自适应反演控制在一类非线性系统中的应用

梁春辉，张运波，孟祥萍，王 晖

(1.长春工程学院电气与信息工程学院，吉林 长春 130012；2.长春工程学院配电自动化工程研究中心，吉林 长春 130012)

自适应反演控制在一类非线性系统中的应用

梁春辉1，2，张运波1，2，孟祥萍1，2，王 晖1，2

(1.长春工程学院电气与信息工程学院，吉林 长春 130012；2.长春工程学院配电自动化工程研究中心，吉林 长春 130012)

针对一类不确定性上界未知的非线性系统，提出一种自适应反演控制方法.建立了一类带有外界扰动的不确定非线性系统的数学模型.将复杂的非线性系统分解成不超过系统阶数的子系统，采用反演思想，并用自适应更新律对非线性系统不确定性上界进行估计，设计了自适应反演控制器并证明了李亚普诺夫稳定性.采用所设计的控制律使非线性系统的输出能跟踪期望的轨迹，具有一定的鲁棒性.用数值仿真验证了所设计控制器的良好跟踪性能.

不确定非线性系统；反演控制；自适应控制

0 引言

由于小行星和彗星等小天体能反映出太阳系的历史，它们一直是科学家们研究的焦点.美国、日本和印度等国家相继开展了一系列对小天体的探测任务和计划[1-3].随着对小天体探测的关注，对小天体附近的轨道和姿态动力学及控制也成为重要的理论基础和研究热点.由于小天体具有形状不规则、质量分布不均匀、自旋和引力较弱等特点，小天体附近动力学环境是非线性系统，其控制的研究方法与地球等大天体相比较而言，有着本质的不同.国内外很多学者对轨道动力学及控制有了较多的研究[4-6].在姿态动力学和控制方面，文献[7]等发现小天体不规则形状和自旋对探测器的姿态有明显的影响，可能造成姿态角不稳定.为了解决这个问题，有必要研究绕飞小天体航天器的姿态模型，建立有效的稳定姿态控制策略.文献[8]提出了在小天体自旋和不规则引力影响下的绕飞小天体的姿态模型.目前国内外对航天器绕飞不规则小天体的姿态稳定控制方面研究还处于初步探索阶段，要保证航天器在小天体周围稳定绕飞，需要设计控制器消除小天体不规则引力力矩的影响.

本文首先建立了绕飞不规则小天体航天器的引力力矩和刚性航天器的非线性模型，然后在顺行轨道下分析了绕飞过程中的三轴欧拉姿态角的稳定性.设计了自适应反演控制器，使航天器的3个姿态角跟踪预期的稳定轨迹，并进行了仿真验证.

1 系统模型

1.1 航天器绕飞姿态建模

航天器绕飞姿态建模如图1所示[7-8].首先建立天体固连坐标系(i，j，k)，坐标原点在小天体质心，i和k分别对应最小和最大惯量轴，j满足右手定则.航天器轨道坐标系(o1，o2，o3)，坐标原点在航天器质心，o3指向小天体质心，o1指向轨道平面的切线方向，o2满足右手定则；航天器本体坐标系(b1，b2，b3)，3个坐标轴分别与主轴对齐，3个轴与轨道坐标相应所成的角定义为滚转角、俯仰角和偏航角.

假设：航天器是刚性的三轴椭球体；航天器只受到控制力矩和小天体引力力矩；小天体均匀自旋；航天器绕着小天体做封闭平面周期运动.这样我们可以得到绕飞小天体航天器的姿态模型[9]：

(1)

(2)

1.2 不规则引力力矩

根据文献[10]，任意行星附近的引力势能可以表示为如下球谐级数展开形式

(3)

图1 航天器绕飞姿态建模坐标系

其中：R是绕飞航天器距离行星质心的距离；Re是行星的特征半径；φ和δ分别是天体固连坐标系下航天器所处的经纬度；Pl(sinφ)是l级0阶的勒让德多项式；Plm(sinφ)是l级m阶的勒让德多项式；Clm和Slm是球谐系数.在固连坐标系下，可以将引力势能展开成二阶形式.如图1所示，在距离小天体质心R处，相应的经纬度，单位质点dm的引力可以表示为

(4)

eR，eφ，eδ分别是球坐标的单位矢量.定义Rc是小天体质心到航天器质心间距离即轨道半径，r是单位质点在航天器本体坐标系内的位置矢量，再根据

R=Rc+r；

(5)

(6)

可以得到航天器引力力矩，表示为：

dF=dFR+dFδ+dFφ；

(7)

(8)

1.3 三维姿态线性化模型

δc=(n±Ω)t.

(9)

其中的加减号分别代表逆行轨道和顺行轨道.这样，将公式(7)—(9)代入到(1)和(2)式里，并进行线性化，可得航天器绕飞不规则小天体小范围运动的姿态模型为：

(10)

(11)

(12)

表1 仿真参数

假设航天器绕飞某颗小天体时仅受到小天体引力影响，图2—4给出了在顺行轨道情况下3个姿态角的三维运动轨迹.

当轨道半径Rc减小，由于受到小天体不规则引力影响，3个姿态角运动出现幅值较大的不规则不稳定运动.

Rc=26 km，k2=1/3图2 滚转角三维运动轨迹

Rc=26 km，k2=1/3图3 俯仰角三维运动轨迹

Rc=26 km，k2=1/3图4 偏航角三维运动轨迹

2 自适应反演控制器设计

在航天器绕飞不规则小天体运动中，即使轨道半径较近时，我们期望航天器的3个姿态角保持稳定的周期运动.反演方法的基本原理是对复杂的非线性系统进行分解，然后为每一个子系统设计李亚普诺夫函数和虚拟控制，一直“后退”到整个系统，直到完成整个控制器设计.我们采用反演的思想，让3个姿态角能跟踪期望的周期轨迹.

首先将(10)—(12)式变换成下面形式：

(13)

定义位置误差z1=x1-zd，zd是期望的轨迹，求导后有

(14)

(15)

(16)

由于环境和系统参数影响，非线性系统存在不确定性，此时非线性系统(13)可以描述为

(17)

假设系统不确定性有上界‖g‖≤g*，但上界未知.

设计自适应反演控制律为

(18)

(19)

定义系统误差，e=x-xd.

(19)式可以写成

(20)

其中I为单位矩阵，可得

(21)

选择如下李亚普诺夫函数

(22)

存在矩阵P，满足如下方程

ATP+PA=-I.

对(11)式求导得

根据Barbalat引理可知，当t→∞时，V3→0，系统稳定.

选取和前面相同的初始条件，仿真参数见表1所示，航天器期望的周期轨迹取zd=0.1×cos(0.000 2×t)，在顺行轨道下，当轨道半径Rc=26 km时，采用Matlab仿真所得结果如图5—10所示.图5—7是3个姿态角在施加反演控制后的运动轨迹，可见设计的自适应反演控制器能抵消不确定性和扰动影响，3个姿态角能够很好地跟踪期望的周期轨迹具有一定鲁棒性，航天器能够稳定的在小天体周围绕飞.图8—10给出了3个轴方向的控制加速度曲线.

图5 滚转角响应曲线

图6 俯仰角响应曲线

图7 偏航角响应曲线

图8 滚转角控制加速度曲线

图9 俯仰角控制加速度曲线

图10 偏航角控制加速度曲线

3 结论

本文针对不确定性上界未知的非线性系统，提出一种自适应反演控制方法.首先以深空探测为背景，建立了非线性系统数学模型.采用"退步法"和中间虚拟控制量逐步得到反演控制律，然后结合自适应律估计系统不确定性上界，设计自适应反演控制律，抑制扰动对系统的影响.数值仿真证明非线性系统输出能够跟踪预期的稳定轨迹，具有一定的鲁棒性.

[1] DUNHAM D W，FARQUHAR R W，MCADAMS J V，et al. Implementation of the first asteroid landing[J]. Icarus，2002，159(2)：433-438.

[2] KUBOTA T，HASHIMOTO T，SAWAI S，et al. An autonomous navigation and guidance system for MUSES-C asteroid landing[J]. Acta Astronautica，2003，52(2)：125-131.

[3] HAJIME YANO T. KUBOTA，MIYAMOTO H，et al. Touchdown of the hayabusa spacecraft at the muses sea on itokawa[J]. Science，2006，312：1350-1353.

[4] SCHEERES D J. Orbital mechanics about small bodies[J]. Acta Astronautica，2012，72：1-14.

[5] 崔祜涛，史雪岩. 软着陆小行星的制导与控制规律研究[J]. 飞行力学，2002，20(2)：35-38.

[6] 李爽，崔平远. 着陆小行星的滑模变结构控制[J]. 宇航学报，2006，26(6)：808-812.

[7] WANG Y，XU S. Attitude stability of a spacecraft on a stationary orbit around an asteroid subjected to gravity gradient torque[J]. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy，2013，115(4)：333-352.

[8] MISRA A K，PANCHENKO Y. Attitude dynamics of satellites orbiting an asteroid[J]. The Journal of the Astronautical Sciences，2006，54(3/4)：369-381.

[9] 章仁为. 卫星轨道姿态动力学与控制[M]. 北京：北京航空航天大学出版社，2006：137-155.

[10] 刘林，胡松杰，等，航天动力学引论[M]. 南京：南京大学出版社，2005：75-142.

(责任编辑：石绍庆)

Adaptive backstepping-based control and application research on uncertain nonlinear systems

LIANG Chun-hui1，2，ZHANG Yun-bo1，2，MENG Xiang-ping1，2，WANG Hui1，2

(1.College of Electrical and Information Engineering, Changchun Institute of Technology，Changchun 130012，China；2.Distribution Automation Engineering Research Center，Changchun Institute of Technology，Changchun 130012，China)

An adaptive backstepping-based control method is proposed for a class of uncertain nonlinear systems. Firstly, the model of nonlinear systems is developed based on deep space detection. The complex nonlinear system is decomposed into subsystems whose order numbers are less than the original system. The whole control law is designed through regression method. An adaptive backstepping-based control is proposed while the upper bound of the uncertanties is estimated, and Lyapunov stable is proved. The outputs of uncertain nonlinear systems can fast and accurate track the expected trajectories through the proposed control algorithms. Numerical simulations are included to illustrate the spacecraft performance obtained using the proposed controller.

uncertain nonlinear system；backstepping control；adaptive control

1000-1832(2014)04-0066-06

10.11672/dbsdzk2014-04-012

2014-06-15

吉林省科技发展计划项目(120130169).

梁春辉(1977—)，女，博士研究生，讲师，主要从事制导与控制、智能控制等研究.

TP 29 [学科代码] 510·80

A