例谈用正余弦定理解题的几种常用技巧

罗清克

（云南省昆明市第五中学 云南昆明 650000）

想要学好数学，首先要用好公式。巧用公式会给解题带来事半功倍的效果。下面就笔者的教学及解题经验，简单谈一谈用正余弦定理解题的几种常用技巧。

一、正弦定理

正弦定理通常能解决的问题是：（1）已知两角及任意一边，求其它边角；（2）已知两边及一边的对角，求其它边角；（3）已知对边对角，求三角形外接圆的半径、周长、面积等。在这里主要谈以上几种以外的常用技巧。

1.边化角

案例1 △ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，求角B。

左右两边用正弦定理把边换成相对角的正弦后，两边的2R可以约掉，相当于把边换成了角。以后为了简便书写，还可以直接写“由正弦定理得”，再接着写约去2R后的式子。比值型也可以换，如问题“△ABC中，已知，求最大内角”，可化为，7：5：3：：=cba设kckbka7,5,3===，再用余弦定理即可求出。

2.角化边

案例2△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，求△ABC的面积。

同样的，也可以直接写“由余弦定理得”，再接着写约去2R后的式子。比值型也可以使用，如求的值时，实际只需要求出即可，他们的值是相等的。

二、余弦定理

余弦定理有三个公式：

余弦定理能解决的最基本的问题是：（1）已知两边及其夹角，求第三边；（2）已知三边，求任意一角。同样地，在这里只谈上面以外的常用技巧。

1.凑公式

案例3 △ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且求角C。

在这里，三个公式要凑哪个公式呢？一种方法是看平方前的符号，把三个平方项移到一边，看哪个平方前面的符号与其它两项的符号相异，就选择相异号的平方开始的公式；另一种方法是看积什么，选择没有出现的边的平方开始的公式。如要选择公式。

2.余弦定理的特殊用法

案例4 △ABC中，内角A、B、C对的边分别为a、b、c，已知，求c。

我们先看一看，按常规用正弦定理来解。

我们再来看看直接用余弦定理的效果。

显然，第二种方法简单而快捷。本来这个问题已知的是两边及一边的对角，恰好是正弦定理的常规解法，但解下来发现较繁杂，“不划算”。而用余弦定理往往还会首先想到选择，但会发现一个方程里有两个变量，无法解出最终结果。妙是妙在选择余弦公式时要选择已知给定角的对边开始的公式。笔者把这种用法称之为余弦定理的特殊用法。当然，在这个问题中把已知边再给大一点，超过（如 3b= 时），就会出现两个正解的情况，这时要进行分类讨论，还要利用三角形两边之和大于第三边进行取舍。

正余弦定理的常用技巧还很多，比如还有平方、配方、均值不等式等，这里就不再一一赘述。

高中数学的教学及学习都要善于总结一些方法和技巧，对于解三角形这类较为简单的问题也不例外。