小面积 大作用

李 潇

（北京市陈经纶中学分校小学部望馨校区 北京 100102）

一、课程训练课的产生

在小学阶段里，积的变化规律是学生学习的难题，虽然是四年级学习的知识，但是在五年级上学习小数乘除法依然会用到，考试中这样的题型出现的次数也很多。但是在五年级上学习小数乘除法依然会用到，考试中这样的题型出现的次数也很多。学生总是也记不住因数变化和积的变化，被除数、除数和商的变化有什么规律，虽然平时老师用各种练习各种讲解帮助孩子记忆，但无法在孩子心中生根落地。于是我就产生了要给学生上一节《积的变化规律》训练课的想法。

二、课前学情调研

因为当时课本上只出现了当一个因数变积会怎样变的内容，但是在数学目标和其他试卷、练习册上却出现了两个因数同时变，积会怎样变的习题。这时很多学生就不知道该怎么办了，比如A×B=36，

（A×2）×（B×4）= （A÷2）×（B÷3）=

（A×3）×（B÷3）= （A×6）×（B÷3）=。

三、理论依据指导

那么《小学数学核心素养教学论》中提出直观想象是指几何直观和空间想象感知事物的形态和变化，利用空间形式特别是图形、理解和解决数学问题的素养。主要包括：利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路[1]。

以上字母算式对于四孩子来说真的很抽象，还没有学习用字母表示数，他们不像我们成年人，可以将字母无视，而只考虑数字的乘除。但是我们如果有形象表征帮助孩子去理解其中的变化，如果无法记住规律的时候，能够想起当时的直观模型，问题是不是就可以迎刃而解了。

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系，认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。

借助图形可以把复杂的数学问题变得简明、形象、有助于探索解决问题的思路，预测结果，这里的数学问题包括几何本身问题，数与代数的需要几何直观的支撑[2]。

数形结合有两个方面：

第一个方面，以形助数。用图形的直观性帮助学生理解数与代数的抽象性，帮助解决问题。从数的认识到计算、问题解决等，无不需要借助几何直观。

第二个方面，以数解形。用数与代数的运算来深入地研究图形及图形关系。对各个维度空间图形的度量，就是给图形确定度量单位1并且赋有每个图形一个量数，就是以数解形。

也就是说几何直观与数形结合中的以形助数类似，但是又比以形助数的范围更宽泛些，包括以形助形。

四、课程设计与实践

1.课程设计

首先通过复习学生将最初学习积的变化规律与长方形的面积相结合，提出问题：一个长6厘米，宽4厘米的长方形，面积是24平方厘米。如果长扩大2倍，宽不变，面积是多少？面积发生怎样的变化？

这样帮助学生利用图形与积的变化规律建立联系，从而为了后面拓展不同因数发生变化后也可以利用长方形面积去验证，这样能够帮助学生建立数学建模的思想。

后面就是利用长方形的面积，在格子图上画图，让学生根据长和宽的变化，可以列式或画图来理解面积是怎样的变化的。我提出一个问题，同学们以前我们都是研究的当一个因数变，另一个因数不变，积会发生怎样的变化，你们还想研究点别的吗？学生提出了很多问题，那么，我们就利用长方形的面积进行研究，这样能够帮助我们研究起来更直观和轻松。于是我帮助学生将以下问题惊醒了总结，并且出示下列问题时还是给学生一个由浅入深的过程，当然一节课没有那么多的时间全部让学生解决以下问题，所以学生可以根据自己的能力选择解决以下一个或几个问题，主要根据自己的能力进行操作。

（1）如果长扩大2倍，宽也扩大2倍，面积是多少？

（2）如果长扩大3倍，宽也扩大2倍，面积是多少？

（3）如果长缩小2倍，宽也缩小2倍，面积是多少？

（4）如果长缩小3倍，宽缩小2倍，面积是多少？

（5）如果长扩大2倍，宽缩小2倍，面积是多少？

（6）如果长缩小6倍，宽扩大2倍，面积是多少？

这是一个发现问题，提出问题并探索问题的过程。利用上面的问题，帮助学生对积的变化规律进行归类，这样也是为了由浅入深的帮助学生逐步的推理出相应的规律，而且这些问题都是学生自己提出来的，所以可以说明通过之前积的变化规律的学习，学生已经能够联想到因数还是可以这样变化后引起积的相应的变化的，既然学生的认知已经到了这里，我们就要帮助他们去解决。

学生对于上面的六个问题解决后，一定要帮助学生将面积公式回顾到乘法算式中，让他们根据面积变化转移到积的变化中的认识，最终帮助孩子解决难题。

现在学生对于积的变化规律还更多的是停留在面积公式中，而没有转移到积的变化规律中去，于是最后还要帮助学生与乘法算式建立联系。也就是最后再去回顾之前的练习，A×B=36（A×2）×（B×4）= （A÷2）×（B÷3）=（A×3）×（B÷3）=（A×6）×（B÷3）=

观察上面的算式，以第一个算式为标准，求出以下四个算式的得数。看谁的速度最快并准确。学生在这时就对积的变化规律有了更深的认识，完成上面的问题就容易多了。

2.课程实践

通过表1以上课程的设计，制作完整的经纶学案，给学生一定的时间进行探索，并在经纶学案中进行画图和书写。教师在下面巡视的时候搜集好资源，然后进行展示，并且让学生去说出自己是怎样推理出这些规律，简单的算式推理出来规律后要用图进行验证，确定好因数怎样的变化会引起积的变化。

表1 经纶学案

学生会有以下结果的呈现：

这是学生的内容呈现。对于都缩小两倍可以由前面的进行迁移，明白面积应该是缩小4倍。然后同时迁移到如果两个因数同时扩大或缩小2倍，积就扩大或缩小4倍，然后提出一个问题，如果两个因数扩大的2倍是2+2还是2×2倍呢？这个问题我是提前设计好了的，就是为了帮助学生解决积是按加数倍变化还是以因数倍变化，而看后面的扩大不同倍数的问题就可以帮助学生去理解清楚的。

也确实是到（4）长和宽变化不同时，就出现了问题，学生认为面积是乘或除长和宽的倍数相加，这里就需要学生去画图推理验证了。在展示的时候一定要先展示学生认为积是按照因数的倍数相加的倍数进行变化这样的错例，然后再展示积是按照因数的倍数相乘的倍数进行变化的例子，学生有以下画图的内容展示：

从图中学生就可以知道，看来无论长和宽怎么去扩大和缩小不同的倍数，面积都是扩大或缩小它们的乘积倍。同理到一个因数和另一个因数扩大和缩小不同的倍数，面积是扩大或缩小它们的乘积倍。

而（5）是长和宽扩大和缩小相同的倍数，但变化是相反的，积这时应该怎样变呢？

学生有以下的内容呈现：

从中可以看到，虽然图形变化后直接看不到这个长方形和原来的长方形有什么区别，所以孩子画了个箭头，只是将上面的一半移到了下面，所以面积是没有变化的。从图形能够直观地感受到，面积是没有变，而从算式也能体现这个规律。

第（6）个问题如果长缩小6倍，宽扩大2倍，面积是多少？是最难的，也是孩子以后最难理解的一个规律，提出这个问题后学生就自主地去画图和列算式感受变化，有以下的呈现方式：

当面积作为工具帮助孩子们理解了积的变化规律时，我们就可以运用到算式中去，抽象出规律。这样的过程也可以运用到商的变化规律里去，这样问题就可以迎刃而解了。

我在吴正宪和张丹主编的儿童数学教育丛书《让儿童在涂画中学数学》中看到的一段话是读懂学生的困难，以他们的视角寻找困难背后的原因，采取有针对性的方法帮助儿童化解难点，这源于老师对数学本质的把握，对儿童特质的深刻理解。只有这样才能协助儿童突破瓶颈，使其重新感受成功，获得学好数学的自信。