用仿射变换解决高考中解析几何问题研究

（吉林省实验中学 吉林长春 130021）

解析几何在高考中有着重要的地位，其中，与椭圆有关的问题出现频率很高。在人教版选修4-2矩阵与变换中详细介绍了仿射变换，但在实际教学中，这部分内容往往被孤立起来，没有与其他知识形成体系。如果将此部分知识运用到解析几何的解题中，可以通过仿射变换将椭圆变换成圆，再将与圆有关的性质应用到椭圆上，从而另辟蹊径，使得问题解决起来得心应手。

一、仿射变换的概念

仿射变换，又称仿射映射，是指在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个 平移，变为另一个向量空间。

对一个向量?平移，与旋转放大缩小A的仿射映射为

在人教版选修4-2《矩阵与变换》中，开篇介绍了几类特殊线性变换及其二阶矩阵。其中包括：旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换和切变变换。

本文将两题为例将以上几种特殊的仿射变换应用到与椭圆有关的解析几何的问题中，从而回避繁杂的计算，降低解题难度。

二、仿射变换的性质

不难证明，仿射变换具有以下性质：

性质一 仿射变换前直线与曲线相切（相交、相离），仿射变换后直线与曲线依然相切（相交、相离）。

性质二 仿射变换前直线与直线平行（相交、重合），伸缩变换后直线与直线依然平行（相交、重合）。

性质三 A ， B ，C 三点在仿射变换下的对应点分别为A′ ，B′ ，C′ ，若A ， B ，C 也三点共线，则A′ ， B′ ，C′ 三点也共线，且对应线段的比值不变，即

满足关系：

满足关系：S′=k1k2S。

三、利用仿射变换解决解析几何中的问题

例1。过椭圆

分析：本题要求证明三条相互平行的线段的比例关系，则考虑运用仿射变换，利用初中所学习的圆与三角形相似的知识解决。

解：（I）略

（Ⅱ）存在m=满足条件

又由PQ⊥PH，得kHP⋅kPQ=-1，由性质五易得m=。

从仿射变换的性质上来看，我们的目的是将一般的几何图形变换为具有一定特殊性质的图形（例如将椭圆变换成圆，将一般三角形变换成正三角形，将平行四边形变换为正方形），根据其特殊性质来进行求解。对于数学素养较高，数学能力较强的学生，接受起来还是比较容易的。又因为此类学生很有可能参加数学联赛、自主招生等选拔考试，运用仿射变换解决相应题目，可以提高学生的解题能力。