 咸宁 437100；3.同济大学数学系，上海 200092)

关于广义Ramanujan-Nagell方程x2-D=3n的解数

瞿云云1，曹 慧2，牟全武3

(1.贵州师范大学数学与计算机科学学院，贵州 贵阳 550001；2.湖北科技学院数学与统计学院，湖北 咸宁 437100；3.同济大学数学系，上海 200092)

设D是不能被3整除的正整数.证明了：当D>106时，如果Pell方程U2-DV2=-1有解(U，V)，则方程x2-D=3n至多有两组正整数解(x，n).故而改进了已有的结果.

指数Diophantine方程；解数；上界

1 预备知识

设D是正整数，p是不能整除D的奇素数，N(D，p)表示广义Ramanujan-Nagell方程的解(x，n)的个数.1918年，G.Pólya证明了：若f(x)是关于x的2次有理整系数多项式，并且有不同的根，则当正整数x→∞时，f(x)的最大素因数P(x)→∞.因此，对于任何给定的D与p，方程(1.1)的解数N(D，p)都是有限的.近几十年来，关于N(D，p)的上界估计一直是指数丢番图方程研究的重要问题之一[1].1981年，F.Beukers运用丢番图逼近方法[2]证明了N(D，p)≤4，同时，Beukers猜测N(D，p)≤3.1991年，乐茂华用Gel’fond-Baker方法基本上解决了上述猜想[3]，即证明了：当max(D，p)>10190时，必有N(D，p)≤3.1994年，他在文献[4]中将10190改进为1065.关于Beukers猜想后来被M.Bauer与M.A.Bennett彻底解决[5].乐茂华运用Gel’fond-Baker方法还证明了：当p>D>260时，必有N(D，p)≤2.进一步，他提出下面的猜想：

x2-D=pn，x，n∈N

(1.1)

猜想1.1[6]当p是奇素数时，如果(D，p)是方程(1.1)的非例外对，则必有N(D，p)≤2.

这一猜想还没有被彻底解决.杨继明证明了[7]：当D>1012时，如果Pell方程

U2-DV2=-1，U，V∈Z

(1.2)

有解(U，V)，则必有N(D，3)≤2.

本文证明了下面的结论：

定理1.1 当D>106时，如果Pell方程(1.2)有解(U，V)，则必有N(D，3)≤2.

2 若干引理

引理2.1[5]设a，m∈N.如果

(2.1)

或

(2.2)

则方程(1.1)分别有三组正整数解(x，n).

上述两组(D，p)称为例外对，使得方程(1.1)有解的其他(D，p)称为非例外对.

引理2.2 如果Pell方程(1.2)有解(U，V)，则：

(ⅰ) (D，p)是非例外对；

引理2.3[4]设(D，p)是非例外对.如果方程(1.1)有三组解 (x1，n1)，(x2，n2)，(x3，n3)，不妨设n1

引理2.4[3]当D是非完全平方正整数时，如果方程

X2-DY2=p2；X，Y，Z∈Z；gcd(X，Y)=1；Z>0

(2.3)

有解(X，Y，Z)，则它有唯一的正整数解(X，Y，Z)=(X1，Y1，Z1)适合

u2-Dv2=1，u，v∈Z

(2.4)

的基本解.这样的(X1，Y1，Z1)称为方程(2.3)的最小解.此时，方程(2.3)的任何一组解(X，Y，Z)都可以表示成

这里(u，v)是Pell方程(2.4)的解.

引理2.5[3]当D是非完全平方正整数时，如果方程(1.1)有解(x，n)，则方程(2.3)必有解(X，Y，Z)，而且(1.1)的解(x，n)可以表示成

(2.5)

其中

nj=Z1tj，tj∈N，j=1，2.

(f，ɡ)是Pell方程

f2-pZ1ɡ2=1(f，ɡ∈Z)

的正整数解.

F2-pG2=1(F，G∈Z)

(2.6)

的基本解.当G1≢0(modp)时，如果(F，G)是方程(2.6)的一组适合G≡0(modps)的正整数解，其中s是正整数，则必有

这里m是适合m≡0(modps)的正整数.

引理2.8[5]设k为正整数，且k>2，k≠7.则对任意整数x，有

3 定理的证明

设D是适合D>106的正整数.当Pell方程(1.2)有解时，由引理2.2知(D，3)为非例外对，且方程(1.1)中的n为奇数.假设N(D，3)>2，则方程

x2-D=3n

(3.1)

必有3组解(x，n)=(xi，ni)(i=1，2，3)适合

由引理2.3知D为非完全平方整数，所以由引理2.5知

ni=Z1ti，ti∈N，i=1，2，3.

(3.2)

其中：Z1，ti(i=1，2，3)是奇数；(X1，Y1，Z1)是方程(2.3)在p=3时的最小解.

从(3.1)—(3.2)式可知方程

a2-3Z1b2=D，a，b∈Z；gcd(a，b)=1

有两组解

(a，b)=(xj，3Z1(tj-1)/2)，j=2，3.

又从引理2.6可知这两组解满足

(3.3)

其中(f，ɡ)是Pell方程

f2-3Z1ɡ2=1(f，ɡ∈Z)

(3.4)

的正整数解.由(3.3)式可得

3Z1(t3-1)/2=ɡx2±3Z1(t2-1)/2f，

所以

ɡ≡0(mod 3Z1(t2-1)/2).

(3.5)

由(3.4)式知Pell方程

F2-3G2=1(F，G∈Z)

(3.6)

有解

再由(3.2)与(3.5)式知

G≡0(mod 3(n2-1)/2).

(3.7)

把(3.7)式代入(3.3)式有

(3.8)

由引理2.3得到以下结果：

(3.9)

(3.10)

(3.11)

从(3.11)式可得

(3.12)

根据(3.8)—(3.10)及(3.12)式可知

(3.13)

另一方面，利用引理2.8可得，当n3>5且n3≠15时，有

(3.14)

由(3.13)及(3.14)式可得

从上式不难得到D≤413 959<106.注意到若n3=15，由引理2.3知道n2≤5，D≤3 690.若n3≤5，则必有n1=1，n2=3，n3=5，由引理2.3可得D≤45.不论如何总有D<106，这与假设矛盾.所以，当D>106时，如果Pell方程(1.2)有解，则必有N(D，3)≤2.定理1.1得证.

[2] BEUKERS F.On the generalized Ramanujan-Nagell equation Ⅱ[J].Acta Arith，1981，39:113-123.

[3] LE M H.On the number of solutions of the diophantine equationx2-D=pn[J].Acta Mathematica Sinica：Chinese Series，1991，34(3):378-387.

[4] LE M H.On the number of solutions of the generalized Ramanujan-Nagell equationx2-D=pn[J].Publ Math Debrecen，1994，45：239-254.

[5] BAUER M，BENNETT M A.Applications of the hypergeometric method to the generalized Ramanujan-Nagell equation[J].Ramanujan J，2002(6)：209-270.

[6] LE M H.Applications of the Gel’ fond-Baker method to diophantine equations[M].Beijing:Science Press，1998：190-198.

[7] YANG J M.The number of solutions of the generalized Ramanujan-Nagell equationx2-D=3n[J].Acta Mathematica Sinica：Chinese Series，2008，51(2):351-356.

(责任编辑：陶 理)

On the number of solutions of the generalized Ramanujan-Nagell equationx2-D=3n

QU Yun-yun1，CAO Hui2，MU Quan-wu3

(1.School of Mathematics and Computer Science，Guizhou Normal University，Guiyang 550001，China；2.Department of Mathematics and Statistics，Hubei University of Science and Technology，Xianning 437100，China；3.Department of Mathematics，Tongji University，Shanghai 200092，China)

LetDbe a positive integer withD≢0 (mod 3).In this paper，we prove that ifD>106and the Pell equationU2-DV2=-1 has solutions (U，V)，then the equationx2-D=3nhas at most two positive integer solutions (x，n).This result constitutes an improvement upon that of intrinsic result.

exponential diophantine equation；number of solutions；upper bound

1000-1832(2014)04-0052-04

10.11672/dbsdzk2014-04-009

2012-11-24

国家自然科学基金资助项目(11201107，11461014，61309006，61462016)；贵州省科学技术基金资助项目(黔科合J字[2014]2125号，LKS[2011]15号，LKS[2013]03号，LKS[2013]01号)；贵州师范大学博士启动项目(0514021).

瞿云云(1983—)，男，硕士，副教授，主要从事数论与密码学研究；通讯作者：曹慧(1984—)，女，硕士研究，讲师，主要从事有限群研究.

O 156.7 [学科代码] 110·1750

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